2014创新设计高中数学(苏教版)第十章 第4讲 与圆锥曲线有关的定值、最值与范围问题

抓住2个考点突破3个考向揭秘3年高考考点梳理1．圆锥曲线中的最值第4讲与圆锥曲线有关的定值、最值与范围问题(1)椭圆中的最值F1、F2为椭圆x2a2＋y2b2＝1(ab0)的左、右焦点，P为椭圆的任意一点，B为短轴的一个端点，O为坐标原点，则有抓住2个考点突破3个考向揭秘3年高考①|OP|∈[b，a]；②|PF1|∈[a－c，a＋c]；③|PF1|·|PF2|∈[b2，a2]；④∠F1PF2≤∠F1BF2.(2)双曲线中的最值F1、F2为双曲线x2a2－y2b2＝1(a0，b0)的左、右焦点，P为双曲线上的任一点，O为坐标原点，则有①|OP|≥a；②|PF1|≥c－a.抓住2个考点突破3个考向揭秘3年高考(3)抛物线中的最值点P为抛物线y2＝2px(p0)上的任一点，F为焦点，则有①|PF|≥p2；②A(m，n)为一定点，则|PA|＋|PF|有最小值．2．圆锥曲线中的定点、定值问题解决这类定点与定值问题的方法有两种：一是研究一般情况，通过逻辑推理与计算得到定点或定值，这种方法难度大，运算量大，且思路不好寻找；另外一种方法就是先利用特殊情况确定定点或定值，然后验证，这样在整理式子或求值时就有了明确的方向．抓住2个考点突破3个考向揭秘3年高考求最值或范围常见的解法：(1)几何法．若题目的条件和结论能明显体现几何特征及意义，可考虑利用图形性质来解决；(2)代数法．若题目的条件和结论能体现一种明确的函数关系，则可首先建立目标函数，再根据函数知识求最值；(3)求函数最值常用的代数法有配方法、判别式法、导数法、基本不等式法及函数的单调性、有界性法等．【助学·微博】抓住2个考点突破3个考向揭秘3年高考考点自测1．已知P是椭圆x24＋y2＝1的上顶点，Q是该椭圆上任意一点，则PQ的最大值为________．解析设Q(x0，y0)，则x204＋y20＝1，且－1≤y0≤1.又P(0,1)，所以PQ＝x20＋y0－12＝4－4y20＋y20－2y0＋1＝－3y20－2y0＋5当y0＝－13时，(PQ)max＝433.答案433抓住2个考点突破3个考向揭秘3年高考2．已知椭圆x24＋y2＝1的左、右焦点分别为F1、F2，点P为椭圆上一动点，若∠F1PF2为钝角，则点P的横坐标的取值范围是________．解析设椭圆上一点P的坐标为(x，y)，则F1P→＝(x＋3，y)，F2P→＝(x－3，y)∵∠F1PF2为钝角，∴F1P→·F2P→＜0，即x2－3＋y2＜0，则有x2＜83，解得－263＜x＜263，∴x∈－263，263答案－263，263抓住2个考点突破3个考向揭秘3年高考3．椭圆x2a2＋y2b2＝1(ab0)的右焦点为F，焦距为2c，以F为圆心，a为半径的圆与直线x＝a2c交于不同的两点，则椭圆离心率的取值范围是________．解析由题意，得a2c－ca，即c2＋ac－a20，所以e2＋e－10.又0e1，解得5－12e1.答案5－12，1抓住2个考点突破3个考向揭秘3年高考4．已知F1、F2分别是椭圆x2a2＋y2b2＝1(a＞b＞0)的左、右焦点，过F1作垂直于x轴的直线交椭圆于A、B两点，若△ABF2为锐角三角形，则椭圆的离心率的范围是________．解析△ABF2为锐角三角形，又AF1＝b2a，F1F2＝2c，tan∠AF2F1＝b2a2c＜tan45°＝1，∴b2＜2ac，即a2－c22ac，c2＋2ac－a20，所以e2＋2e－10，解得e2－1.又0e1，所以2－1e1.答案(2－1,1)抓住2个考点突破3个考向揭秘3年高考5．(2012·盐城调研)在平面直角坐标系xOy中，椭圆x2a2＋y2b2＝1(a＞b＞0)的左焦点为F，右顶点为A，点P是椭圆上一点，l为左准线，PQ⊥l，垂足为Q.