2017学年数学必修三：3.1.1-随机事件的概率

第三章概率3.1随机事件的概率3.1.1随机事件的概率【知识提炼】1.事件的概念与分类必然事件：在条件S下，___________的事件事件不可能事件：在条件S下，_____________的事件随机事件：在条件S下_____________________的事件确定事件一定会发生一定不会发生可能发生也可能不发生2.频数与频率在相同的条件S下重复n次试验，观察某一事件A是否出现，称n次试验中事件A出现的______为事件A出现的频数，称事件A出现的比例fn(A)=为事件A出现的频率.次数nAAnn3.概率(1)含义：概率是度量随机事件发生的___________的量.(2)与频率的联系：对于给定的随机事件A，事件A发生的_________随着试验次数的增加稳定于_________，因此可以用_________来估计_________.可能性大小频率fn(A)概率P(A)频率fn(A)概率P(A)【即时小测】1.思考下列问题：(1)事件的分类是确定的吗?提示：事件的分类是相对于条件来讲的，在条件变化时，必然事件、随机事件、不可能事件可以相互转化.(2)频率和概率可以相等吗?提示：可以相等.但因为每次实验的频率是多少是不固定的，而概率是固定的，故一般是不相等的，但有可能是相等的.2.下列事件是确定事件是的()A.2018年世界杯足球赛期间不下雨B.没有水，种子发芽C.对任意x∈R，有x+12xD.抛掷一枚硬币，正面朝上【解析】选B.选项A，C，D均是随机事件，选项B是不可能事件，所以也是确定事件.3.下列事件中，是随机事件的是()A.长度为3，4，5的三条线段可以构成一个三角形B.长度为2，3，4的三条线段可以构成一直角三角形C.方程x2+2x+3=0有两个不相等的实根D.函数y=logax(a0且a≠1)在定义域上为增函数【解析】选D.A为必然事件，B，C为不可能事件.4.下列说法正确的是()A.任一事件的概率总在(0，1)内B.不可能事件的概率不一定为0C.必然事件的概率一定为1D.以上均不对【解析】选C.任一事件的概率总在[0，1]内，不可能事件的概率为0，必然事件的概率为1.5.某射击运动员射击20次，恰有18次击中目标，则该运动员击中目标的频率是.【解析】设击中目标为事件A，则n=20，nA=18，则f20(A)==0.9.答案：0.91820【知识探究】知识点1事件的分类观察图形，回答下列问题：问题1：以上三个事件一定发生吗?问题2：事件分哪几类?怎样判断?【总结提升】1.事件的分类及三种事件2.对事件分类的两个关键点(1)条件：在条件S下事件发生与否是与条件相对而言的，没有条件，无法判断事件是否发生.(2)结果发生与否：有时结果较复杂，要准确理解结果包含的各种情况.知识点2频率与概率阅读下面的试验，回答问题：小明同学为验证掷硬币一次出现正面的概率为0.5的猜想，特将质地均匀的一元硬币抛掷了100次.问题1：小明所掷的100次中正面向上的次数一定是50次吗?问题2：频率与概率有什么联系与区别?【总结提升】频率与概率的联系与区别名称区别联系频率本身是随机的，在试验之前无法确定，大多会随着试验次数的改变而改变.做同样次数的重复试验，得到的频率值也可能会不同1.频率是概率的近似值，随着试验次数的增加，频率会越来越接近概率.2.在实际问题中，事件的概率通常情况下是未知的，常用频率估计概率.概率是一个[0，1]中的确定值，不随试验结果的改变而改变【题型探究】类型一事件的判断【典例】在下列事件中，哪些是必然事件?哪些是不可能事件?哪些是随机事件：①如果a，b都是实数，那么a+b=b+a；②从分别标有1，2，3，4，5，6的6张签中任取一张，得到4号签；③没有空气，种子发芽；④某电话总机在60秒内接到至少15个电话；⑤在标准大气压下，水的温度达到50℃时会沸腾；⑥同性电荷，相互排斥.【解题探究】典例中如何判断一个事件是必然事件、不可能事件、随机事件?