《实变函数与泛函分析基础》第二版_程其襄第九章答案

第九章内积空间和希尔伯特空间例题选讲例1．Hilbert是X可分的充分必要条件X存在一个可数的完全规范正交系{}ne证明：若X是可分的，设{}nx是X的一个可数稠密子集。不妨设{}nx是线性无关的。用GramSchmidt−方法，存在可数的完全规范正交系{}ne，使span{}1,,neeL={}1,,nspanxxL。这样。因此{}ne是完全的。反之，若{}ne是X的一个完全规范正交系，则span{}ne在X中稠密。()01,,1,2,3,nkkkkkkXaibeabQN==+∈=∑L是X中的可数稠密子集，因此X是可分的。证毕例2．求证：P是Hilbert空间X上的投影算子的充分必要条件是：2PP=且*PP=证明：设P是X中相对应与闭线性子空间Y的投影算子。对任意x∈X，存在1xY∈，2x∈Y⊥，使12xxx=+，1Pxx=。对于1x，1x=10x+，其中1xY∈，0Y⊥∈。因此11Pxx=，即21PxPxPx==，因此2PP=设,xyX∈，12xxx=+，12yyy=+。其中11,xyY∈，22,xyY⊥∈。这样()()()()()1121112,,,,,PxyxyyxyxxPyxPy=+==+=。这就证明了*PP=。反之，若P满足*PP=，*PP=。令{}YxPxx==，则Y是X中的线性子空间。Y还是闭的。事实上，若nxY∈，0limnnxx→∞=，则00limlimnnnnPxPxxx→∞→∞===。故0xY∈，因此Y是闭的线性子空间，我们要证明P是Y上的投影算子。设xX∈，则()xPxxPx=+−。由于2PP=，因此PPxPx=，即PxY∈。又()*IPIP−=−因此，对任意的yY∈，有()()()(),,,0xPxyxIPyxyy−=−=−=，即xPxY⊥−∈。由()xPxIPx=+−，其中PxY∈，()IPxY⊥−∈。而这种分解是唯一的，可得P是X到Y上的投影算子。证毕。例3．设T是Hilbert空间X上有界线性算子。若存在X上的一个稠密线性子空间0X，使对任意的0xX∈，成立Txx=，且T的值域在X中稠密，求证：T是酉算子证明：由5节定理5，只要证明T是映射到上的保范算子。设x∈X在X中稠密，必有{}0nxX⊂，limnnxx→∞=。于是limlimnnnnTxTxxx→∞→∞===。因此T是保范的。我们再证明T是映射到上的，因为T的值域在X中稠密，因此对任意yX∈，存在nxX∈，使limnnTxy→∞=。由于{}nTx收敛，因此nTx柯西列。又()nmnmnmxxTxxTxTx−=−=−，因此{}nx也是柯西列。设0limnnxx→∞=，则y=limnnTx→∞=0Tx，因此T是映射到上的。这样，由5节定理5，T是酉算子，证毕习题解答1设{}nx是内积空间X中点列，若nxx→()n→∞且对一切yX∈有()nxy，→()xy，()n→∞，证明：nxx→()n→∞证明：()()()2220nnnnnnxxxxxxxxxxxx−=−−=−−−−+=，()n→∞因此nxx→()n→∞2，设12nXXXLL，，是一列内积空间，令{}2nnnnXxxXx∞=∈∞∑n=1，〈，当{}nx{}nyX∈时，规定{}{}{}nnnnxyxyαβαβ+=+，其中α，β是数，{}{}1nnnnixyxy∞==∑，，，证明：X是内积空间，又当nX都是Hilbert空间，证明：X也是Hilbert空间。证明：1。若0nnx=，x，则10nnnx∞==∑，x，因此对任意n，0nnx=，x，123n=L，，，，即{}0nx=2．{}{}{}()11nnnnnnnnnnnnxyzxyxyαβαβαβ∞∞==+=+=+∑∑，，z，z，z3．这就证明了X是n维线性空间。又由第七章第22题，X是完备的（在22题中取p=2），因此X是Hilbert空间。