清华航院岑松老师弹塑性力学课件 第七章 弹性平面问题

1弹塑性力学弹塑性力学第五章弹性力学的平面问题1弹第五章第五章弹性力学的平面问题弹性力学的平面问题一、平面问题及其分类一、平面问题及其分类三维问题（空间问题）三维问题（空间问题）柱形杆扭转柱形杆扭转二二维维问问题题柱形杆问题平面问题平面问题弹性体的力学弹性体的力学柱形杆弯曲平面应力平面应力广义平面应力广义平面应力反平面问题变截面轴扭转柱形杆扭转柱形杆扭转广义平面应变广义平面应变平面应变平面应变柱形体2题题回转体问题回转体问题板壳问题（板壳力学）板壳问题（板壳力学）学问题学问题一维问题（一维问题（弹性力学简单问题弹性力学简单问题及材料力学问题）及材料力学问题）轴对称问题变截面轴纯弯曲变截面轴扭转2弹性力学平面问题：弹性力学平面问题：z一、平面问题及其分类一、平面问题及其分类第五章第五章弹性力学的平面问题弹性力学的平面问题z1.1.几何上是几何上是柱形体（等截面）柱形体（等截面）2.2.只承受只承受沿轴向均布的面内载荷沿轴向均布的面内载荷可以在二维域上描述其几何和承载的全部信息z0==εε0==σσ3()2111,xxuu=()211111,xxεε=()2122,xxuu=()212222,xxεε=()211212,xxεε=()211111,xxσσ=()212222,xxσσ=()211212,xxσσ=02313==εε02313==σσ?3=u?33=ε?33=σ一、平面问题及其分类一、平面问题及其分类第五章第五章弹性力学的平面问题弹性力学的平面问题()()„1.1平面应变和平面应力端面条件是关键！端面条件是关键！()2111,xxuu=()211111,xxεε=()2122,xxuu=()212222,xxεε=()211212,xxεε=()211111,xxσσ=()212222,xxσσ=()211212,xxσσ=?3=u?33=ε?33=σ4平面应变状态平面应变状态什么情况会产生平面应力状态？什么情况会产生平面应力状态？lxu,0033==0033≠=33σεlx,00333==σ003≠≠33uε平面应力状态平面应力状态033=σ可能可能3一、平面问题及其分类一、平面问题及其分类第五章第五章弹性力学的平面问题弹性力学的平面问题„1.2平面应变问题xx1x2x2x3无限长柱形体任意截无限长柱形体任意截面均为面均为对称面：对称面：02313==σσ03=u5光滑接触面刚性墙02313==σσ03=u无论垂直于平面方向的尺寸大小均为平面应变问题无论垂直于平面方向的尺寸大小均为平面应变问题垂直于平面方向无限长的问题也是平面应变问题垂直于平面方向无限长的问题也是平面应变问题一、平面问题及其分类一、平面问题及其分类第五章第五章弹性力学的平面问题弹性力学的平面问题„1.2平面应变问题大坝长度很长，在远离两岸处近似作为平面应变问题处理。6重力坝4一、平面问题及其分类一、平面问题及其分类第五章第五章弹性力学的平面问题弹性力学的平面问题„1.2平面应变问题地下隧道也因为很长而近似作为平面应变问题处理7问题处理。地下隧道一、平面问题及其分类一、平面问题及其分类第五章第五章弹性力学的平面问题弹性力学的平面问题„1.3平面应力问题x1x2自由表面自由表面任意取出小片的两表面也应满足：任意取出小片的两表面也应满足：02313==σσ033=σ为此要求小片自由变形后保持协调，为此要求小片自由变形后保持协调，即两表面变形后仍为平面。即两表面变形后仍为平面。8自由表面自由表面x302313==σσ033=σ面内正应力之和应为坐标的线性函数。面内正应力之和应为坐标的线性函数。