圆锥曲线练习题

第1页共13页圆锥曲线练习题一、解答题1.（2014·安徽高考文科·Ｔ21）设1F,2F分别是椭圆E：22221(0)xyabab的左、右焦点，过点1F的直线交椭圆E于,AB两点，11||3||AFBF(1)若2||4,ABABF的周长为16，求2||AF；(2)若23cos5AFB，求椭圆E的离心率.【解题提示】（1）利用椭圆的定义求解；（2）设1||BFk=，用k表示22||||AFBF、利用余弦定理解2ABFD得出等腰12RtAFFD，从而得到a,c的关系式。【解析】（1）由11||3||,|AB|=4AFBF=，得11||3||=1AFBF=，，因为2ABFD的周长为16，所以由椭圆定义可得12416,||||=2a=8aAFAF=+，故21||=2||=8-3=5AFaAF-。（2）设1||BFk=，则k0,且1||3,||4,AFkABk==由椭圆定义可得22||=23,||=2,AFakBFak--在2ABFD中，由余弦定理可得22222222||||||2||.||cos,ABAFBFAFBFAFB=+-?即2226(23)(2)(23)(2)5akakakak=-+----（4k)，化简可得()(3)0akak+-=，而a+k0,故a=3k,于是有21||3||,AFkAF==2||=5kBF，因此2222212||||||BFAFABFAFA=+轣,故12AFFD为等腰直角三角形，从而2222ccaea=?=。2（2014·安徽高考理科·Ｔ19）如图，已知两条抛物线02:1121pxpyE和02:2222pxpyE，过原点O的两条直线1l和2l，1l与21,EE分别交于21,AA两点，2l与21,EE分别交于21,BB两点.第2页共13页(1)证明：1122//ABAB；(2)过原点O作直线l（异于1l，2l）与21,EE分别交于21,CC两点。记111CBA与222CBA的面积分别为1S与2S,求21SS的值.【解题提示】（1）设出两条直线的方程，联立抛物线方程，求出点21,AA，21,BB的坐标，利用向量证明平行关系；（2）利用两个相似三角形的面积比等于相似比的平方进行求解。【解析】（1）设直线12,ll的方程分别为1212,,(,0)ykxykxkk==?，则由11112211122(,)2ykxppAkkypxì=ïÞí=ïî，由12222211222(,)2ykxppAkkypxì=ïÞí=ïî，同理可得1122122222222222(,)(,)ppppBBkkkk，，所以1111112221212222(,)ppppABkkkk=-，=122212111112(-)pkkkk-，，2222222221212222(,)ppppABkkkk=-，=222212111112(-)pkkkk-，故11AB=1222pABp，所以1122//ABAB。（2）由（1）知1122//ABAB，同理可得1122//BCBC，1122//ACAC，所以11122ABCABD相似于，因此2111222||()||SABSAB=,又由（1）中的11AB=1222pABp知111222||=||ABppAB，故211222SpSp=3.（2014·四川高考理科·Ｔ20）已知椭圆C：22221xyab（0ab）的焦距为4，其短轴的两个端点与长轴的一个端点构成正三角形．第3页共13页（1）求椭圆C的标准方程；（2）设F为椭圆C的左焦点，T为直线3x上任意一点，过F作TF的垂线交椭圆C于点P，Q．①证明：OT平分线段PQ（其中O为坐标原点）；②当||||TFPQ最小时，求点T的坐标.【解题提示】本题主要考查椭圆的标准方程、直线与方程、直线与椭圆的位置关系等基础知识，考查数形结合、划归与转化、分类与整合等数学思想.【解析】（1）依条件2222226324caabbabc，所以椭圆C的标准方程为22162xy（2）设(3,)Tm，11(,)Pxy，22(,)Qxy，又设PQ中点为00(,)Nxy，①因为(2,0)F，所以直线PQ的方程为：2xmy，22222(3)420162xmymymyxy，所以222122122168(3)24(1)04323mmmmyymyym，于是1202223yymym，20022262233mxmymm，所以2262(,)33mNmm．因为3OTONmkk，所以O，N，T三点共线，即OT平分线段PQ（其中O为坐标原点）．②2||1TFm，22212224(1)||||113mPQyymmm，所以222222||13||24(1)24(1)13TFmmPQmmmm，令21mx（1x），则2||2123()||32626TFxxPQxx（当且仅当22x时取“”），所以当||||TFPQ最小时，22x即1m或1，此时点T的坐标为(3,1)或(3,1).第4页共13页4（2014·四川高考文科·Ｔ20）已知椭圆C：22221xyab（0ab）的左焦点为(2,0)F，离心率为63．（1）求椭圆C的标准方程；（2）设O为坐标原点，T为直线3x上一点，过F作TF的垂线交椭圆于P，Q．当四边形OPTQ是平行四边形时，求四边形OPTQ的面积．【解题提示】本题主要考查椭圆的标准方程、直线与方程、直线与椭圆的位置关系等基础知识，考查运算求解能力、推理论证能力，考查数形结合、划归与转化、分类与整合等数学思想.