3，设X是n维线性空间，{}12,,Lneee是X的一组基，证明(),xy成为X上内积的充分必要条件是存在×nn()αuv正定方阵使得()11,10,,α===≤==∑∑∑nnnuuvvuvuvuvuvxxxexexx证明：必要性。若(),xy是X上内积。设αuv=,uvee。对任意1==∑nuuuxxe,1α=∑nuvuvuvxx=(),xx0且当0≠x时，,1α=∑nuvuvuvxx=(),xx0因此()αuv正定方阵。充分性。若()αuv正定方阵，则对任意11,====∑∑nnuuuuuuxxeyye，(),xy=,1α=∑nuvuvuvxy。下证(),xy是X中内积。1．(),xx,1α==∑nuvuvuvxx因()αuv正定方阵，可得(),xx0≥，且当(),=xx0=时，0=x2..()(),1,αβααβ=+=+∑nvuvuuuvxyzxyz()(),11,,ααβααβ===+=+∑∑nnuvuvuuvuvuvuxzeyzxzyz。3．因()αuv正定，()αuv=()αuv。这样,1,α==∑nuvuvuvxyxy(),1,1,αα====∑∑nnuvuvuvuvuvuvxyxyyx因此(),xy是X上内积。证毕4.设X是实内积空间，若222xyxy+=+，则xy⊥，当X是复内积空间时，这个结论是否依然成立？解当X是实内积空间且222xyxy+=+时，由()222,2,xyxyxyxyxy++=+=++得,0xy=即xy⊥在复内积空间上此结论不成立，例如0,xyix≠=，1x=()2,xyxixxix+=++2222,,xyixxixxxy=++−=+但(),,xyxixi==−0≠5证明：内积空间X中两个向量,xy垂直的充要条件是：对一切α成立xyα+x≥证明若xy⊥，则任意复数α，有222222,,,,xyxxxyyxyyxyxααααα+=+++=+≥因此xyxα+≥若对一切数α，xyxα+≥，不妨设0y≠。令21,2xyyα=−，则由2222,xyxyxyααα+=+++2,xyxα≥，得2224211,,042xyyxyyy−≥。即224,,xyxy≤，此可得,0xy=，即xy⊥。证毕6设X是Hilbert空间，MX⊂，并且M≠∅，证明()M⊥⊥是X中包含M的最小闭子集。证明：X中包含M的最小X闭子集是Y，若yY∈，则存在nxspanM∈，使nxy→设xM⊥∈，则(),yx()lim,0nnxx→∞==，因此()yM⊥⊥∈，即()YM⊥⊥⊂又Y是X中闭子空间，且MY⊂，则Y⊥⊂M⊥，从而()()MY⊥⊥⊥⊥⊂=Y，所以()YM⊥⊥=。证毕7设{}ne是[]2,Lab中的规范正交系，说明两元函数列()()(),1,2,3nmexeynm=L是[][]()2,,Labab×中的规范正交系，若{}ne完全。则两元函数列()()(),1,2,3,nmexeynm=L也是完全的‘证明对任意(),nm和()','nm，()()()()'',nmnmexeyexey()()()()''''bbnmnmnnmmaaexexdxeyeydyσσ=∫∫，因此()(){}nmexey是规范正交系若[][]2,,fLabab∈×，则几乎处处[],xab∈，()[]2,,fxyLab∈。因此若记()()(),bmmaaxfxyeydy=∫，则由于(){}1mmey∞=是完全的，必有()2bmaax∫=21nmnb∞=∑，其中()()()()(),bbbnmmnmnaaabaxexdxdxfxyeyexdy==∫∫∫，这样()()()222211,1,bbbbmmnmaaaannmndxfxydyaxdxaxdxb∞∞∞======∑∑∑∫∫∫∫由于{}nmb是关于()(){}nmexey的傅立叶系数，因此我们就证明了Parseval等式成立有第3节定理3，()(){}nmexey完全的，因此()(){}nmexey是完全规范正交系，证毕8设12,,,neeeL为内积空间X规范正交系，证明：X到{}12,,,nspaneeeL的投影算子P为()1,,nvvvPxxeexX==∈∑，则Y是X的闭子空间，XYY⊥=⊕。