cbxax++=2133εc'b'xa'x++=+222111σσ)(221133σσνε+−=E5一、平面问题及其分类一、平面问题及其分类第五章第五章弹性力学的平面问题弹性力学的平面问题„1.3平面应力问题9纯弯变形：上端变薄下端变厚纯弯变形：上端变薄下端变厚平行的平面变成不平行的平行的平面变成不平行的平面平面级分析级分析一、平面问题及其分类一、平面问题及其分类第五章第五章弹性力学的平面问题弹性力学的平面问题„1.4广义平面应力问题x3量级分析量级分析013,132,121,11=+++fσσσ023,232,221,21=+++fσσσ03,332,231,13=++σσσhabx23hbb131211~~σσσ10ha,bx1b~,~,21hbb131211σσσh~,3hbb232212~~σσσhbb332313~~σσσ22332313221211~,~,,hbhbhbσσσσσσ6一、平面问题及其分类一、平面问题及其分类第五章第五章弹性力学的平面问题弹性力学的平面问题„1.4广义平面应力问题11薄片薄片一、平面问题及其分类一、平面问题及其分类第五章第五章弹性力学的平面问题弹性力学的平面问题„1.5广义平面应变问题x2x312纯弯曲纯弯曲x1x3平面应变平面应变简单拉压简单拉压的线性组合的线性组合广义平面应变问题广义平面应变问题远离端部远离端部7一、平面问题及其分类一、平面问题及其分类第五章第五章弹性力学的平面问题弹性力学的平面问题„1.5广义平面应变问题假设端面约束轴向位移平面应变问题解解出端面法向应力分布反向施加法向面力广广义义平平面面应应13端面自由端面自由反向施加法向面力柱形体问题远离端面处叠加材料力学拉压、纯弯解应应变变问问题题的的解解一、平面问题及其分类一、平面问题及其分类第五章第五章弹性力学的平面问题弹性力学的平面问题„1.5广义平面应变问题平面应变问题解远离端面处叠加材料力学拉压、纯弯解有明显应力集中情况叠加部分相对可以忽略有明显应力集中情况叠加部分相对可以忽略14裂纹尖端远离两端裂纹尖端远离两端自由表面处也按平自由表面处也按平面应变问题处理。面应变问题处理。8一、平面问题及其分类一、平面问题及其分类第五章第五章弹性力学的平面问题弹性力学的平面问题„1.5广义平面应变问题15裂纹尖端远离两端裂纹尖端远离两端自由表面处也按平自由表面处也按平面应变问题处理。面应变问题处理。二、平面问题的基本方程二、平面问题的基本方程第五章第五章弹性力学的平面问题弹性力学的平面问题„2.1基本假设平面应变平面应变平面应力平面应力),(211111xxεε=),(212222xxεε=),(211111xxσσ=),(212222xxσσ=16),(21122112xxεεε==0231333===εεε),(21122112xxσσσ==0231333===σσσ9二、平面问题的基本方程二、平面问题的基本方程第五章第五章弹性力学的平面问题弹性力学的平面问题„2.2广义胡克定律])1[(δ)(222111111εελεσ++=G)(222112222εελεσ++=GαβαβαβδλεεσkkG+=2Ekk])1[(αβαβαβδνσσνε−+=平面应变平面应变平面应力平面应力E)(221111νσσε−=E)(112222νσσε−=1712122εσG=)(221133εελσ+=0≠02331==σσ()()GE21121212σσνε=+=E)(221133σσνε+−=02331==εε0≠不独立不独立不独立不独立„2.2广义胡克定律02331==σσ二、平面问题的基本方程二、平面问题的基本方程第五章第五章弹性力学的平面问题弹性力学的平面问题应变应变应力应力02331==εε)(222111111εελεσ++=G)(222112222εελεσ++=G12122εσG=)(221133εελσ+=平面应变平面应变平面应力平面应力)(12211211νεενσ+−=E)(11122222νεενσ+−=E12122εσG=033=σ18E)(221111νσσε−=E)(112222νσσε−=()G21212σε=E)(221133σσνε+−=⎟⎠⎞⎜⎝⎛−−−=221121111σννσνεE⎟⎠⎞⎜⎝⎛−−−=112222211