平面向量知识点总结、经典例题及解析、高考题50道及答案

1第五章平面向量【考纲说明】1、理解平面向量的概念和几何表示，理解两个向量相等及共线的含义，掌握向量的加、减、数乘运算及其几何意义，会用坐标表示。2、了解平面向量的基本定理，掌握平面向量的坐标运算。3、掌握数量积的坐标表达式，会进行平面向量数量积的运算，会用向量方法解决简单的平面几何问题、力学问题与其他一些实际问题。【知识梳理】一、向量的基本概念与线性运算1新疆源头学子小屋特级教师王新敞@[e-mail]王新敞特级教师源头学子小屋新疆向量的概念：（1）向量：既有大小又有方向的量，记作AB；向量的大小即向量的模（长度），记作|AB|新疆源头学子小屋特级教师王新敞@[e-mail]王新敞特级教师源头学子小屋新疆向量不能比较大小，但向量的模可以比较大小．（2）零向量：长度为0的向量，记为0，其方向是任意的，0与任意向量平行新疆源头学子小屋特级教师王新敞@[e-mail]王新敞特级教师源头学子小屋新疆（3）单位向量：模为1个单位长度的向量新疆源头学子小屋特级教师王新敞@[e-mail]王新敞特级教师源头学子小屋新疆常用e表示．（4）平行向量（共线向量）：方向相同或相反的非零向量，记作a∥b奎屯王新敞新疆平行向量也称为共线向量奎屯王新敞新疆（5）相等向量：长度相等且方向相同的向量新疆源头学子小屋特级教师王新敞@[e-mail]王新敞特级教师源头学子小屋新疆相等向量经过平移后总可以重合，记为ba新疆源头学子小屋特级教师王新敞@[e-mail]王新敞特级教师源头学子小屋新疆大小相等，方向相同),(),(2211yxyx2121yyxx新疆源头学子小屋特级教师王新敞@[e-mail]王新敞特级教师源头学子小屋新疆（6）相反向量：与a长度相等、方向相反的向量，叫做a的相反向量新疆源头学子小屋特级教师王新敞@[e-mail]王新敞特级教师源头学子小屋新疆记作a,零向量的相反向量仍是零向量新疆源头学子小屋特级教师王新敞@[e-mail]王新敞特级教师源头学子小屋新疆若a、b是互为相反向量，则a=b,b=a,a+b=0新疆源头学子小屋特级教师王新敞@[e-mail]王新敞特级教师源头学子小屋新疆2新疆源头学子小屋特级教师王新敞@[e-mail]王新敞特级教师源头学子小屋新疆向量的线性运算：（1）向量的加法：求两个向量和的运算叫做向量的加法新疆源头学子小屋特级教师王新敞@[e-mail]王新敞特级教师源头学子小屋新疆向量加法满足交换律与结合律；向量加法有“三角形法则”与“平行四边形法则”．（2）向量的减法：求向量a加上b的相反向量的运算叫做a与b的差．向量的减法有三角形法则，ba可以表示为从b的终点指向a的终点的向量（a、b有共同起点）新疆源头学子小屋特级教师王新敞@[e-mail]王新敞特级教师源头学子小屋新疆（3）向量的数乘运算：求实数λ与向量a的积的运算，记作λa．①aa；②当0时，λa的方向与a的方向相同；当0时，λa的方向与a的方向相反；当0时，0a，方向2是任意的新疆源头学子小屋特级教师王新敞@[e-mail]王新敞特级教师源头学子小屋新疆③数乘向量满足交换律、结合律与分配律新疆源头学子小屋特级教师王新敞@[e-mail]王新敞特级教师源头学子小屋新疆3.两个向量共线定理：向量b与非零向量a共线有且只有一个实数，使得b=a新疆源头学子小屋特级教师王新敞@[e-mail]王新敞特级教师源头学子小屋新疆向量b与非零向量a共线有两个均不是零的实数、，使得0ab．二、平面向量的基本定理与坐标表示1新疆源头学子小屋特级教师王新敞@[e-mail]王新敞特级教师源头学子小屋新疆平面向量的基本定理：如果21,ee是一个平面内的两个不共线向量，那么对这一平面内的任一向量a，有且只有一对实数21,使：2211eea，其中不共线的向量21,ee叫做表示这一平面内所有向量的一组基底新疆源头学子小屋特级教师王新敞@[e-mail]王新敞特级教师源头学子小屋新疆2.平面向量的坐标表示：（1）在直角坐标系中，分别取与x轴、y轴方向相同的两个单位向量,ij作为基底新疆源头学子小屋特级教师王新敞@[e-mail]王新敞特级教师源头学子小屋新疆由平面向量的基本定理知，该平面内的任一向量a可表示成axiyj，由于a与数对(x,y)是一一对应的，因此把(x,y)叫做向量a的坐标，记作a=(x,y)，其中x叫作a在x轴上的坐标，y叫做在y轴上的坐标新疆源头学子小屋特级教师王新敞@[e-mail]王新敞特级教师源头学子小屋新疆显然0=（0,0），(1,0)i，(0,1)j．（2）设OAxiyj.则向量OA的坐标(x,y)就是终点A的坐标，即若OA=(x,y)，则A点的坐标为(x,y)，反之亦成立（O是坐标原点）．3新疆源头学子小屋特级教师王新敞@[e-mail]王新敞特级教师源头学子小屋新疆平面向量的坐标运算：（1）若1122,,,axybxy，则1212,abxxyy．（2）若2211,,,yxByxA，则2121,ABxxyy，221212()()ABxxyy．（3）若a=(x,y)，则a=(x,y)．（4）若1122,,,axybxy，则1221//0abxyxy．（5）若1122,,,axybxy，则1212abxxyy．三、平面向量的数量积1新疆源头学子小屋特级教师王新敞@[e-mail]王新敞特级教师源头学子小屋新疆两个向量的数量积：已知两个非零向量a与b，它们的夹角为，a·b等于a的长度与b在a方向上的投影的乘积叫做a与b的数量积（或内积），即a·b=︱a︱·︱b︱cos，规定00a新疆源头学子小屋特级教师王新敞@[e-mail]王新敞特级教师源头学子小屋新疆32新疆源头学子小屋特级教师王新敞@[e-mail]王新敞特级教师源头学子小屋新疆向量的投影：︱b︱cos=||aba∈R，称为向量b在a方向上的投影新疆源头学子小屋特级教师王新敞@[e-mail]王新敞特级教师源头学子小屋新疆投影的绝对值称为射影新疆源头学子小屋特级教师王新敞@[e-mail]王新敞特级教师源头学子小屋新疆3新疆源头学子小屋特级教师王新敞@[e-mail]王新敞特级教师源头学子小屋新疆向量的模与平方的关系：22||aaaa新疆源头学子小屋特级教师王新敞@[e-mail]王新敞特级教师源头学子小屋新疆4新疆源头学子小屋特级教师王新敞@[e-mail]王新敞特级教师源头学子小屋新疆乘法公式成立：2222abababab；2222abaabb222aabb．5新疆源头学子小屋特级教师王新敞@[e-mail]王新敞特级教师源头学子小屋新疆平面向量数量积的运算律：①交换律成立：ab