2011年高考全国数学试卷(新课标)-理科(含详解答案)

2011年普通高等学校招生全国统一考试理科数学第I卷一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。(1)复数212ii的共轭复数是（A）35i（B）35i（C）i（D）i解析：212ii=(2)(12),5iii共轭复数为C（2）下列函数中，既是偶函数又在+（0，）单调递增的函数是（A）3yx(B)1yx（C）21yx(D)2xy解析:由图像知选B（3）执行右面的程序框图，如果输入的N是6，那么输出的p是（A）120（B）720（C）1440（D）5040解析：框图表示1nnana，且11a所求6a720选B（4）有3个兴趣小组，甲、乙两位同学各自参加其中一个小组，每位同学参加各个小组的可能性相同，则这两位同学参加同一个兴趣小组的概率为（A）13（B）12（C）23（D）34解析;每个同学参加的情形都有3种，故两个同学参加一组的情形有9种，而参加同一组的情形只有3种，所求的概率为p=3193选A（5）已知角的顶点与原点重合，始边与x轴的正半轴重合，终边在直线2yx上，则cos2=解析：由题知tan2,222222cossin1tan3cos2cossin1tan5选B（A）45（B）35（C）35（D）45（6）在一个几何体的三视图中，正视图和俯视图如右图所示，则相应的侧视图可以为解析：条件对应的几何体是由底面棱长为r的正四棱锥沿底面对角线截出的部分与底面为半径为r的圆锥沿对称轴截出的部分构成的。故选D（7）设直线L过双曲线C的一个焦点，且与C的一条对称轴垂直，L与C交于A,B两点，AB为C的实轴长的2倍，则C的离心率为（A）2（B）3（C）2（D）3解析：通径|AB|=222baa得2222222baaca，选B（8）512axxxx的展开式中各项系数的和为2，则该展开式中常数项为（A）-40（B）-20（C）20（D）40解析1.令x=1得a=1.故原式=511()(2)xxxx。511()(2)xxxx的通项521552155(2)()(1)2rrrrrrrrTCxxCx，由5-2r=1得r=2,对应的常数项=80，由5-2r=-1得r=3,对应的常数项=-40，故所求的常数项为40，选D解析2.用组合提取法,把原式看做6个因式相乘，若第1个括号提出x,从余下的5个括号中选2个提出x，选3个提出1x；若第1个括号提出1x，从余下的括号中选2个提出1x，选3个提出x.故常数项=223322335353111(2)()()(2)XCXCCCXXXX=-40+80=40（9）由曲线yx，直线2yx及y轴所围成的图形的面积为（A）103（B）4（C）163（D）6解析;用定积分求解43242002116(2)(2)|323sxxdxxxx，选C（10）已知a与b均为单位向量，其夹角为，有下列四个命题12:10,3Pab22:1,3Pab3:10,3Pab4:1,3Pab其中的真命题是（A）14,PP（B）13,PP（C）23,PP（D）24,PP解析：222cos22cos1ababab得，1cos2，20,3。由222cos22cos1ababab得1cos2,3。选A（11）设函数()sin()cos()(0,)2fxxx的最小正周期为，且()()fxfx，则（A）()fx在0,2单调递减（B）()fx在3,44单调递减（C）()fx在0,2单调递增（D）()fx在3,44单调递增解析：()2sin()4fxx，所以2，又f(x)为偶函数，,424kkkz，()2sin(2)2cos22fxxx，选A(12)函数11yx的图像与函数2sin(24)yxx的图像所有交点的横坐标之和等于（A）2(B)4(C)6(D)8解析：图像法求解。11yx的对称中心是（1,0）也是2sin(24)yxx的中心，24x他们的图像在x=1的左侧有4个交点，则x=1右侧必有4个交点。不妨把他们的横坐标由小到大设为1,2345678,,,,,,xxxxxxxx，则182736452xxxxxxxx，所以选D第Ⅱ卷二、填空题：本大题共4小题，每小题5分。（13）若变量,xy满足约束条件329,69,xyxy则2zxy的最小值为。解析：画出区域图知，当直线2zxy过239xyxy的交点(4,-5)时，min6z（14）在平面直角坐标系xOy中，椭圆C的中心为原点，焦点12,FF在x轴上，离心率为22。过1F的直线L交C于,AB两点，且2ABFV的周长为16，那么C的方程为。解析：由22416caa得a=4.c=22,从而b=8,221168xy为所求。（15）已知矩形ABCD的顶点都在半径为4的球O的球面上，且6,23ABBC,则棱锥OABCD的体积为。解析：设ABCD所在的截面圆的圆心为M,则AM=221(23)6232,OM=224(23)2，16232833OABCDV.（16）在ABCV中，60,3BAC，则2ABBC的最大值为。解析：00120120ACCA,0(0,120)A,22sinsinsinBCACBCAAB022sin2sin(120)3cossinsinsinABACABCAAACB；2ABBC3cos5sin28sin()27sin()AAAA，故最大值是27三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。