提示：典例中判断一个事件可根据相应事件的定义来判断.【解析】由实数的运算性质知①恒成立；由物理知识知同性电荷相斥，即⑥恒成立，故①⑥是必然事件.没有空气，种子不会发芽；标准大气压下，水的温度达到50℃时不会沸腾，故③⑤是不可能事件.从6张签中任取一张，可能取出4号签，也可能取不到4号签；电话总机在60秒内可能接到至少15个电话，也可能接不到15个电话，故②④是随机事件.【方法技巧】绘制频率分布直方图的注意事项判断一个事件是随机事件、必然事件还是不可能事件，首先一定要看条件，其次是看在该条件下所研究的事件是一定发生(必然事件)、不一定发生(随机事件)，还是一定不会发生(不可能事件).【变式训练】指出下列事件哪些是必然事件?哪些是不可能事件?哪些是随机事件?(1)函数f(x)=x2-2x+1的图象关于直线x=1对称.(2)某人给其朋友打电话，却忘记了朋友电话号码的最后一个数字，就随意拨了一个数字，恰巧是朋友的电话号码.(3)直线y=kx+6是定义在R上的增函数.(4)若|a+b|=|a|+|b|，则a，b同号.【解析】必然事件有(1)；随机事件有(2)，(3)，(4).对于(4)，当|a+b|=|a|+|b|时，有两种可能：一种可能是a，b同号，即ab0，另外一种可能是a，b中至少有一个为0，即ab=0.类型二利用频率与概率的关系求概率【典例】1.样本容量为200的频率分布直方图如图所示.根据样本的频率分布直方图估计，样本数据落在[6，10)内的频数为，数据落在[6，10)内的概率约为.2.某公司在过去几年内使用某种型号的灯管1000支，该公司对这些灯管的使用寿命(单位：小时)进行了统计，统计结果如表所示：分组[500，900)[900，1100)[1100，1300)频数48121208频率[1300，1500)[1500，1700)[1700，1900)[1900，+∞)22319316542(1)将各组的频率填入表中.(2)根据上述统计结果，估计灯管使用寿命不足1500小时的概率.【解题探究】1.典例1中频率分布直方图的纵轴表示什么？组距是多少？提示：纵轴表示组距是4.2．典例2中如何计算频率？当试验次数较多时，频率是否就是概率？提示：频率=当试验次数较多时，频率很接近概率，但一般不等于概率.频率，组距An.n【解析】1.由题干图易知组距为4，故样本数据落在[6，10)内的频率为0.08×4=0.32，频数为0.32×200=64，所以估计数据落在[6，10)内的概率约为0.32.答案：640.322.(1)频率依次是：0.048，0.121，0.208，0.223，0.193，0.165，0.042.(2)样本中寿命不足1500小时的频数是48+121+208+223=600，所以样本中寿命不足1500小时的频率是=0.6.即灯管使用寿命不足1500小时的概率约为0.6.6001000【延伸探究】若典题2中得到的统计表部分数据丢失，请补充完整，并回答问题.分组[500，900)[900，1100)[1100，1300)频数48208频率0.121若灯管使用寿命不小于1100小时为合格，求合格率.[1300，1500)[1500，1700)[1700，1900)[1900，+∞)2231930.165【解析】合格率为0.208+0.223+0.193+0.165+0.042=0.831.分组[500，900)[900，1100)[1100，1300)频数48121208频率0.0480.1210.208[1300，1500)[1500，1700)[1700，1900)[1900，+∞)223193165420.2230.1930.1650.042【方法技巧】随机事件概率的理解及求法(1)理解：概率可看作频率理论上的期望值，它从数量上反映了随机事件发生的可能性的大小.当试验的次数越来越多时，频率越来越趋近于概率.当次数足够多时，所得频率就近似地看作随机事件的概率.