3.3.1函数的单调性与导数

3.3.1函数的单调性与导数温故夯基1．函数y＝x2－2x的单调递增区间是_________，单调递减区间是_________．2．函数f(x)＝sinx的导数f′(x)＝_____；在区间0，π2上，f(x)单调递____(填“增”或“减”)，f′(x)___0(填“”或“”)．[1，＋∞)(－∞，1]cosx增1.在x＝2的左边函数图像的单调性如何？2.在x＝2的左边函数图像上的各点切线的倾斜角为(锐角/钝角)?它的斜率有什么特征？3.由导数的几何意义，你可以得到什么结论？4.在x＝2的右边时，同时回答上述问题。2xyo知新益能10331yx一般地，在某个区间(a，b)内，函数的单调性与导数有如下关系：导数函数的单调性f′(x)＞0单调_______f′(x)＜0单调_______f′(x)＝0常数函数增函数减函数在区间(a，b)内，若f′(x)＞0，则f(x)在此区间上单调递增，反之也成立吗？提示：不一定成立．比如y＝x3在R上为增函数，但其在0处的导数等于零．也就是说“f′(x)＞0”是“y＝f(x)在某个区间上递增”的充分不必要条件．问题探究一、判断函数的单调性关于函数单调性的证明问题：(1)首先考虑函数的定义域，所有函数性质的研究必须保证在定义域内这个前提下进行．(2)f′(x)(或)0，则f(x)为单调递增(或递减)函数；但要特别注意，f(x)为单调递增(或递减)函数，则f′(x)≥(或≤)0.课堂互动例1证明：函数y＝lnx＋x在其定义域内为单调递增函数．【思路点拨】证明函数f(x)在某区间上是递增的,只需证明f′(x)≥0.【证明】显然函数的定义域为{x|x0}，又f′(x)＝(lnx＋x)′＝1x＋1，当x0时，f′(x)10，故y＝lnx＋x在其定义域内为单调递增函数．二、求函数的单调区间利用导数求函数f(x)的单调区间的一般步骤为：(1)确定函数f(x)的定义域；(2)求导数f′(x)；(3)在函数f(x)的定义域内解不等式f′(x)＞0和f′(x)＜0；(4)根据(3)的结果确定函数f(x)的单调区间．例2求函数f(x)＝3x2－2lnx的单调区间．【思路点拨】解答本题可先确定函数的定义域，再对函数求导，然后求解不等式f′(x)＞0，f′(x)＜0,并与定义域求交集，从而得到相应的单调区间．【解】函数的定义域为(0，＋∞)，f′(x)＝6x－2x＝2·3x2－1x.令f′(x)0，即2·3x2－1x0，解得－33x0或x33.又∵x0，∴x33.令f′(x)0，即2·3x2－1x0，解得x－33或0x33.又∵x0，∴0x33.∴f(x)的单调递增区间为(33，＋∞)，单调递减区间为(0，33)．方法感悟利用导数研究函数单调性时应注意的问题(1)在利用导数讨论函数的单调区间时，首先要确定函数的定义域，解决问题的过程只能在定义域内，通过讨论导数的符号来判断函数的单调区间．(2)在对函数划分单调区间时，除了必须确定使导数等于零的点外，还要注意在定义域内的不连续点和不可导点．(3)如果一个函数的单调区间不止一个，这些单调区间之间不能用“∪”连接，而只能用“逗号”或“和”字等隔开．(4)注意在某一区间内f′(x)＞0(或f′(x)＜0)是函数f(x)在该区间上为增(或减)函数的充分不必要条件，而不是充要条件．(5)如果函数在某个区间内恒有f′(x)＝0，则f(x)为常函数．如f(x)＝3，则f′(x)＝3′＝0.(6)利用导数的符号判断函数的增减性，这是导数的几何意义在研究曲线变化规律上的一个应用，它充分体现了数形结合的思想．