【解析】（1）依条件63ca，且2c2262ab，所以椭圆C的标准方程为22162xy.（2）设T点的坐标为（3，m），则直线TF的斜率03(2)TFmkm.当0m时，直线PQ的斜率1PQkm，直线PQ的方程是2xmy.当0m时，直线PQ的方程是2x，也符合2xmy的形式.设1122(,),(,)PxyQxy，将直线PQ的方程与椭圆C的方程联立，得222162xmyxy.消去x，得22(3)420mymy.其判别式22168(3)mm0.所以12243myym，12223yym，1212212()43xxmyym.因为四边形OPTQ是平行四边形，所以OPQT,即1122(,)(3,)xyxmy.所以122122123343xxmmyymm.解得1m.此时四边形OPTQ的面积第5页共13页21222142222()423233OPTQOPQmSSOFyymm.5.（2014·重庆高考文科·Ｔ21）如图，设椭圆22221(0)xyabab的左、右焦点分别为12,FF，点D在椭圆上，12112121,22,FFDFFFDFFDF的面积为22.(1)求椭圆的标准方程;(2)是否存在设圆心在y轴上的圆,使原在x轴的上方与椭圆有两个交点,且圆在这两个交点处的两条切线相互垂直并分别过不同的焦点?若存在,求出圆的方程,若不存在,请说明理由.【解题提示】(1)直接根据椭圆的定义及题设条件可求出椭圆的标准方程.(2)直接设出交点坐标然后根据椭圆与圆的对称性列出方程组求解.【解析】(1)设12(,0),(,0),FcFc其中222.cab由12122FFDF得1212.222FFDFc从而122112122,222DFFSDFFFc故1.c从而12,2DF由112DFFF得22221129,2DFDFFF因此232.2DF所以12222,aDFDF故2,a2221.bac因此，所求椭圆的标准方程为221.2xy（2）如图，设圆心在y轴上的圆C与椭圆2212xy相交，第6页共13页111222,,,PxyPxy是两个交点，1211220,0,,yyFPFP是圆C的切线，且1122.FPFP由圆和椭圆的对称性，易知，2112,.xxyy由（1）知12(1,0),(1,0),FF所以11112211(1,),(1,).FPxyFPxy再由1122.FPFP得2211(1)0.xy由椭圆方程得22111(1),2xx即211340.xx解得143x或10.x当10x时，12,PP重合，此时题设要求的圆不存在.当143x时,过12,PP分别与1122,FPFP垂直的直线的交点即为圆心.C设0(0,)Cy由111,FPCP得101111.1yyyxx而1111,3yx故05.3y圆C的半径22141542.3333CP综上,存在满足题设条件的圆,其方程为6（2014·湖北高考理科·Ｔ21）在平面直角坐标系xOy中，点M到点1,0F的距离比它到y轴的距离多1，记点M的轨迹为C.(1)求轨迹为C的方程(2)设斜率为k的直线l过定点2,1p，求直线l与轨迹C恰好有一个公共点，两个公共点，三个公共点时k的相应取值范围。【解题指南】（Ⅰ）设出M点的坐标，直接由题意列等式，整理后即可得到M的轨迹C的方程；（Ⅱ）设出直线l的方程为1(x2)yk，和（Ⅰ）中的轨迹方程联立化为关于y的一元二次方程，求出判别式，再在直线y-1=k（x+2）中取y=0得到021kxk，然后分判别式小于0、等于0、大于0结合x0＜0求解使直线l与轨迹C恰好有一个公共点、两个公共点、三个公共点时k的相应取值范围．【解析】（Ⅰ）设点(x,y)M,依题意得MF1x，即22(x1)1yx化简整理得22()xyx22532.39xy第7页共13页故点的轨迹C的方程为24,00,0xxyx。（Ⅱ）在点M的轨迹C中，记212:4,:y0(x0)CyxC依题意，可设直线l的方程为1(x2)yk由方程组21(x2)4ykyx，可得244(2k1)0kyy①（1）当0k时，此时1y，把1y带入轨迹C的方程，得14x故此时直线:1ly与轨迹C恰好有一个公共点1(,1)4（2）当0k时，方程①的判别式216(2kk1)②设直线l与x轴的交点为0(,0)x，则由1(x2)yk，令y0，得021kxk③（ⅰ）若000x，由②③解得1k，或12k。即当1k(,1)(,)2时，直线l与1C没有公共点，与2C有一个公共点，故此时直线l与轨迹C恰好有一个公共点。（ⅱ）若000x或000x由②③解得1{1,}2k，或102k。即当1{1,}2k时，直线l与1C没有公共点，与2C有一个公共点，当1k[,0)2时，直线l与1C只有两个公共点，与2C没有公共点故当11k[,0){1,}22时，直线l与轨迹C恰好有两个公共点。（ⅲ）若000x由②③解得112k，或102k即当11k(1,)(0,)22时，直线l与1C有两个公共点，与2C有一个公共点故此时直线l与轨迹C恰好有三个公共点。综合（1）（2）可知，当1k(,1)(,){0}2时，直线l与轨迹C恰好有一个公共点；当11k[,0){1,}22时，直线l与轨迹C恰好有两个公共点；第8页共13页当11k(1,)(0,)22时，直线l与轨迹C恰好有三个公共点。7.(2014·湖北高考文科·T13)(本小题满分14分)在平面直角坐标系xOy中,点M到点F(1,0)的距离比它到y轴的距离多1.记点M的轨迹为C.(1)求轨迹C的方程.(2)设斜率为