(2)求法：通过公式fn(A)=计算出频率，再由频率估算概率.Anmnn＝【变式训练】国家乒乓球比赛的用球有严格标准，下面是有关部门对某乒乓球生产企业某批次产品的抽样检测，结果如表所示：抽取球数目5010020050010002000优等品数目45921944709541902优等品频率(1)计算表中优等品的各个频率.(2)从这批产品中任取一个乒乓球，质量检测为优等品的概率约是多少?【解析】(1)如表(2)根据频率与概率的关系，可以认为从这批产品中任取一个乒乓球，质量检测为优等品的概率约是0.95.抽取球数目5010020050010002000优等品数目45921944709541902优等品频率0.90.920.970.940.9540.951【补偿训练】(2014·济宁高一检测)已知40个同学，他们有的步行上学，有的骑车上学，还有的乘车上学.(1)根据已知信息完成下表.(2)试估计40个同学中任意一名同学不步行上学的概率.上学方式步行骑车乘车“正”字法记录正正正频数10频率0.375【解题指南】解题时要注意公式“频率=”，抓住频率的定义解题.【解析】（1）步行的频数是15，频率是=0.375;骑车的频数是10，则频率是=0.25;乘车的频率是0.375，则频数是40×0.375=15.频数试验次数15401040如表所示：(2)不步行上学包括骑车和乘车两种情形，由(1)可估计其概率为0.25+0.375=0.625.上学方式步行骑车乘车“正”字法记录正正正正正正正正频数151015频率0.3750.250.375类型三试验与重复试验的结果分析【典例】下列随机事件中，一次试验各指什么?试写出试验的所有结果.(1)抛掷两枚质地均匀的硬币多次.(2)从集合A={a，b，c，d}中任取3个元素组成集合A的子集.【解题探究】典例中的事件怎样才算完成一次试验?提示：(1)中的一次试验指的是抛掷两枚质地均匀的硬币一次；(2)中一次试验指的是从集合A={a，b，c，d}中任取3个元素组成一个子集.【解析】(1)一次试验是指“抛掷两枚质地均匀的硬币一次”，试验的可能结果有4个：(正，反)，(正，正)，(反，反)，(反，正).(2)一次试验是指“从集合A中一次选取3个元素组成一个子集”，试验的结果共有4个：{a，b，c}，{a，b，d}，{a，c，d}，{b，c，d}.【延伸探究】若本例(2)中改为任取2个元素呢?【解析】一次试验是指“从集合A中一次选取2个元素”，试验的结果有{a，b}，{a，c}，{a，d}，{b，c}，{b，d}，{c，d}.【方法技巧】不重不漏地列举试验的所有可能结果的方法(1)结果是相对于条件而言的，要弄清试验的结果，必须首先明确试验中的条件.(2)根据日常生活经验，按照一定的顺序列举出所有可能的结果，可应用画树状图、列表等方法解决.【变式训练】袋中装有大小相同的红、白、黄、黑4个球，分别写出以下随机试验的条件和结果.(1)从中任取1球.(2)从中任取2球.【解析】(1)条件为：从袋中任取1球.结果为：红、白、黄、黑4种.(2)条件为：从袋中任取2球.若记(红，白)表示一次试验中，取出的是红球与白球，结果为：(红，白)，(红，黄)，(红，黑)，(白，黄)，(白，黑)，(黄，黑)6种.【补偿训练】先后抛掷两枚骰子，至少有一个点数1出现的结果有()A.4种B.6种C.8种D.11种【解题指南】分别考虑第一枚点数为1及第二枚点数是1，将含有点数1的结果一一列出.【解析】选D.含有点数1的有(1，1)，(1，2)，(1，3)，(1，4)，(1，5)，(1，6)，(2，1)，(3，1)，(4，1)，(5，1)，(6，1)，共11种.易错案例事件类型判断问题【典例】(2015·汕头高一检测)从12个同类产品(其中10个是正品，2个是次品)中任意抽取3个的必然事件是()A.3个都是正品B.至少有1个是次品C.3个都是次品D.至少有1个是正品【失误案例】【错解分析】分析解题过程，你知道错在哪里吗?提示：两种错