（17）（本小题满分12分）等比数列na的各项均为正数，且212326231,9.aaaaa（Ⅰ)求数列na的通项公式；（Ⅱ）设31323loglog......log,nnbaaa求数列1nb的前n项和.解析：（Ⅰ）设数列{an}的公比为q，由23269aaa得32349aa所以219q。由条件可知a0,故13q。由12231aa得12231aaq，所以113a。故数列{an}的通项式为an=13n。（Ⅱ）31323nloglog...lognbaaa(12...)(1)2nnn故12112()(1)1nbnnnn12111111112...2((1)()...())22311nnbbbnnn所以数列1{}nb的前n项和为21nn(18)(本小题满分12分)如图，四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为平行四边形，∠DAB=60°,AB=2AD,PD⊥底面ABCD.(Ⅰ)证明：PA⊥BD；(Ⅱ)若PD=AD，求二面角A-PB-C的余弦值。解析1：（Ⅰ）因为60,2DABABAD,由余弦定理得3BDAD从而BD2+AD2=AB2，故BDAD;又PD底面ABCD，可得BDPD所以BD平面PAD.故PABD（Ⅱ）如图，以D为坐标原点，AD的长为单位长，射线DA为x轴的正半轴建立空间直角坐标系D-xyz，则1,0,0A,03,0B，,1,3,0C,0,0,1P。(1,3,0),(0,3,1),(1,0,0)ABPBBCuuuvuuvuuuv设平面PAB的法向量为n=（x,y,z），则00nABnPB,即3030xyyz因此可取n=(3,1,3)设平面PBC的法向量为m，则00mPBmBC可取m=（0，-1，3）427cos,727mn故二面角A-PB-C的余弦值为277（19）（本小题满分12分）某种产品的质量以其质量指标值衡量，质量指标值越大表明质量越好，且质量指标值大于或等于102的产品为优质品，现用两种新配方（分别称为A配方和B配方）做试验，各生产了100件这种产品，并测量了每件产品的质量指标值，得到下面试验结果：（Ⅰ）分别估计用A配方，B配方生产的产品的优质品率；（Ⅱ）已知用B配方生成的一件产品的利润y(单位：元)与其质量指标值t的关系式为zxPCBADy从用B配方生产的产品中任取一件，其利润记为X（单位：元），求X的分布列及数学期望.（以试验结果中质量指标值落入各组的频率作为一件产品的质量指标值落入相应组的概率）解析：（Ⅰ）由试验结果知，用A配方生产的产品中优质的平率为228=0.3100，所以用A配方生产的产品的优质品率的估计值为0.3。由试验结果知，用B配方生产的产品中优质品的频率为32100.42100，所以用B配方生产的产品的优质品率的估计值为0.42（Ⅱ）用B配方生产的100件产品中，其质量指标值落入区间90,94,94,102,102,110的频率分别为0.04，,054,0.42，因此X的可能值为-2,2,4P(X=-2)=0.04,P(X=2)=0.54,P(X=4)=0.42,即X的分布列为X的数学期望值EX=-2×0.04+2×0.54+4×0.42=2.68（20）（本小题满分12分）在平面直角坐标系xOy中，已知点A(0,-1)，B点在直线y=-3上，M点满足//MBOAuuuruur，MAABMBBAuuuruuuruuuruur，M点的轨迹为曲线C。（Ⅰ）求C的方程；（Ⅱ）P为C上的动点，l为C在P点处得切线，求O点到l距离的最小值。解析;(Ⅰ)设M(x,y),由已知得B(x,-3),A(0,-1).所以MAuuur=（-x,-1-y）,MBuuur=(0,-3-y),ABuuur=(x,-2).再由题意可知（MAuuur+MBuuur）•ABuuur=0,即（-x,-4-2y）•(x,-2)=0.所以曲线C的方程式为y=14x2-2.X-224P0.040.540.42(Ⅱ)设P(x0,y0)为曲线C：y=14x2-2上一点，因为y'=12x,所以l的斜率为12x0因此直线l的方程为0001()2yyxxx，即2000220xxyyx。则o点到l的距离20020|2|4yxdx.又200124yx，所以2020220014142(4)2,244xdxxx当20x=0时取等号，所以o点到l距离的最小值为2.（21）（本小题满分12分）已知函数ln()1axbfxxx，曲线()yfx在点(1,(1))f处的切线方程为230xy。（Ⅰ）求a、b的值；（Ⅱ）如果当0x，且1x时，ln()1xkfxxx，求k的取值范围。解析：（Ⅰ）221(ln)'()(1)xxbxfxxx由于直线230xy的斜率为12，且过点(1,1)，故(1)1,1'(1),2ff即1,1,22bab解得1a，1b。（Ⅱ）由（Ⅰ）知ln1f()1xxxx，所以22ln1(1)(1)()()(2ln)11xkkxfxxxxxx。考虑函数()2lnhxx2(1)(1)kxx(0)x，则22(1)(1)2'()kxxhxx。(i)设0k，由222(1)(1)'()kxxhxx知，当1x时，'()0hx，h(x)递减。而(1)0h故当(0,1)x时，()0hx，可得21()01hxx；当x（1，+）时，h（x）0，