旅游线路的优化设计

2011年第八届苏北数学建模联赛承诺书我们仔细阅读了第八届苏北数学建模联赛的竞赛规则。我们完全明白，在竞赛开始后参赛队员不能以任何方式（包括电话、电子邮件、网上咨询等）与本队以外的任何人（包括指导教师）研究、讨论与赛题有关的问题。我们知道，抄袭别人的成果是违反竞赛规则的,如果引用别人的成果或其他公开的资料（包括网上查到的资料），必须按照规定的参考文献的表述方式在正文引用处和参考文献中明确列出。我们郑重承诺，严格遵守竞赛规则，以保证竞赛的公正、公平性。如有违反竞赛规则的行为，我们愿意承担由此引起的一切后果。我们的参赛报名号为：3979参赛组别（研究生或本科或专科）：本科组参赛队员(签名)：队员1：队员2：队员3：获奖证书邮寄地址：浙江省杭州市滨文路浙江中医药大学2011年第八届苏北数学建模联赛编号专用页参赛队伍的参赛号码：（请各个参赛队提前填写好）：3979竞赛统一编号（由竞赛组委会送至评委团前编号）：竞赛评阅编号（由竞赛评委团评阅前进行编号）：2011年第八届苏北数学建模联赛题目旅游线路的优化设计摘要本文主要研究最佳旅游路线的设计问题。线路的设计主要受旅游费用、旅游时间、可游览景点数的制约。这三个因素只要有一个或两个确定，那么就能建立数学模型求出第三个因素的最优解，然后在满足相应约束条件下，设计出最佳旅游线路。第一问是在时间不限，旅游景点数确定的条件下，设计出旅游费用最少的旅游线路。我们建立了一个最优规划模型，以最少的旅游费用游完十个景点为目标。先通过网络查出一个地点到其他十个地点的最便宜的交通费，再引入0-1变量表示游客是否在一个点住宿，从而推导出总旅游花费的函数表达式，给出相应的约束条件，使用lingo编程对模型求解。最佳路线：徐州→常州市恐龙园→黄山市黄山→舟山市普陀山→武汉市黄鹤楼→九江市庐山→洛阳市龙门石窟→西安市秦始皇兵马俑→祁县乔家大院→八达岭长城→青岛市崂山→徐州第二问是在旅游费用不限的情况下，设计出以最少的时间游完十个景点的旅游路线。同样是建立一个最优规划模型，以最短时间游完十个景点为目标，先通过网络查出一个地点到其他十个地点最快捷的交通方式的时间，推导出总交通花费时间和在各景点的总停留时间的函数表达式，给出相应的约束条件，使用lingo编程对模型求解。最佳路线：徐州→常州市恐龙园→九江市庐山→武汉市黄鹤楼→西安市秦始皇兵马俑→祁县乔家大院→洛阳市龙门石窟→八达岭长城→青岛市崂山→舟山市普陀山→黄山市黄山→徐州第三问是在旅游时间不限，以用2000元的旅游费用游览的景点数最多为目标。这里要引入0-1变量来判断游客是否游览某景点，再利用问题一建立的旅游费用模型，得到约束条件，使用lingo编程对模型求解。最佳路线：徐州→常州市恐龙园→武汉市黄鹤楼→九江市庐山→洛阳市龙门石窟→西安市秦始皇兵马俑→祁县乔家大院→八达岭长城→青岛市崂山→徐州第四问是在旅游时间约束在5天，放松对旅游费用的约束，以可游览景点数最多为目标。同样要引入0-1变量来判断游客是否游览某景点，再利用问题二建立的模型，得到约束条件，使用lingo编程对模型求解。最佳路线：徐州→常州市恐龙园→武汉市黄鹤楼→西安市秦始皇兵马俑→青岛市崂山→舟山市普陀山→八达岭长城→徐州第五问其实是问题三和问题四的综合，是在旅游时间和旅游费用同时受约束的情况下，以实现可游览景点数最多为目标。参考问题三、四建立的模型，以及约束条件来建立模型和约束条件，使用lingo编程对模型求解。最佳路线：徐州→常州市恐龙园→九江市庐山→洛阳市龙门石窟→八达岭长城→青岛市崂山→徐州关键词：最佳路线非线性规划0-1变量最少费用最少时间最多景点数11．问题重述随着人们的生活不断提高，旅游已成为提高人们生活质量的重要活动。江苏徐州有一位旅游爱好者打算现在的今年的五月一日早上8点之后出发，到全国一些著名景点旅游，最后回到徐州。