决策7

第七章数据包络分析7.1问题的提出7.2DEA的基本模型—C2R模型7.3DEA有效的经济含义7.4DEA方法步骤与实例7.1问题的提出例1银行效率评价某专业银行要对其下属的17个分行进行效率评价。评价的输入指标和输出指标如下：•输入指标：1）银行职工工作时间（包括加班时间）；2）银行各项开支费用；3）银行使用面积；4）银行使用的计算机数量•输出指标：1）A类业务（一般的存、取款业务）交易额；2）B类业务（国内贷款业务）交易额；3）C类业务（国外业务）交易额；7.1问题的提出（续）例2行业作风建设有效性评价某项目组对江苏省S市7家交通客运汽车公司进行行业作风建设有效性评价。评价的输入指标和输出指标如下：•输入指标：1）年末职工总数（单位：人）；2）单位成本（单位：元/千人公里）；3）燃料单位消耗（单位：升/千人公里）；4）行车责任事故率（单位：次/千人公里）。•输出指标：1）劳动生产率（单位：元/人）；2）行车准点率（%）；3）群众满意率（按问卷调查率）（%）；4）车辆服务合格率（包括：服务态度、服务措施、车辆设施等）（%）7.1问题的提出（续）•1978年，A.Charnes、W.W.Cooper和E.Rhodes提出了数据包络分析（DataEnvelopmentAnalysis，简记DEA）•人民大学教授魏权龄在80年代最早将DEA介绍给国内•魏权龄教授建立了一个DEA网站：orme.ruc.edu.cn•90年代开始，国内研究DEA方法及其应用日益增多，并取得许多研究成果7.2DEA的基本模型—C2R模型其中，n个决策单元(DMU)可表示n个部门或n个方案等。xij表示第j个决策单元对第i种类型输入的投入量。ykj表示第j个决策单元对第k种类型输出的产出量mnnnmjmmjjxxxxxxxxxxxx....................................21212222111211snsjssnjnjyyyyyyyyyyyy....................................21222221111211......1v2vmvsu2u1u输入指标输出指标12jn决策单元jDMU......7.2DEA的基本模型—C2R模型(续）定义第j个决策单元DMUj的效率评价指数由下式确定对于上面决策单元DMUj的效率评价指数定义，我们总可以适当选择v和u，使hj1。另外，从效率评价指数定义可知，hj值越大，表示决策单元DMUj能够用相对较少的输入得到相对较多的输出。输出向量。的输入和个决策单元分别为第其中，jTsjjjjTmjjjjmiijiskkjkjTjTjDMUjnjyyyyxxxxnjxvyuxvyuh,...,,,),...,,(,),...,,(,...,,21212121117.2DEA的基本模型—C2R模型(续）即如果要对DMUj0进行相对有效性评价时，则可以构造如下最优化模型（称为C2R模型，由A.Charnes,W.Cooper和E.Rhodes于1978年提出）。（为书写方便，以下下标j0简写为0）。21212111111mivskunjxvyuxvyutSxvyuxvyuhMaxVikmiijiskkjkjTjTmiijiskkjkTTP,...,,,...,,,...,,1..(P1)7.2DEA的基本模型—C2R模型(续）利用Charnes-Cooper变换，可以将分式规划（P1）化为一个等价的线性规划问题。即令t=1/(vTx0)，w=tv，=tu，则可将分式规划(P1)化为线性规划（P）的含义是，对于被评价决策单元DMUj0，选择权向量w=(w1，w2，…，wm)T，和=(1，2，…，s)T，在满足1、wTx0=1，即被评价决策单元DMUj0的输入组合为1；210,1,...,,0-..(P)TwxwnjyxwtSyMaxVTjjTTP7.2DEA的基本模型—C2R模型(续）2、每个决策单元DMUj（j=1,2,…,n）(包括被评价的决策单元DMUj0)的输入组合值不小于输出组合值。条件下，使被评价决策单元DMUj0的输出组合值Ty0最大。即求输入和输出的最优组合权重，并根据最优的Ty0值刻划被评价决策单元DMUj0的有效性。•根据线性规划（P），我们可给出被评价决策单元DMUj0的严格定义。•定义1：若线性规划（P）的最优解w*，*满足VP=*Ty0=1，则称决策单元DMUj0为弱DEA有效。•定义2：若线性规划（P）的最优解w*，*满足VP=*Ty0=1，且w*0，*0则称决策单元DMUj0为DEA有效。7.2DEA的基本模型—C2R模型(例）例1现有4个决策单元，每个决策单元有2个输入指标和1个输出指标，其具体数值如下：试利用DEA方法判断每个决策单元的相对有效性。解1、对于决策单元DMU1，有231343311211输入输出1234决策单元7.2DEA的基本模型—C2R模型(例）解1、对于决策单元DMU1，有解得其最优解为w*=(1/2，1/6)T，*=1，且VP=*=1，所以决策单元DMU1为DEA有效132423333121211211211211211,,..