决策3

第三章多指标决策3.1概述3.2多指标决策基本概念3.3指标的标准化处理3.4无信息的决策原则3.5线性加权和法3.6加权系数的确定方法3.7熵技术3.1概述1、单目标：实数大小比较，多目标：多维向量比较2、例123451f2f图3.1五个方案的比较3.1概述(续）从图3.1可知，方案1、2和3可以被方案4和5淘汰。但是，方案4和5无法判断其优劣。此时，决策者有三个选择1）认为方案4和5都是好方案，从中任选一个方案进行实施2）认为方案4和5都是好方案，然后把它们再综合出一个新的好方案进行实施；3）根据某种意义的最优原则，继续从方案4和5中选择一个满意的方案进行实施。用多目指标决策的术语，方案1、2和3称为劣解，方案4和5称为非劣解，又称有效解，决策者最后选择的那个实施方案称为满意解。3、多目指决策基本步骤1）从可行解中淘汰劣解；2）从非劣解集合中选取一个满意解3.2多指标决策基本概念一、实例考虑一个购买战斗机问题。现有4种飞机可供选择，决策者根据战斗机的性能和费用，考虑了6项评价指标。如表3.1所示。表3.1购买战斗机问题决策矩阵显然，这是一个多指标多方案的决策问题，决策者必须根据自己的偏爱，在综合考虑每个方案的各种指标后进行决策。指标fi方案最大速度马赫飞行范围公里最大负载磅费用106美元可靠性高—低灵敏度高—低A12.01500200005.5一般（5）很高（9）A22.52700180006.5低（3）一般（5）A31.82000210004.5高（7）高（7）A42.21800200005.0一般（5）一般（5）3.2多指标决策基本概念（续）二、多指标决策和多目标规划1、多指标决策：具有多指标多方案的决策问题2、多目标规划：具有多个目标和约束条件的数学规划。3、多目标决策和多目标规划的差别：见表3.2所示。表3.2多指标决策与多目标规划差别多指标决策多目标规划1）评价准则2）目标3）指标4）约束5）方案6）迭代次数7）用途多个指标隐含明确不起作用有限个，离散不很多选择/评估多个目标明确隐含起作用无限个，连续较多设计/规划多指标决策其主要特征是具有有限个离散的方案。它在决策论、经济学、统计学、心理学、管理学科中有广泛的应用。3.2多指标决策基本概念（续）三、多指标决策三个构成要素1、有n个评价指标fj，（1jn）2、有m个决策方案Ai，（1im）3、有一个决策矩阵D=(xi,j)mn，（1im，1jn）四、解的意义定义1单指标排序下的最大值和最小值（假定多指标都是求max））（最小值最大值记njxMinfxMaxfjijjmiijj,...,,)()(m*21113.2多指标决策基本概念（续）定义2理想点F*和最优解A*令F*=(f1*,f2*,...,fn*)，称F*为多指标决策的理想点。如果在m个备选方案中，方案A*的n个指标恰好等于fj*，则A*就是最优解.定义3优势原则和劣解如果2个备选方案As和At有关系式则称方案As优于At，记为As}At，这时方案At就是劣解，可将其淘汰。定义4非劣解对于某一方案Ak，如果不存在其他方案Ai优于它(i=1,2,...,m,ik)，则称Ak为非劣解，或称有效解成立。至少对一个jn).,..1,2,(jjtjsjtjsxxxx3.2多指标决策基本概念（续）定义5满意解根据决策者的偏好信息，从非劣解中选择出来最优非劣解，一般来说它总是某种意义下的最优非劣解推论1如果m个方案只有一个非劣解，则其它m-1个方案一定是劣解推论2如果m个方案只有r个非劣解，则其它m-r个方案一定是劣解（1rm）五、非劣解的平均个数表3.3非劣解的平均数N与方案个m和指标数n统计关系表n=4n=8mNmN1010010008208010100100010909003.3指标的标准化处理一、标准化处理方法假定原决策矩阵为D=(xij)mn，经过标准化处理后得到的矩阵为R=(rij)mn1、向量归一化优点：1）0rij1,（1im，1jn）2）对于每一个指标fj，矩阵R中列向量的模为112miijijijxxr3.3指标的标准化处理（续）2、线性比例变换优点1）0rij1,（1im，1jn）2）计算方便3）保留了相对排序关系3、极差变换优点1）0rij1,（1im，1jn）2）对于每一个指标总是有最优值为1和最劣值为0ijjijjijijxfrfxr/)/*21对于成本指标，定义对于效益指标，定义）)/()())/()(***21jjijjijjjjijijffxfrfffxr对于成本指标，定义对于效益指标，定义）3.3指标的标准化处理（续）二、模糊指标变量化1、效益指标2、成本指标01357910很低低一般高很高图3.2模糊效益指标的量化01357910很高高一般低很低图3.3模糊成本指标的量化3.3指标的标准化处理（续）三、计算实例考虑一个购买战斗机为题，有4种飞机，选择评价指标有6个。如3.1节中表3.1所示。试对这些指标进行标准化处理。表3.1购买战斗机问题决策矩阵指标fi方案最大速度马赫飞行范围公里最大负载磅费用106美元可靠性高—低灵敏度高—低A12.01500200005.5一般（5）很高（9）A22.52700180006.5低（3）一般（5）A31.82000210004.5高（7）高（7）A42.21800200005.0一般（5）一般（5）3.3指标的标准化处理（续）1、定性指标量化首先将第5个指标（可靠性）和第6个指标（灵敏度）进行定量化处理。这两个都是效益指标。根据图3.2可知，它们的量化值如表3.4。