由于跟团旅游会受到若干限制，他(她)打算自己作为背包客出游。他预选了十个省市旅游景点，如表1所示。表1.预选的十个省市旅游景点省市景点名称在景点的最短停留时间江苏常州市恐龙园4小时山东青岛市崂山6小时北京八达岭长城3小时山西祁县乔家大院3小时河南洛阳市龙门石窟3小时安徽黄山市黄山7小时湖北武汉市黄鹤楼2小时陕西西安市秦始皇兵马俑2小时江西九江市庐山7小时浙江舟山市普陀山6小时根据以上要求，针对如下的几种情况，为该旅游爱好者设计详细的行程表，该行程表应包括具体的交通信息(车次、航班号、起止时间、票价等)、宾馆地点和名称，门票费用，在景点的停留时间等信息。(1)如果时间不限，游客将十个景点全游览完，至少需要多少旅游费用？请建立相关数学模型并设计旅游行程表。(2)如果旅游费用不限，游客将十个景点全游览完，至少需要多少时间？请建立相关数学模型并设计旅游行程表。(3)如果这位游客准备2000元旅游费用，想尽可能多游览景点，请建立相关数学模型并设计旅游行程表。(4)如果这位游客只有5天的时间，想尽可能多游览景点，请建立相关数学模型并设计旅游行程表。(5)如果这位游客只有5天的时间和2000元的旅游费用，想尽可能多游览景点，请建立相关数学模型并设计旅游行程表。2.问题分析2.1问题背景的理解根据对题目的理解我们可以知道，旅游线路受旅游费用、旅游时间、可游览景点数的制约。旅游费用包括交通费、住宿费、景点门票费和吃饭等其他费用。这三个因素只要有一个或两个确定，那么就能求出第三个因素的最优解。2.2问题一的分析：问题一是在不考虑旅游时间，可游览景点数确定的情况下求出旅游费用的最小值。我们的做法是先查出这11个地点（包括出发地以及10个旅游景点），每个地点到其他10个地点最经济的交通工具及其费用。在满足相应的约束条件下，建立数学模型计算得2出最佳路线。2.3问题二的分析：问题二是在不考虑旅游费用，可游览景点数确定的情况下求出旅游时间的最小值。我们的做法是查出11个地点（包括出发地以及10个旅游景点），每个地点到其他10个地点最快捷的交通工具及其费用。在满足相应的约束条件下，建立数学模型计算得出最佳路线。2.4问题三分析：问题三是在不考虑旅游时间，旅游费用确定的情况下求出可游览景点数的最大值。我们的做法是先计算出在各个景点的旅游费用，再利用问题一的数学模型。在满足相应约束条件下，计算得出最佳线路。2.5问题四分析：问题四是在不考虑旅游费用，旅游时间确定的情况下求出可游览景点数的最大值。我们的做法是先计算出在各个景点游览所需的时间，再利用问题二的数学模型。在满足相应约束条件下，计算得出最佳线路。2.6问题五分析：问题五是在旅游时间和旅游费用确定的情况下，求可游览景点数的最大值。这一问其实是问题三和四的综合，利用问题三和四建立的数学模型，在相应的约束条件下得出最佳线路。3.模型假设1.城际交通出行可以乘火车(含高铁)、长途汽车或飞机（不允许包车或包机），并且车票或机票可预订到。2.市内交通出行可乘公交车(含专线大巴、小巴)、地铁或出租车。3.旅游费用以网上公布为准，具体包括交通费、住宿费、景点门票(第一门票)。晚上20：00至次日早晨7：00之间，如果在某地停留超过6小时，必须住宿，住宿费用不超过200元/天。吃饭等其它费用60元/天，经过统计估测，市内交通平均费用一般在5-20元，这里我们假设市内交通费用包括在其他费用内。4.假设景点的开放时间为8:00至18:00。5.整个旅游路线是环形的4.