导数的应用――函数的极值和最值

导数的应用——函数的极值和最值一.函数的极值：一般地，设函数f(x)在点x0附近有定义，如果对x0附近的所有的点，都有f(x)＜f(x0)，就说f(x0)是函数f(x)的一个极大值，记作y极大值=f(x0)，x0是极大值点.1.函数极值的定义如果对x0附近的所有的点，都有f(x)＞f(x0).就说f(x0)是函数f(x)的一个极小值，记作y极小值=f(x0)，x0是极小值点.极大值与极小值统称为极值.2.判别f(x0)是极大、极小值的方法:“左正右负”，则x0是的极大值点，是极大值；如果在x0两侧满足“左负右正”，则x0是的极小值点，是极小值.若x0满足，且在x0的两侧的导数异号，则x0是的极值点，0)(0xf)(xf)(xf是极值，并且如果在x0两侧满足)(0xf)(xf)(xf)(xf)(0xf)(xf)(0xf(1)确定函数的定义区间，求导数f′(x)；(2)求方程f′(x)=0的根；(3)用函数的导数为0的点，顺次将函数的定义域分成若干小开区间，并列成表格.检查f′(x)在方程根左右的值的符号，如果左正右负，那么f(x)在这个根处取得极大值；如果左负右正，那么f(x)在这个根处取得极小值；如果左右不改变符号，那么f(x)在这个根处无极值。3.求可导函数f(x)的极值的步骤:求函数的极值求函数的极值.42yxx解:'242yx'2420,yx由得2xx'yy22(,2)(2,0)(2,)00(0,2)+-极大值-+极小值2,42;xy极大值当时2,42;xy极小值当时变式训练1:求函数的极值.241xyx变式训练2:在闭区间[a,b]上图像连续不断的函数f(x)在[a,b]上必有最大值与最小值．2.利用导数求函数的最值步骤:⑴求f(x)在(a,b)内的极值；⑵将f(x)的各极值与f(a),f(b))比较，得出函数f(x)在[a,b]上的最值，其中最大的一个是最大值，最小的一个是最小值.二.函数的最大值与最小值1.函数的最大值与最小值：求函数的最值求函数,x∈[0,3]的最值.241xyx变式训练1：已知a为实数，))(4()(2axxxf若，求在[－2，2]上的最大值和最小值.0)1(f)(xf变式训练2：321()252fxxxx]2,1[x()fxm设，当时，恒成立，求实数m的取值范围.由函数的最值求参数的取值范围【解析】要使恒成立，只要在上恒成立。min()0fx1,1x()0fx22()333(1)fxaxax⑴当a=0时，，所以，不符合题意，舍去。()31fxxmin()20fx⑵当a0时，，即单调递减，22()333(1)0fxaxax()fx变式训练3：（08高考江苏卷）已知函数对于，总有成立，则a=.3()31fxaxx1,1x()0fx⑶当a0时，1()0fxxa①若时，在和上单调递增，在上单调递减。111aa，即()fx11,a1,1a11,aa所以min1()min(1),()fxffa(1)400411()120faafaa巩固训练题：《五羊高考》P38热身第3、4题+例题2P39变式拓展3P40基础训练第4、5、7题课外作业题（二选一）23bxaxy1、已知函数，当x=1时，有极大值3.（1）求a，b的值；（2）求函数y的极小值.32()221fxaxbxxcxx已知在时有极大值6，在时有极小值。2.1.,,abc求的值。(1)3.()3,3fx求在区间上的最大值和最小值。(2)...