2.3.1等比数列的概念

什么是等差数列？一般地，如果一个数列从第2项起，每一项与前一项的差等于同一个常数，那么这个数列叫做等差数列.这个常数叫做等差数列的公差，通常用d表示.{an}是等差数列an-an-1=d(n≥2)温故知新“一尺之棰，日取其半，万世不竭.”庄子曰：如果将“一尺之棰”视为一份，则每日剩下的部分依次为：,161,81,41,21……问题情境一2×1.05，2×1.052，2×1.053，2×1.054某人年初投资2万元，如果年收益是5%那么按照复利，4年内各年末的本利和依次：问题情境二某种汽车购买时的价格是36万元，每年的折旧率是10%，求这辆车各年开始时的价格.（单位：万元）36，36×0.9，36×0.92,36×0.93,易知各年汽车的价格组成数列：问题情境三……共同特点？从第2项起，每一项与前一项的比都等于同一常数.(1)(2)(3),161,81,41,21……36，36×0.9，36×0.92,36×0.93,…2×1.05，2×1.052，2×1.053，2×1.054比一比你能给它起个名字吗？你能给它下个定义吗？一般的,如果一个数列从第2项起,每一项与它前一项的比等于同一个常数,这个数列就叫做等比数列.这个常数叫做等比数列的公比,公比通常用字母q表示.(q≠0）思考)2(1nqaann)(*1Nnqaann{an}是等比数列思考你能用数学符号表示这个定义吗？或例1：指出下列数列是不是等比数列，若是，说明公比；若不是，说出理由．(3)(1)１,1,1,1,1;(2)0,1,2,4,8;11111,,,,,24816(√)(×)(√)运用等比数列中(1)公比q为何不能等于0？首项a1能等于０吗？(2)公比q=1时是什么数列？(3)q0数列各项的符号有什么特点？q0呢？(4){an}是等比数列能与an=an-1q(n≥2)等价吗?思考如果等比数列{}的首项是,公比是,那么这个等比数列的第项如何表示?ana1qnan21aqaqaa231nnaqaqaa122123qaqaa……∵∴……3134qaqaaqaa34猜想：an=a1qn-1猜一猜通项公式的推导：把这n－1个等式左右两边同时相乘11342312...nnnqaaaaaaaa11nnqaa即通项公式为：an=a1qn-1因为{an}是等比数列，所以当n≥2时，有当n=1时，上面的等式也成立qaaqaaqaaqaann1342312,,,,通项公式式子表示定义等比数列等差数列名称如果一个数列从第2项起，每一项与前一项的差等于同一个常数，那么这个数列叫做等差数列.这个常数叫做等差数列的公差，用d表示an+1-an=dan=a1+（n-1）d如果一个数列从第2项起，每一项与它前一项的比都等于同一个常数,那么这个数列叫做等比数列.这个常数叫做等比数列的公比，用q表示qaann1an=a1qn-111nnaaq如何认识等比数列通项公式:②方程思想①函数观点1.公式an=a1qn-1还可以改写成2.公式an=a1qn-1还可以变形为an=(a1qn)/q=cqn(这里c=a1/q)an=amqn-m(m,n∈Ｎ)注意等比数列通项公式的含义an=(a1qn)/q=cqn(这里c=a1/q是一个不为零的常数).当q是不等于1的正数时，y=qx是一个指数函数，而函数y=cqx是一个不为零的常数与指数函数的积，因此，表示数列{cqn}各项的点都在函数y=cqx的图象上.例如，当a1=1,q=2时，an=2n/2表示数列的点都在函数y=1/2×2x的图象上.当c=a1/q=1时，等比数列是特殊的指数函数.注：在一般情况下等比数列不是特殊的指数函数，只有把an=a1qn-1化为an=qn×a1/q且a1/q=1(q是不等于零的正数）时，an=qn×a1/q才表示一个特殊的指数函数.等比数列的图象1（1）数列：1，2，4，8，16，…1234567891024681012141618200●●●●●等比数列的图象2（2）数列：12345678910123456789100●●●●,81,41,21,1,2,4,8●●●等比数列的图象3（1）数列：4，4，4，4，4，4，4，…12345678910123456789100●●●●●●●●●●等比数列的图象4数列：1，-1，1，-1，1，…12345678910123456789100●●●●●●●●●●11111,01,(1)0,0,1,01,(2)0,0,(3)1(4)0.qqaaqqaaqq当或时，递增；当或时，递减；当时，是常数列；当时，是摆动数列等比数列的单调性如何？思考在等比数列{an}中，（1）已知a1=3,q=-2,求a6;（2）已知a3=20,a6=160,求an.例256196aaq解(1)(2)3638aqa12,5qa11152nnnaaq运用例3:求出下列等比数列中的未知项.(1)2.a,8(2)-4,b,c,）根据题意，得（1解：aa82解得a=4或a=-4）根据题意，得（2-412bcbccb212:1bc解得运用如果在a与b中间插入一个数G，使a，G，b成等比数列，那么G叫做a与b的等比中项.(a·b0)abGG2=a·b或计算公式：思考类比等差数列，在上例第一小问中:2.a,8成等比则a叫2与8的？1.在下列等比数列的括号内填上适当的数：（1）（），3，27（2）1，（），（），2581825C.3.三实数a,b,c成等比数列的等价关系是()bacbbcbacbD2.已知等比数列的公比为，第4项是，求anD.A.b2=acB.练习1.等比数列的概念方程的思想类比知识内容研究方法思想方法3.等比中项的概念2.通项公式的推导函数的思想归纳小结己知｛an｝、｛bn｝是项数相同的等比数列的,仿照下表中的例子填写表格.从中你得出什么结论想一想结论:当｛an｝、｛bn｝是项数相同的两个等比数列时,数列｛an×bn｝(其中p、q是常数)也是等比数列.探究1:当{an}{bn}是项数相同的两个等比数列时,数列{pan×qbn}(其中p,q是常数)也是等比数列吗?探究2:当{an}{bn}是项数相同的两个等比数列时,数列{pan÷qbn}(其中p,q是常数)也是等比数列吗?联系1:当{an}{bn}是项数相同的两个等差数列时,数列{pan+qbn}(其中p,q是常数)也是等差数列吗?联系2:当{an}{bn}是项数相同的两个等差数列时,数列{pan－qbn}(其中p,q是常数)也是等差数列吗?猜一猜给你一张足够大的纸，假设其厚度为0.1毫米，那么当你把这张纸对折了38次的时候，所达到的厚度有多少？把这张纸折叠38次，你今晚可以沿着它爬到月球上去！