若四边形PQFA为平行四边形，则椭圆的离心率e的取值范围是________．解析由题意知AF＝PQ，即a＋c＝xP＋a2c，则xP＝a＋c－a2c，所以有－a＜a＋c－a2c＜a，∴c＜a2c＜2a＋c，那么a2＜2ac＋c2，∴e2＋2e－1＞0.又0＜e＜1，所以2－1＜e＜1.答案(2－1,1)抓住2个考点突破3个考向揭秘3年高考考向一与圆锥曲线有关的定值问题【例1】(2013·南京金陵中学模拟)设椭圆x24＋y2＝1的右顶点为A，过椭圆长轴所在直线上的一个定点M(m,0)(不同于A)任作一条直线与椭圆相交于P、Q两点，直线AP、AQ的斜率分别记为k1、k2.(1)当PQ⊥x轴时，求AP→·AQ→；(2)求证：k1·k2等于定值．抓住2个考点突破3个考向揭秘3年高考(1)解当PQ⊥x轴时，将x＝m代入方程x24＋y2＝1，得Pm，1－m24，Qm，－1－m24.又A(2,0)，所以AP→·AQ→＝m－2，1－m24·m－2，－1－m24＝(m－2)2－1－m24＝54m2－4m＋3.抓住2个考点突破3个考向揭秘3年高考因为k1＝1－m24m－2，k2＝－1－m24m－2，所以k1·k2＝－1－m24m－22＝m2－44m－22＝m＋24m－2.因为M为定点，所以m为定值．所以k1·k2＝m＋24m－2为定值．当直线PQ的斜率存在时，设直线PQ的斜率为k，其方程为y＝k(x－m)，与椭圆方程x24＋y2＝1联立得(4k2＋1)x2－8k2mx＋4k2m2－4＝0，(2)证明当直线PQ的斜率不存在时，抓住2个考点突破3个考向揭秘3年高考设直线PQ与椭圆的交点P，Q的坐标分别为(x1，k(x1－m))，(x2，k(x2－m))，则x1＋x2＝8k2m1＋4k2，x1·x2＝4k2m2－44k2＋1，则k1＝kx1－mx1－2，k2＝kx2－mx2－2，k1·k2＝k2x1－mx2－mx1－mx2－m＝k2[x1x2－mx1＋x2＋m2]x1x2－mx1＋x2＋m2＝k24k2m2－41＋4k2－m×8k2m1＋4k2＋m24k2m2－41＋4k2－16k2m21＋4k2＋4＝k2m2－44k2m－22＝抓住2个考点突破3个考向揭秘3年高考[方法总结]定点、定值问题可以先研究一下特殊情况，找出定点或定值，再视具体情况进行研究．同时，也要掌握巧妙利用特殊值解决定值、定点问题的方法，如将过焦点的弦特殊化，变成垂直于对称轴的弦来研究等．m＋24m－2，因为M为定点，所以m为定值，所以k1·k2＝m＋24m－2为定值．抓住2个考点突破3个考向揭秘3年高考【训练1】(2012·苏北四市二模)如图，已知椭圆C：x24＋y2＝1，A、B是四条直线x＝±2，y＝±1所围成的两个顶点．(1)设P是椭圆C上任意一点，若OP→＝mOA→＋nOB→，求证：动点Q(m，n)在定圆上运动，并求出定圆的方程；(2)设M、N是椭圆C上两个动点，且直线OM、ON的斜率之积等于直线OA、OB的斜率之积，试探求△OMN的面积是否为定值，说明理由．抓住2个考点突破3个考向揭秘3年高考(1)证明易知A(2,1)，B(－2,1)．设P(x0，y0)，则x204＋y20＝1，由OP→＝mOA→＋nOB→，得x0＝2m－n，y0＝m＋n，所以4m－n24＋(m＋n)2＝1，即m2＋n2＝12，故点Q(m，n)在定圆x2＋y2＝12上．(2)解设M(x1，y1)，N(x2，y2)，则y1y2x1x2＝－14.平方得x21x22＝16y21y22＝(4－x21)(4－x22)，即x21＋x22＝4.抓住2个考点突破3个考向揭秘3年高考因为直线MN的方程为(x2－x1)x－(y2－y1)y＋x1y2－x2y1＝0，所以O到直线MN的距离为d＝|x1y2－x2y1|x2－x12＋y2－y12，所以△OMN的面积S＝12MN·d＝12|x1y2－x2y1|＝12x21y22＋x22y21－2x1x2y1y2＝12x211－x224＋x221－x214＋12x21x22＝12x21＋x22＝1.