圆锥曲线题型总结

1直线和圆锥曲线常考题型运用的知识：1、中点坐标公式：1212,y22xxyyx，其中,xy是点1122(,)(,)AxyBxy，的中点坐标。2、弦长公式：若点1122(,)(,)AxyBxy，在直线(0)ykxbk上，则1122ykxbykxb，，这是同点纵横坐标变换，是两大坐标变换技巧之一，2222221212121212()()()()(1)()ABxxyyxxkxkxkxx221212(1)[()4]kxxxx或者2222212121212122111()()()()(1)()ABxxyyxxyyyykkk2121221(1)[()4]yyyyk。3、两条直线111222:,:lykxblykxb垂直：则121kk两条直线垂直，则直线所在的向量120vv4、韦达定理：若一元二次方程20(0)axbxca有两个不同的根12,xx，则1212,bcxxxxaa。常见的一些题型：题型一：数形结合确定直线和圆锥曲线的位置关系题型二：弦的垂直平分线问题题型三：动弦过定点的问题题型四：过已知曲线上定点的弦的问题题型五：共线向量问题题型六：面积问题题型七：弦或弦长为定值问题题型八：角度问题问题九：四点共线问题问题十：范围问题（本质是函数问题）问题十一、存在性问题：（存在点，存在直线y=kx+m，存在实数，存在图形：三角形（等比、等腰、直角），四边形（矩形、菱形、正方形），圆）题型一：数形结合确定直线和圆锥曲线的位置关系例题1、已知直线:1lykx与椭圆22:14xyCm始终有交点，求m的取值范围2题型二：弦的垂直平分线问题例题2、过点T(-1,0)作直线l与曲线N：2yx交于A、B两点，在x轴上是否存在一点E(0x,0)，使得ABE是等边三角形，若存在，求出0x；若不存在，请说明理由。解：依题意知，直线的斜率存在，且不等于0。设直线:(1)lykx，0k，11(,)Axy，22(,)Bxy。由2(1)ykxyx消y整理，得2222(21)0kxkxk①②由韦达定理，得：212221,kxxk121xx。题型三：动弦过定点的问题例题3、已知椭圆C：22221(0)xyabab的离心率为32，且在x轴上的顶点分别为A1(-2,0),A2(2,0)。（I）求椭圆的方程；（II）若直线:(2)lxtt与x轴交于点T,点P为直线l上异于点T的任一点，直线PA1,PA2分别与椭圆交于M、N点，试问直线MN是否通过椭圆的焦点？并证明你的结论解：（I）3题型四：过已知曲线上定点的弦的问题例题4、已知点A、B、C是椭圆E：22221xyab(0)ab上的三点，其中点A(23,0)是椭圆的右顶点，直线BC过椭圆的中心O，且0ACBC，2BCAC，如图。(I)求点C的坐标及椭圆E的方程；(II)若椭圆E上存在两点P、Q，使得直线PC与直线QC关于直线3x对称，求直线PQ的斜率。解题型五：共线向量问题例题5、设过点D(0,3)的直线交曲线M：22194xy于P、Q两点，且DPDQl=uuuruuur,求实数l的取值范围。解：设P(x1,y1),Q(x2,y2),QDPDQl=uuuruuur\(x1,y1-3)=l(x2,y2-3)即12123(3)xxyyllì=ïïïíï=+-ïïî判别式法、韦达定理法、配凑法设直线PQ的方程为：3,0ykxk，由2234936ykxxy消y整理后，得22(49)54450kxkxP、Q是曲线M上的两点22(54)445(49)kk＝2144800k即295k①4由韦达定理得：1212225445,4949kxxxxkk212121221()2xxxxxxxx222254(1)45(49)kk即22223694415(1)99kkk②由①得211095k，代入②，整理得236915(1)5，解之得155当直线PQ的斜率不存在，即0x时，易知5或15。总之实数l的取值范围是1,55。题型六：面积问题例题6、已知椭圆C：12222byax（a＞b＞0）的离心率为,36短轴一个端点到右焦点的距离为3。（Ⅰ）求椭圆C的方程；（Ⅱ）设直线l与椭圆C交于A、B两点，坐标原点O到直线l的距离为23，求△AOB面积的最大值。解：5题型七：弦或弦长为定值问题例题7、在平面直角坐标系xOy中，过定点C（0，p）作直线与抛物线x2=2py（p0）相交于A、B两点。（Ⅰ）若点N是点C关于坐标原点O的对称点，求△ANB面积的最小值；（Ⅱ）是否存在垂直于y轴的直线l，使得l被以AC为直径的圆截得弦长恒为定值？若存在，求出l的方程；若不存在，说明理由。（Ⅰ）依题意，点N的坐标为N（0,-p）,可设A（x1,y1）,B（x2,y2），直线AB的方程为y=kx+p,与x2=2py联立得.22pkxypyx消去y得x2-2pkx-2p2=0.由韦达定理得x1+x2=2pk,x1x2=-2p2.于是21221xxpSSSACNBCNABN＝21221214)(xxxxpxxp＝.228422222kppkpp222min0pSkABN）时，（当.