28岩石的脆性破裂

第二章岩石的脆性破裂§2.1理论概念岩石的脆性破裂是岩石形变的主要机制之一。§2.1.1历史回顾岩石是一种重要的工程材料，它的强度是被最先详尽研究的课题之一；19世纪末，在科学的基础上，岩石断裂的宏观现象学得到广泛研究。开展了各种不同条件的实验研究，围压条件已能达到中等围压的水平。建立了岩石破裂的库仑准则，创立了莫尔圆分析方法。现代脆性断裂理论起源于用原子理论来解释材料强度的出现的困难。一般认为，强度是在给定条件下材料所能承受的最大应力。断裂（或流动）必须包含原子键的破裂。故固体的理论强度应是断开跨晶面上原子键所需要的应力。考虑左图所示的固体内原子力的非简谐简化模型：外加张应力σ使原子间距偏离其平衡位置a。由于我们只需要考虑峰前范围，可用一正弦波曲线来近似应力-位移关系：])(2sin[λπσσart−=原子力非简谐模型示意图将晶面分离λ/2所作的功是比表面能（specificsurfaceenergy）γ,即断开单位面积的原子键所需要的能量，πλσλπσσγλλt2/2/])(2sin[2=−==∫∫++drardraataa对小位移情形，当时，有ar≈aardEEdd)(−==εσ])(2cos[2)(λπσλπσaraEarddt−==−1]/)(2cos[,1/)(→−−λπλararaEtπλσ2=(E,杨氏模量)因为，当r=3/2a时，原子正好位于两个平衡位置中间，根据对称性，在该点σ=0,])(2sin[2λππλσaraE−=0)sin(=πλaλ≈aπσ2/Et≈由此得比表面能（specificsurfaceenergy）γ:πλσλπσσγλλt2/02/0)(])(2sin[2=−−==∫∫ardardrtπσ2Et≈24πγEa≈24πγEa≈根据，得到的理论强度值是5-10GPa,比实测值大好几个数量级。这一差值被认为是材料中含有缺陷所致。有两类重要的缺陷：裂纹和位错。前者是面状缺陷，后者是线状缺陷。在外力作用下两类缺陷都会扩展并引起材料屈服。由于两种机制都只要求材料在缺陷所致的应力集中处局部达到理论强度，导致了材料屈服强度比理论强度低得多。注：1.裂纹和位错宏观性状不同：当裂纹主导缺陷时，材料往往是通过突发性的裂解而破坏，表现处脆性行为。而位错的传播往往导致塑性流动，能在不破坏晶格完整性的情况下产生永久形变。2.裂纹和位错两种过程有互相抑制的倾向，但不互相排斥。3.结晶固体通常划分呈脆性和延性两种行为，尽管其混合行为即半脆性更普遍。§2.1.2Griffith理论现代强度理论认为：真实材料内部有缺陷，这些缺陷导致材料内部的应力集中，使得材料的实际强度比理论强度低得多。∞σ∞σ∞σ∞σ考虑左图含孔薄板受到均匀张应力的作用，孔边的应力分布。在均匀张应力作用下，圆孔（左）和椭圆孔（右）周围的应力集中根据弹性理论，在圆孔的顶部和底部存在量值为的压应力；在左右两侧存在量值为的张应力。孔边上的应力远大于远处的应力，发生了应力集中。对于椭圆孔（设其半长轴为b和c），在其端部应力为：∞−σ∞σ3)/21(bc+≈∞σσ])/(21[2/1ρσσc+≈∞bccb/2=ρ端部处的曲率半径为若2/1)/(2ρσσc∞≈由此可以看出，对于狭长的裂纹，即便，该点的应力也可以很快达到理论强度。而且，应力集中随裂纹的而增加，裂纹扩展会引起动态失稳。tσσ∞Griffith(1920,1924)以裂纹扩展时能量平衡的方式在更加基础的水平上研究了这一问题。右图为Griffith的研究系统：一弹性体，内含有长度为2c裂纹，外部边界上受到外载荷的作用。若裂纹扩展，外力将做功W，弹性体内应变能的变化为Ue，还有一部分能量Us消耗在新表面的形成上。因此，静态裂纹中系统的总能量U为：cδseUUWU++−=)(杆内裂纹扩展的Griffith模型因为外载荷和弹性体二者共同把力传至裂纹区域，所以－W+Uc是机械能。假想裂纹的扩展了，若机械能和表面能相平衡，则系统达到热力学平衡。