σννσνεE()G21212σε=033=ε10„2.2广义胡克定律二、平面问题的基本方程二、平面问题的基本方程第五章第五章弹性力学的平面问题弹性力学的平面问题应变应变平面应力平面应力()()()[]2211111211νεενννσ+−−+=E平面应变平面应变平面应力平面应力)(12211211νεενσ+−=E)(11122222νεενσ+−=E)(222111111εελεσ++=G()()()[]1122221211νεενννσ+−−+=E()ννννν+→+)+→1121(2EE19)(222112222εελεσ++=G)(1221111νσσε−=E)(1112222νσσε−=E⎟⎠⎞⎜⎝⎛−−−=221121111σννσνεE⎟⎠⎞⎜⎝⎛−−−=112222211σννσνεEνννν←−←−112EE二、平面问题的基本方程二、平面问题的基本方程第五章第五章弹性力学的平面问题弹性力学的平面问题„2.3平衡方程Ω∈∀=+γαβαβσxf0,012,121,11=++fσσ022,221,12=++fσσ无论平面应变或平面应力问题都只有面内应力分量是独无论平面应变或平面应力问题都只有面内应力分量是独立未知量，涉及的平衡方程只有两个，第三个自然满足立未知量，涉及的平衡方程只有两个，第三个自然满足20面力边界条件面力边界条件αγαβαβσtxtnΓ∈∀=1122111tnn=+σσ2222121tnn=+σσ11二、平面问题的基本方程二、平面问题的基本方程第五章第五章弹性力学的平面问题弹性力学的平面问题„2.4应变协调方程66个不同方程个不同方程0,=klijnilmjkeeε平面应变平面应变平面应力平面应力0212,1211,2222,11=−+εεε平面应力平面应力除上式外还有三式除上式外还有三式21平面应力平面应力除上式外还有三式：除上式外还有三式：022,33=ε011,33=ε012,33=ε即即cbxax++=2133ε广义平面应力问题不满足此方程广义平面应力问题不满足此方程是近似解1二、平面问题的基本方程二、平面问题的基本方程第五章第五章弹性力学的平面问题弹性力学的平面问题„2.5几何方程Ω∈∀+=γαββααβεxuu)(21,,1,111u=ε2,222u=ε)(211,22,112uu+=ε平面应力问题还有一个不独立的轴向正应变平面应力问题还有一个不独立的轴向正应变νν22)(221133σσνε+−=E)(12211εενν+−−=)(12,21,1uu+−−=νν=3u321)(xCBxAx++=位移边界条件位移边界条件αγααuxuuΓ∈∀=∫333dxε32133),(xxxε=33,u=12独立未知量独立未知量21,uu122211,,σσσ122211,,εεε三、平面问题的基本解法三、平面问题的基本解法第五章第五章弹性力学的平面问题弹性力学的平面问题平衡方程平衡方程⎩⎨⎧=++=++0022,221,1212,121,11ffσσσσΩ∈∀21,xx几何方程几何方程()21,22,1122,2221,111uuuu+===εεε本构方程本构方程1212112222221111σενσσενσσε=−=−=23协调方程协调方程0212,1211,2222,11=−+εεεGEE2122211((平面应力平面应力))1212112222222112112)(1)(1εσνεενσνεενσGEE=+−=+−=)1/(),1/(2νννν−→−→EE((平面应变平面应变))只列出了独立未知量的方程边界条件边界条件⎧三、平面问题的基本解法三、平面问题的基本解法第五章第五章弹性力学的平面问题弹性力学的平面问题⎩⎨⎧=+=[phone]tnntnnσσσσαtSxx∈∀21,⎩⎨⎧==2211uuuuαuSxx∈∀21,复连域有分形式的位移单值条件复连域有分形式的位移单值条件24复连通域还有积分形式的位移单值条件复连通域还有积分形式的位移单值条件