全等三角形证明写理由

-1-全等三角形证明１．已知：AD平分∠BAC，AC=AB+BD，求证：∠B=2∠C证明：延长AB到，使AE＝，连接DE∵AD平分∠BAC∴∠EAD＝∠CAD（）∵AE＝AC，AD＝AD∴△AED≌△ACD（）∴∠E＝∠C（）∵AC＝AB+BD∴AE＝AB+BD（）∵AE＝AB+BE∴BD＝BE（）∴∠BDE＝∠E∵∠ABC＝∠E+∠BDE∴∠ABC＝2∠E∴∠ABC＝2∠C2．已知：AC平分∠BAD，CE⊥AB，∠B+∠D=180°，求证：AE=AD+BE证明：在AE上取F，使EF＝EB，连接CF∵CE⊥AB∴∠CEB＝∠CEF＝90°（）∵EB＝EF，CE＝CE，∴△CEB≌△CEF（）∴∠B＝∠CFE∵∠B＋∠D＝180°，∠CFE＋∠CFA＝180°∴∠D＝∠CFA（）∵AC平分∠BAD∴∠DAC＝∠FAC∵AC＝AC∴△ADC≌△AFC（）∴AD＝AF∴AE＝AF＋FE＝AD＋BE3．如图，四边形ABCD中，AB∥DC，BE、CE分别平分∠ABC、∠BCD，且点E在AD上。求证：BC=AB+DC。证明：在BC上截取BF=AB，连接EF∵BE平分∠ABC∴∠ABE=∠FBE又∵BE=BE∴⊿ABE≌⊿FBE（）∴∠A=∠BFE∵AB//CD∴∠A+∠D=180º（）∵∠BFE+∠CFE=180º∴∠D=∠CFE（）又∵∠DCE=∠FCE，CE平分∠BCCE，CE=CE∴⊿DCE≌⊿FCE（）∴CD=CF∴BC=BF+CF=AB+CD４．已知：AB=CD，∠A=∠D，求证：∠B=∠C证明：设线段AB,CD所在的直线交于E，（当ADBC时，E点是射线BA,CD的交点，当ADBC时，E点是射线AB,DC的交点）．∵∠A=∠D，∴∠＝∠（）∴△AED是等腰三角形（）ABCD-2-∴AE=DE而AB=CD∴BE=CE(）∴△BEC是等腰三角形∴∠B=∠C.（）５．如图，在△ABC中，BD=DC，∠1=∠2，求证：AD⊥BC．证明：延长AD至BC于点E,∵BD=DC∴△BDC是等腰三角形（）∴∠DBC=∠DCB（）又∵∠1=∠2∴∠DBC+∠1=∠DCB+∠2（）即∠ABC=∠ACB∴△ABC是等腰三角形（）∴AB=AC在△ABD和△ACD中∵AB=AC（），∠1=∠2（），BD=DC（）∴△ABD≌△ACD（）∴∠BAD=∠CAD∵AB=AC∴AE是BC边上的线（）∴AE⊥BC即AD⊥BC６．如图所示，已知AE⊥AB，AF⊥AC，AE=AB，AF=AC。求证：（1）EC=BF；（2）EC⊥BF证明：（1）∵AE⊥AB，AF⊥AC，∴∠BAE=∠CAF=90°（）∴∠BAE+∠BAC=∠CAF+∠BAC（）即∠EAC=∠BAF，在△ABF和△AEC中，∵AE=AB，∠EAC=∠BAF，AF=AC，∴△ABF≌△AEC（）∴EC=BF；（2）如图，根据（1），△ABF≌△AEC，∴∠AEC=∠ABF，∵AE⊥AB，∴∠BAE=90°，∴∠AEC+∠ADE=90°，∵∠ADE=∠BDM（）∴∠ABF+∠BDM=90°（）在△BDM中，∵∠BMD=180°-∠ABF-∠BDM=180°-90°=90°，∴EC⊥BF．７．如图：BE⊥AC，CF⊥AB，BM=AC，CN=AB。求证：（1）AM=AN；（2）AM⊥AN。证明：（1）∵BE⊥AC，CF⊥AB∴∠ABM+∠BAC=90°，∠ACN+∠BAC=90°∴∠ABM=∠CAN（）∵BM=AC，CN=AB∴△ABM≌△NAC（）∴AM=AN（2）∵△ABM≌△NAC（）∴∠BAM=∠N∵∠N+∠４=90°∴∠３+∠４=90°即∠MAN=90°∴AM⊥AN８．△ABC是等腰直角三角形，∠ACB＝90°，AD是BC边上的中线，过C作AD的垂线，交AB于点E，交AD于点F，求证：∠ADC＝∠BDE．证明：作CG⊥AB于Ｇ，交AD于H,∵△ABC是等腰直角三角形，∠ACB＝90°∴∠ACH=45º,∠BCH=45º∵∠CAH=90º-∠CDA,∠BCE=90º-∠CDA∴∠CAH=∠BCE（）又∵AC=CB,∠ACH=∠B=45º∴△ACH≌△CBE（）∴CH=BE又∵∠DCH=∠B=45º,CD=DB∴△CFD≌△BED（）∴∠ADC=∠BDEABCDEFAEBMCFFBCAMNE1234