（Ⅱ）假设满足条件的直线l存在，其方程为y=a,AC的中点为为直与ACtO,径的圆相交于点P、Q，PQ的中点为H，则）点的坐标为（2,2,11pyxOPQHO2121)(2121pyxACPO＝22121py.,221211pyapyaHO222HOPOPH=21221)2(41)(41pyapy＝),()2(1apaypa22)2(PHPQ=.)()2(42apaypa令02pa，得pPQpa此时,2为定值，故满足条件的直线l存在，其方程为2py，即抛物线的通径所在的直线.解法2：（Ⅰ）前同解法1，再由弦长公式得22222122122128414)(11pkpkxxxxkxxkAB6＝.21222kkp又由点到直线的距离公式得212kpd.从而，,2212212212122222kpkpkkpABdSABN.22max02pSkABN）时，（当（Ⅱ）假设满足条件的直线t存在，其方程为y=a，则以AC为直径的圆的方程为,0))(())(0(11yypyxxx将直线方程y=a代入得).(1)2(4))((4,0))((121112apaypayapaxyapaxxx＝则设直线l与以AC为直径的圆的交点为P（x2,y2）,Q（x4,y4）,则有.)()2(2)()2(41143apaypaapaypaxxPQ令pPQpapa此时得,2,02为定值，故满足条件的直线l存在，其方程为2py.即抛物线的通径所在的直线。题型八：角度问题例题8、（如图（21）图，M（-2，0）和N（2，0）是平面上的两点，动点P满足：6.PMPN（Ⅰ）求点P的轨迹方程；（Ⅱ）若2·1cosPMPNMPN＝,求点P的坐标.解：7问题九：四点共线问题例题9、设椭圆2222:1(0)xyCabab过点(2,1)M，且着焦点为1(2,0)F（Ⅰ）求椭圆C的方程；（Ⅱ）当过点(4,1)P的动直线l与椭圆C相交与两不同点,AB时，在线段AB上取点Q，满足APQBAQPB，证明：点Q总在某定直线上解(1)由题意：2222222211cabcab，解得224,2ab，所求椭圆方程为22142xy(2)方法一设点Q、A、B的坐标分别为1122(,),(,),(,)xyxyxy。由题设知,,,APPBAQQB均不为零，记APAQPBQB,则0且1又A，P，B，Q四点共线，从而,APPBAQQB问题十：范围问题（本质是函数问题）设1F、2F分别是椭圆1422yx的左、右焦点。（Ⅰ）若P是该椭圆上的一个动点，求1PF·2PF的最大值和最小值；（Ⅱ）设过定点)2,0(M的直线l与椭圆交于不同的两点A、B，且∠AOB为锐角（其中O为坐标原点），求直线l的斜率k的取值范围。8解：（Ⅰ）解法一：易知2,1,3abc所以123,0,3,0FF，设,Pxy，则22123,,3,3PFPFxyxyxy2221133844xxx因为2,2x，故当0x，即点P为椭圆短轴端点时，12PFPF有最小值2当2x，即点P为椭圆长轴端点时，12PFPF有最大值1解法二：易知2,1,3abc，所以123,0,3,0FF，设,Pxy，则22212121212121212cos2PFPFFFPFPFPFPFFPFPFPFPFPF2222221331232xyxyxy（以下同解法一）（Ⅱ）显然直线0x不满足题设条件，可设直线1222:2,,,,lykxAxyBxy，联立22214ykxxy，消去y，整理得：2214304kxkx∴12122243,1144kxxxxkk由2214434304kkk得：32k或32k又000090cos000ABABOAOB∴12120OAOBxxyy又2121212122224yykxkxkxxkxx22223841144kkkk22114kk∵2223101144kkk，即24k∴22k故由①、②得322k或322k9问题十一、存在性问题：（存在点，存在直线y=kx+m，存在实数，存在图形：三角形（等比、等腰、直角），四边形（矩形、菱形、正方形），圆）设椭圆E:22221xyab（a,b0）过M（2，2），N(6,1)两点，O为坐标原点，（I）求椭圆E的方程；（II）是否存在圆心在原点的圆，使得该圆的任意一条切线与椭圆E恒有两个交点A,B,且OAOB？若存在，写出该圆的方程，并求|AB|的取值范围，若不存在说明理由。解:（1）因为椭圆E:22221xyab（a,b0）过M（2，2），N(6,1)两点,所以2222421611abab解得22118114ab所以2284ab椭圆E的方程为22184xy（2）假设存在圆心在原点的圆，使得该圆的任意一条切线与椭圆E恒有两个交点A,B,且OAOB,设该圆的切线方程为ykxm解方程组22184xyykxm得222()8xkxm,即222(12)4280kxkmxm,则△=222222164(12)(28)8(84)0kmkmkm,即22840km12221224122812kmxxkmxxk,22222222212121212222(28)48()()()121212kmkmmkyykxmkxmkxxkmxxmmkkk要使OAOB,需使12120xxyy,即2222228801212mmkkk,所以223880mk,所以223808mk又22840km,所以22238mm,所以283m,即263m或263m