符号说明i,j---第i个或者第j个地点，,1,3,,11ij分别表示徐州、常州市恐龙园、青岛市崂山、八达岭长城、祁县乔家大院、洛阳市龙门石窟、黄山市黄山、武汉市黄鹤楼、西安市秦始皇兵马俑、九江市庐山、舟山市普陀山m---总旅游费用1m---总交通费2m---在各个景点的旅游费用3m---吃饭等其他费用x---可游览景点数3ip---第i个景点的门票10ijr----判断游客是否从第i个景点去第j个景点的0-1变量ijc---从景点i到景点j的交通费iq---在i地的住宿费T---旅游的总时间1T---各景点总停留时间2T---两景点间交通花费的总时间it---在i地的游览时间（包括吃饭的时间）iv---在i景点的最短停留时间ijt---从i地到j地所花费的时间iw---在i地住宿的时间10iu---判断游客是否在i地住宿的0-1变量5.模型建立及求解5.1问题一5.1.1目标函数的确立经过分析可以知道本题的目标是实现用最少的旅游费用游完十个景点。我们的做法是先查出这11个地点（包括出发地以及10个旅游景点），每个地点到其他10个地点最经济的交通工具及其费用。在满足相应的约束条件下，建立数学模型计算得出最佳路线。游览的总费用包括交通费、各个景点旅游费用总和，从而得到目标函数:min12mmm（1）总交通费因为ijc表示从景点i到景点j的交通费，ijr是判断游客是否从第i个景点去第j个景点的0-1变量，由此可得总交通费为：1111111ijijijmrc（2）在各个景点的旅游费用总和在各个景点的消费包括景点的门票费、住宿费、吃饭等其他费用，ip表示游客在4i个景点的门票，ijr表示是否从i景点到j景点，而整个旅游线路是一个环形，因而111122()ijijijrpp实际上表示游客在所到景点的门票花费了两遍，把旅游总时间除以24就是旅游总天数，可得各个景点的旅游费用总和为：111111232221()224ijijiiijiTmrppuqm从而可得目标函数为：min12mmm11111111113112221()224ijijijijiiijijiTrcrppuqm5.1.2约束条件：(1)时间约束这里定义T为旅游的总时间，显然0T(2)旅游景点数约束根据假设，这个旅游路线是环形，即最终游客要回到徐州，因此11111111ijijr表示游客旅游的景点数，游客要游玩十个景点，所以：11111111ijijr(3)0—1变量约束由于旅游路线是环形的，把各个景点连成一个圈，把每个景点看成圈上的一个点。对于每个点来说，只允许最多一条边进入，同样只有一条边出来，并且当有一条边进入时必有一条边出来。由此可得约束条件：1ijijijrr(,1,2,,11ij）当1i时，因为徐州是出发点，所以11ijir：1j时，因为游客最终回到徐州，所以11ijjr综上可知，1ijijijrr(,1,2,,11ij）11ijir11ijjr同样，当,2ij时，根据题意不可能出现1ijjirr，即不可能出现游客往返旅游，由此可得约束条件：50ijjirr(4)各景点门票约束通过网络查得各景点的门票价格是确定的，见表5-1-1表5-1-12p3p4p5p6p7p8p9p10p11p1607045401202308090180160（5）各地的住宿费约束通过网络查的各景点附近经济实惠的住宿价格，见表5-1-2表5-1-22q3q4q5q6q7q8q9q10q11q60987880406040406080（6）吃饭的等其他费用约束由模型假设，可知其他费用包括吃饭、市内交通小额支出等费用：360m5.1.3模型建立：综上所述，可得到总模型为：min12mmm11111111113112221()224ijijijijiiijijiTrcrppuqm约束条件：11111111311 1(,1,2,,11) 1,100060ijijijijijijijijijjiirrrijrrrrTpm5.1.4模型求解与结果分析：通过上网查资料，得到11个地点（包括出发地以及10个旅游景点），每个地点到其他10个地点最经济的交通工具是乘坐火车，其费用如表5—1-36表5-1-31111ijc06270941227099395587130340