表3.4可靠性和灵敏度指标的量化指标方案可靠性（f5）灵敏度(f6)A159A235A377A4533.3指标的标准化处理（续）1）采用向量归一化处理公式，可得4321AAAA0.37270.48110.46030.50560.43920.51390.52170.67360.41430.53080.48820.42040.37270.28870.59830.45500.65910.58390.67080.48110.50630.50560.36620.467121Rffffff3.3指标的标准化处理（续）2）采用线性比例变换公式，可得4321AAAA0.560.710.900.950.670.880.781.001.001.000.740.720.560.430.690.861.001.001.000.720.820.950.560.8021Rffffff3.3指标的标准化处理（续）2）采用线性比例变换公式，可得4321AAAA..........0.286221111211121Rffffff3.4无信息的决策原则一、最大最小原则（MaxMin）如购买战斗机问题的标准化决策矩阵为按最大最小原则得到所以最优方案A*=A3)]}([|{mi1*ijnjirMinMaxAA14321AAAA0.560.710.900.950.670.880.781.001.001.000.740.720.560.430.690.861.001.001.000.720.820.950.560.8021Rffffff221.].,.,.,.[)]([mi1MaxrMinMaxijnj3.4无信息的决策原则（续）二、最大最大原则（MaxMax）如根据购买战斗机问题的标准化决策矩阵可得所以，最优方案A*=A1或A*=A2或A*=A3)]}([|{mi1*ijnjirMaxMaxAA111111.].,.,.,.[)]([mi1MaxrMaxMaxijnj4321AAAA0.560.710.900.950.670.880.781.001.001.000.740.720.560.430.690.861.001.001.000.720.820.950.560.8021Rffffff3.4无信息的决策原则（续）三、折中系数法如取=0.6，则根据购买战斗机问题的标准化决策矩阵可得所以最优方案A*=A3。]})()()([|{mi1*njijijnjirMinrMaxMaxAA11122111.].,.,.,.[])()()([mi1MaxrMinrMaxMaxnjijijnj3.5线性加权和法1、加权公式：线性加权和法是在标准化决策矩阵R=(rij)mn基础上进行的，它先对n个标准化的指标构造如下线性加权和评价函数然后按如下原则选择满意方案A*：如在购买战斗机问题中，分别取6个指标的重要性权系数为w1=0.2，w2=0.1，w3=0.1，w4=0.1，w5=0.2，w6=0.3，则，则根据其标准化决策矩阵可得U(A1)=0.835U(A2)=0.709U(A3)=0.852U(A4)=0.738Max{U(A1)，U(A2)，U(A3)，U(A4)}=U(A3)=0.702所以最优方案A*=A3。m...,2,1,i)(1njijjirwAU]}[|{mi1*iiAUMaxAA（3.6加权系数的确定方法一、专家法1、分别填表并计算有关参数表3.5指标权系数计算表y1y2yn目标权专家w1w2wn12...Kw11w12w1nw21w22w2n…..….….wK1wK2wKnn1,2,...,j11KiijjwKw其中，Kinj)(21213.6加权系数的确定方法（续）2、开会讨论首先让那些有最大偏差的专家发表意见，通过充分讨论以达到对各目标重要性的比较一致的认识。二、二项系数加权法假设已知n个指标重要性的优先序。不失一般性，我们可按对称的方式将给定的优先序重新调整，使得中间位置的指标最重要，同时重要性分别向两边递减。则当n=2k时，排序为而当n=2k+1时排序为令二项展开式的各项系数作为着n个指标的权系数2222121ffffffkkk4f...2...2212121ffffffkkk4f...2...3.6加权系数的确定方法（续）112212121212212121212112121222122122221221221212111112112122222122212222211211111nkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkknnnnnwkwwcwcwcwcwwnknwcwcwcwcwwnknccckkn,.,..,,,0,.,..,.,..,,,.,..,.,..,,...显然有个指标的权系数分别为时，）当个指标的权系数分别为时，）当所以，）（因为3.6加权系数的确定方法（续）三、相对比较法如果决策者比较容易确定两两指标之间相对重要性程度，则可采用相对比较法确定各指标的权系数。例如将指标f1和f2进行比较，如果决策认为指标f1的重要性程度是指标f2的四倍，则取w12=0.8，w21=0.2。其余类推。并令wjj=0，j=1,2,...,n。这样，各指标的权系数可按如下公式确定。n.,..,,,,n,...,,21121111ji其中，3.6加权系数的确定方法（续）例：4种电报设备选择假设某工厂要新投产一电报设备，选定4个评价指标为造价、功耗、速率和可靠性。共制作了4种样机。现要决定