由于在裂纹扩展时，两侧的内聚力突然松弛，裂纹向外加速扩展，进入一个更低的能量状态。因此，机械能必随着裂纹的扩展而减小。但在新表面的过程中，外力要克服内聚力作功，所以表面能将随裂纹的扩展而增大。这样，机械能有助于裂纹的扩展，而表面能阻碍裂纹的扩展。在平衡点上，两种能量达到平衡。平衡条件是：cδ0=dcdUGriffith分析了在均匀张应力作用下杆的受力情况。若长度为y、弹性模量为E的单位横截面积杆受到的应力为σ，则其应变能：EydyUye22120σσε==∫Ec/22σπ如果杆内含有长度为2c的裂纹，可以证明（参见尹祥础，1985）应变能将增加，因此，EcyUe2)2(22πσ+=含有裂纹的杆的有效弹性模量为，形成裂纹所作的功为：表面能的变化为：因此，)2/(2cyyEEπ+=EcEEyW/2)//(22πσσσσ=−=γcUs4=EycEcU2/4/222σγσπ++−=seUUWU++−=)(0=dcdU2/1)/2(cEfπγσ=2/1)/2(cEfπγσ=由，Griffith通过测量刻有不同深度刻痕的玻璃棒强度的实验方法，检验了他的理论。根据实验结果，他得到了形如的关系式，并由此进一步估计γ值。同时，他通过增温条件下测定的玻璃棒的拉伸颈缩过程中所作的功来独立估计γ值，然后将拉伸颈缩的结果外推到室温条件下，所得的结果与强度实验结果导出的结果相当吻合。fσ为某给定方向的裂纹的临界应力。Orowan(1949)问题：如果Griffith条件得到满足，那么，在裂纹尖端是否达到了理论强度（应力是否真高到足以打破键力）?aEtπλσ2=πλσλπσγλt2/0)(])(2sin[2=−−=∫ardart2/1)(aEtγσ=由原子力的非简谐简化模型，得2/1)/(2acftσσ=2/1)4/(cEfγσ=对裂纹，已知，设宏观的外加载荷应力为，则fσ2/1)/(2ρσσc∞≈2/1)(aEtγσ=2/1)4(cEfγσ=比较与2/1)/2(cEfπγσ=这两个结果的密切吻合表明它们是裂纹扩展的充要条件。Griffith的热力学研究证明了裂纹的扩展条件，而Orowan的计算证明了打开原子键的裂纹尖端的必要的应力条件。根据原子力的非简谐简化模型得到的典型γ=Ea/30，通常的观测值是E/500，这被解释为由于存在c≈1μm的裂纹。在电子微观时代来临之前，这种裂纹被假设为普遍存在的，称为Griffith裂纹。Griffith公式中各能量项如下图所示，可见定义了一非稳定的平衡位置。一旦条件满足，裂纹将无限传播，导致弹性体的宏观失稳。这样，恒定应力的边界条件暗含着非稳定性。2/1)/2(cEfπγσ=杆内裂纹扩展的Griffith模型的能量构成Obriemoff(1930)用实验作出了稳定裂纹的结构。如下图所示：将一楔子打入云母的解理中，测量其解理强度。此实验的边界条件是位移为恒定值（由于楔子被认为是刚性的，所以挠曲力F没有引起位移）。Obrioemoff的云母解理实验装置此时，外力作功W=0根据简支梁理论，在挠曲的云母片中，应变能为：3238/chEdUe=4/123)16/3(γhEdc=γcUs2=0/=dcdU}此系统中包含的能量如下图所示。此种情况下裂纹处于一种稳定平衡状态，即楔子前进多远，裂纹便前进多远。这表明稳定性是受系统响应控制而不只是受材料性质控制。Obrioemoff的云母解理实验过程中的能量分配Obriemoff的系统可以被看作无限刚性的，裂纹的扩展是可控的和稳定的；而Griffith系统是零刚度的，裂纹是不稳定的。实际的系统是有限刚度的，必须通过平衡加载系统所作的功和裂纹扩展所吸收的能量来计算裂纹的稳定性。实验中，Obriemoff发现裂纹并非马上达到平衡位置，而是在楔入的瞬间向前跃迁扩展，然后才逐渐蠕变扩展到其最后位置。但当实验在真空下进行时，这种效应消失。此外，他还发现真空中测出的表面能大约时大气环境下的10倍。