的基本模型—C2R模型(例）2、对于决策单元DMU2，有解得其最优解为w*=(1/6，1/2)T，*=1，且VP=*=1，所以决策单元DMU2为DEA有效132423333121211211211211211,,..的基本模型—C2R模型(例）3、对于决策单元DMU3，有解得其最优解为w*=(1/4，1/12)T，*=1*=1/2，且VP=21*=1，所以决策单元DMU3也是DEA有效13324233332121211211211211211,,..的基本模型—C2R模型(例）4、对于决策单元DMU4，有解得其最优解为w*=(1/10，3/10)T，*=1*=3/5，且VP=1*=3/51，所以决策单元DMU3为非DEA有效。1242423333121211211211211211,,..的基本模型—C2R模型(续）对于线性规划（P），根据对偶理论，可建立其对偶规划。为此，选择对偶变量1，2，…，n分别对应线性规划（P）的前n个约束方程，而让另一个对偶变量对应第n+1个约束方程，这样，可得到线性规划（P）的对偶规划如下：其中，s＋为松弛变量，s－为剩余变量。2111不限（,,,...,,,..)jssnjysyxsxtSMinVDnjjjnjjjD7.2DEA的基本模型—C2R模型(续）利用对偶规划（D），我们也可给出被评价决策单元DMUj0的有效性定义。定义3若对偶规划（D）的最优解满足*=1，则称决策单元DMUj0为弱DEA有效。定义4若对偶规划（D）的最优解满足*=1，且s－*=0，s+*=0，则称决策单元DMUj0为DEA有效。可以证明，根据线性规划（P）所定义的弱DEA有效和DEA有效和根据对偶线性规划（D）所定义的弱DEA有效和DEA有效是等价的。7.2DEA的基本模型—C2R模型(续）例2基本数据同例1试利用对偶规划（D）判定各决策单元的DEA有效性。231343311211输入输出1234决策单元7.2DEA的基本模型—C2R模型(续）解1、对与决策单元DMU1，有解得最优解为*=(1，0，0，0)T，s1+*=s2+*=s1－*=０，*=1，所以决策单元DMU1为DEA有效。4321123233433121143212432114321不限,,,,,,,..sssjssstSMinVjD7.2DEA的基本模型—C2R模型(续）2、对与决策单元DMU2，有解得最优解为*=(0，1，0，0)T，s1+*=s2+*=s1－*=０，*=1，所以决策单元DMU2也为DEA有效。4321122333433121143212432114321不限,,,,,,,..sssjssstSMinVjD7.2DEA的基本模型—C2R模型(续）3、决策单元DMU3有解得最优解为*=(0，0，1，0)T，s1+*=s2+*=s1－*=０，*=1，所以决策单元DMU3也为DEA有效。43212232333433121143212432114321不限,,,,,,,..sssjssstSMinVjD7.2DEA的基本模型—C2R模型(续）4、对与决策单元DMU4，有解得最优解为*=(0，3/5，1/5，0)T，s1+*=s2+*=s1－*=０，*=3/5，所以决策单元DMU4为非DEA有效。因此，利用对偶规划（D）判定各决策单元的有效性与利用线性规划（P）判定的结果完全相同43211222334433121143212432114321不限,,,,,,,..sssjssstSMinVjD7.3DEA有效的经济含义一、生产可能集将一个具有一定投入、产出的广义生产活动用一个向量（xj，yj）来描述，其中：xj=(x1j，x2j，…，xmj)T称为投入向量；yj=(y1j，y2j，…，ysj)T称为产出向量；这样，通过观察记录一系列已发生的生产活动（xj，yj）,j=1,2,…,n，我们可得到生产观测集{（xj，yj）|j=1,2,…,n}生产可能集T是指这样的生产活动全体：投入x后，可以产出y。它可记为T={（x，y）|投入x后，可以产出y}在C2R模型中，一般假设生产可能集T满足如下公理：7.3DEA有效的经济含义（续）公理1：凸性。即对任意的(x，y)T，(x’，y’)T和任意的常数[0，1]，均有(x，y)+（1-）(x’，y’)=（x+(1-)x’，y+(1-)y’）T公理2：锥性。即对任意的(x，y)T，常数k0，均有k(x，y)=(kx，ky)T。公理3：无效性。指（1）对任意的（x，y）T，且x’x，均有（x’，y）T；（2）对任意的（x，y）T，且y’y，均有（x，y’）T。其含义是：对于任意可行生产活动来说，按超量投入和亏量产出进行生产也总是可能的。公理4：最小性。生产可能集T是同时满足公理1-3的所有集合的交集。7.3DEA有效的经济含义（续）对于观察到的任意生产活动（xj，yj）均属于生产可能集合T，即（xj，yj）T，j=1,2,…,n。在满足公理1-3的基础上，利用已有的观察集（xj，yj）（j=1,2,…,n），可得生产可能集T为，则上式变为若令),...,,(,,...,,,,,|),(njkknjyykxxkyxTjjnjnjjjjjnjjj21