对任意xX∈，12xxx=+，其中12,xYxY⊥∈∈，因{}1niie=是Y的完全的规范正交系，因此()11,nvvvxxee==∑，由投影算子定义()11,nvvvPxxxee===∑。证毕9．设X为可分为Hilbert空间，证明X中任何规范正交系至多为可数集。证明倘若X的一个规范正交系{}eλλ∈∧可数不是可数集，则任意λλ≠‘，2222eeeeλλλλ−=+=‘‘。X是可分的，则存在X的可数稠密子集{}1nnx∞=因∧不可数，则必有某Nx，及λλ∈∧，‘，λλ′≠使22Nxeλ−〈，22Nxeλ−’〈，这样2NNeexexeλλλλ−≤−+−‘’〈。此与2eeλλ−=‘矛盾。证毕10．设X是内积空间，X∗是它的共轭空间，zf表示λ上线性范函zfxz=，，若X到X∗的映射zFzf→：是一一到上的映射，则X是Hilbert空间。证明设{}1nnz∞=是X中柯西列。有()()，nmzznmnmffxxzzxzz−=−≤⋅−可知{}1nznf∞=是X∗中柯西列。因X∗是完备的，因此有xX∗∗∈使()nzfxn∗→→∞。设zxf∗=，其中zX∈，设sup+nnzM=∞，则()()2nmnmnnnzznnzzzzzzzzffzzzzff−=−−=−−≤−−，()()0nmzzMzffn≤+−→→∞。这就证明了X是完备的内积空间，即为Hilbert空间。证毕。11.设X和Y为Hilbert空间，A是X到Y中的有界线性算子，()ΝA和()Aℜ分别表示算子A的零空间和值域，证明()ΝA=()A⊥∗ℜ，()ΝA∗=()A⊥ℜ，()()ΝAA⊥∗ℜ=，()()ΝAA∗⊥ℜ=证明设()ΝxA∈，则0Ax=。这样若yY∈，()AyA∗∗∈ℜ，必有()(),,0xAyAxy∗==，所以x∈()A⊥∗ℜ，设x∈()A⊥∗ℜ，则对任意yY∈，()(),,0AxyxAy∗==。由y的任意性可推得0Ax=，即()ΝxA∈。以上证明了()()ΝAA⊥∗=ℜ，用A∗代替A可得()()()()ΝAAA⊥∗⊥∗∗=ℜ=ℜ。同时，()()()ΝAA⊥⊥⊥∗=ℜ，以下证明()()()AA⊥⊥ℜ=ℜ首先，由()()AAℜ⊂ℜ可知()()AA⊥⊥ℜ⊃ℜ从而()()()AA⊥⊥ℜ=ℜ⊂()()A⊥⊥ℜ又设()()yA⊥⊥∈ℜ，12yyy=+，其中()()12,yAyA⊥∈ℜ∈ℜ。对任意xX∈，()()22,,0AyxyAx∗==，所以20Ay∗=，即()Ν2yA∗∈。这样()()()212220,,,yyyyyy==+，即20y=，于是()1yyA=∈ℜ。这样我们就证明了()()ΝAA⊥∗ℜ=。用A∗代替A又可得()()ΝAA∗⊥ℜ=，证毕。12．设T是Hilbert空间X中的有界线性算子，1T≤，证明：{}xTxx={}xTxx∗==。证明若Txx=，则2,,xTxxxTx∗==x≤Tx∗2x≤，因此，,xTxxTx∗∗=。由第一节引理1，Tx∗与x线性相关，设Txxλ∗=。由,,xTxxx∗=，可得1λ=，即Txx∗=。这样，{}{}{}{}xTxxxTxxxTxxxTxx∗∗∗=⊂=⊂===。即{}xTxx={}xTxx∗==。证毕13．设H为Hilbert空间，M是H的闭子空间，0xH∈，证明：{}{}00minmax,,1xxxMxyyMy⊥−∈=∈=证明：设012xxx=+，其中1xM∈，2xM⊥∈。因为1xM∈，所以。又对任意xM∈，22012xxxxx−=−−222122xxxx=−+≥，所以{}02minxxxMx−∈≥，这就证明了{}0minxxxM−∈2x=又对任意的yM⊥∈，1y=，01222,,,,xyxyxyxyx=+=≤。若20x=，则{}02max,,10xyyMyx⊥∈===。若20x≠，则令22,1,xyyx==22012222,,,xxxyxxxxx=+=。因此又有{}02max,,1xyyMyx⊥∈==。即{}0max,,1xyy