Obriemoff最先发现化学环境对脆性固体具有重要的弱化效应以及由此导致的“亚临界裂纹扩展”现象。§2.1.3断裂力学简介线弹性断裂力学以Griffith能量平衡原理为基础。它借用连续介质力学的方法将裂纹简化成线弹性介质内的数学平面和窄缝，通过分析裂纹周围的应力场，利用应力场的一些临界参数建立起材料的断裂判据，从而通过外应力和裂纹尖端应力间的关系，把宏观强度和材料的固有强度联系起来。由于裂纹被视为连续介质的一部分，无需了解裂纹尖端变形和断裂过程的细节。根据位移场，可以将裂纹分为如下三种类型：I型：张型或开型，裂纹壁垂直于裂纹张开；II型：平面内剪切型，位移位于裂纹平面内，方向于裂纹边缘垂直；III型：反平面剪切，位移限于裂纹平面内，方向平行于裂纹边缘。假设所研究的是完全尖锐的平面裂纹，裂纹壁间没有内聚力，则近场的裂纹尖端应力场和位移场可以近似表达为：)()2(2/1θπσijnijfrK−=)()2/)(2/(2/1θπinifrEKU=θr这里是到裂纹尖端的距离，是裂纹面到研究点间的夹角，如上图示。nK1K2,K3,K)(θijf)(θif是应力强度因子，取决于裂纹的类型。分别对应于I,II,III型裂纹。裂纹强度因子取决于裂纹的几何形状和外载大小。对普通几何形状的应力强度因子可以从Tadaetal.(1973)查到。和函数可由LawnandWilshaw(1975)查到，其曲线如下一张PPT所示。用直角坐标和极坐标表示的三类裂纹尖端附近的应力函数（据LawnandWilshaw,1975）为了将应力强度因子和Griffth的能量平衡理论联系起来，定义“能量释放率”或“裂纹扩展力”如下：G与K可以通过下式联系(LawnandWilshaw,1975,pp56)dcUWdGe)(+−−=EKG/2=EvKG/)1(22−=(平面应力)(平面应变)这里，v是泊松比。对于III型裂纹，EvKG/)1(2+=(平面应力，平面应变)seUUWU++−=)(γ2+−=GdcdUγcUs2=对平面应力γ2/2==EKGccγ2/)1(22=−=EvKGcc对平面应力当上式成立时，裂纹的扩展条件便得到满足。因此，“临界应力强度因子”Kc和Gc能通过应力分析而与外载应力相联系，从而建立普遍破裂准则，他们是描述材料破裂性质的两各物质参数。Kc有的时候被称作“断裂韧度”，Gc被称作“断裂能”下面考察一个简单但有用的情况：如左下图所示，在远离裂纹施加均匀的应力。此时，应力强度因子是：⎪⎩⎪⎨⎧===2/12/12/1)()()(cKcKcKzyIIIxyIIyyIπσπσπσ平面应力情况下所对应的裂纹扩展力是：⎪⎩⎪⎨⎧+===/)1()(/)(/)(222EvcGEcGEcGzyIIIxyIIyyIπσπσπσ⎪⎩⎪⎨⎧+=−=−=/)1()(/)1()(/)1()(22222EvcGEcvGEcvGzyIIIxyIIyyIπσπσπσ平面应变情况下所对应的裂纹扩展力是：⎪⎩⎪⎨⎧===2/12/12/1)()()(cKcKcKzyIIIxyIIyyIπσπσπσ2/1)/(2ρσσc∞≈可以将椭圆裂纹尖端应力集中的近似表达式：和进行对比)()2(2/1θπσijnijfrK−=由此式可见，在裂纹尖端出现了应力奇异性，这是由于我们假设裂纹是完全尖锐的造成的。应力奇异在物理上是不成立的：它既不符合线弹性假设(小应变)，自然界也不存在一种可以承受无穷大应力的材料。因此，在裂纹尖端附近必然有一非线性形变区来解除这一奇异性。在线弹性断裂力学中可以不考虑上述非线性形变区，因为前人已经证明在非线性区域内，应变能是有限的，而且这一小的非线性区域对稍离裂纹尖端处的应力场没有显著的畸变影响。假设所研究的是完全尖锐的平面裂纹，裂纹壁间没有内聚力，则近场的裂纹尖端应力场可以近似表达为：若要详细研究裂纹发展的进程，则对此非线性区的研究是很重要的。在非线性域内可能分布着破裂、塑性流动和其它扩散过程，它们对裂纹的扩展都有影响。为表述这些附加过程的影响，可以将改写为，这里