故△OMN的面积为定值1.抓住2个考点突破3个考向揭秘3年高考考向二与圆锥曲线有关的最值问题【例2】已知抛物线C：y2＝4x，过点A(－1,0)的直线交抛物线C于P、Q两点，设AP→＝λAQ→.(1)若点P关于x轴的对称点为M，求证：直线MQ经过抛物线C的焦点F；(2)若λ∈13，12，求|PQ|的最大值．审题视点(1)可利用向量共线证明直线MQ过F；(2)建立|PQ|和λ的关系，然后求最值．抓住2个考点突破3个考向揭秘3年高考(1)证明设P(x1，y1)，Q(x2，y2)，M(x1，－y1)．∵AP→＝λAQ→，∴x1＋1＝λ(x2＋1)，y1＝λy2，∴y21＝λ2y22，y21＝4x1，y22＝4x2，x1＝λ2x2，∴λ2x2＋1＝λ(x2＋1)，λx2(λ－1)＝λ－1，∵λ≠1，∴x2＝1λ，x1＝λ，又F(1,0)，∴MF→＝(1－x1，y1)＝(1－λ，λy2)＝λ1λ－1，y2＝λFQ→，∴直线MQ经过抛物线C的焦点F.抓住2个考点突破3个考向揭秘3年高考(2)由(1)知x2＝1λ，x1＝λ，得x1x2＝1，y21·y22＝16x1x2＝16，∵y1y20，∴y1y2＝4，则|PQ|2＝(x1－x2)2＋(y1－y2)2＝x21＋x22＋y21＋y22－2(x1x2＋y1y2)＝λ＋1λ2＋4λ＋1λ－12＝λ＋1λ＋22－16，λ∈13，12，λ＋1λ∈52，103，当λ＋1λ＝103，即λ＝13时，|PQ|2有最大值1129，|PQ|的最大值为473.抓住2个考点突破3个考向揭秘3年高考[方法总结]圆锥曲线中的最值问题解决方法一般分两种：一是几何法，特别是用圆锥曲线的定义和平面几何的有关结论来求最值；二是代数法，常将圆锥曲线的最值问题转化为二次函数或三角函数的最值问题，然后利用基本不等式、函数的单调性或三角函数的有界性等求最值．抓住2个考点突破3个考向揭秘3年高考【训练2】(2012·苏锡常镇四市一模)如图，已知椭圆E：x2100＋y225＝1的上顶点为A，直线y＝－4交椭圆E于B、C两点(点B在点C的左侧)，点P在椭圆E上．(1)若点P的坐标为(6,4)，求四边形ABCP的面积；(2)若四边形ABCP为梯形，求点P的坐标；(3)若BP→＝m·BA→＋n·BC→(m，n为实数)，求m＋n的最大值．抓住2个考点突破3个考向揭秘3年高考解(1)A(0,5)，B(－6，－4)，C(6，－4)，S四边形ABCP＝S三角形ABC＋S三角形ACP＝12×12×(4＋5)＋12×8×6＝78.(2)要使四边形ABCP为梯形，当且仅当CP∥AB.∵kAB＝32，∴直线CP的方程为y＋4＝32(x－6)，即y＝32x－13.①又x2100＋y225＝1，即x2＋4y2－100＝0.②抓住2个考点突破3个考向揭秘3年高考由①②，得5x2－78x＋288＝0.即(x－6)(5x－48)＝0，∴x＝6或x＝485.∵点C(6，－4)，∴点P485，75.(3)BA→＝(6,9)，BC→＝(12,0)，BP→＝(x＋6，y＋4)，∵BP→＝m·BA→＋n·BC→，∴x＋6＝6m＋12n，y＋4＝9m.则m＝y＋49，n＝3x－2y＋1036，m＋n＝3x＋2y＋2636.令3x＋2y＝t，∵x2＋4y2－100＝0，抓住2个考点突破3个考向揭秘3年高考∴x2＋(t－3x)2－100＝0，即10x2－6tx＋t2－100＝0.由Δ≥0，得36t2－40(t2－100)≥0，即t2≤1000.∴－1010≤t≤1010.t的最大值为1010，此时x＝310，y＝102.∴m＋n的最大值为510＋1318.抓住2个考点