1612.2.2相似三角形的性质及判定(1).讲义教师版

12.2.2相似三角形的性质及判定（1）讲义·教师版Page1of25板块考试要求A级要求B级要求C级要求相似三角形了解相似三角形掌握相似三角形的概念，判定及性质，以及掌握相关的模型会运用相似三角形相关的知识解决有关问题一、相似的有关概念1．相似形具有相同形状的图形叫做相似形．相似形仅是形状相同，大小不一定相同．相似图形之间的互相变换称为相似变换．2．相似图形的特性两个相似图形的对应边成比例，对应角相等．3．相似比两个相似图形的对应角相等，对应边成比例．二、相似三角形的概念1．相似三角形的定义对应角相等，对应边成比例的三角形叫做相似三角形．如图，ABC△与ABC△相似，记作ABCABC△∽△，符号∽读作“相似于”．A'B'C'CBA2．相似比相似三角形对应边的比叫做相似比．全等三角形的相似比是1．“全等三角形”一定是“相似形”，“相似形”不一定是“全等形”．三、相似三角形的性质1．相似三角形的对应角相等如图，ABC△与ABC△相似，则有AABBCC，，．知识点睛中考要求相似三角形的性质及判定12.2.2相似三角形的性质及判定（1）讲义·教师版Page2of25A'B'C'CBA2．相似三角形的对应边成比例如图，ABC△与ABC△相似，则有ABBCACkABBCAC（k为相似比）．A'B'C'CBA3．相似三角形的对应边上的中线，高线和对应角的平分线成比例，都等于相似比．如图1，ABC△与ABC△相似，AM是ABC△中BC边上的中线，AM是ABC△中BC边上的中线，则有ABBCACAMkABBCACAM（k为相似比）．M'MA'B'C'CBA图1如图2，ABC△与ABC△相似，AH是ABC△中BC边上的高线，AH是ABC△中BC边上的高线，则有ABBCACAHkABBCACAH（k为相似比）．H'HABCC'B'A'图2如图3，ABC△与ABC△相似，AD是ABC△中BAC的角平分线，AD是ABC△中BAC的角平分线，则有ABBCACADkABBCACAD（k为相似比）．12.2.2相似三角形的性质及判定（1）讲义·教师版Page3of25D'DA'B'C'CBA图34．相似三角形周长的比等于相似比．如图4，ABC△与ABC△相似，则有ABBCACkABBCAC（k为相似比）．应用比例的等比性质有ABBCACABBCACkABBCACABBCAC．A'B'C'CBA图45．相似三角形面积的比等于相似比的平方．如图5，ABC△与ABC△相似，AH是ABC△中BC边上的高线，AH是ABC△中BC边上的高线，则有ABBCACAHkABBCACAH（k为相似比）．进而可得21212ABCABCBCAHSBCAHkSBCAHBCAH△△．H'HABCC'B'A'图5四、相似三角形的判定1．平行于三角形一边的直线和其他两边（或两边的延长线）相交，所构成的三角形与原三角形相似．2．如果一个三角形的两个角与另一个三角形的两个角对应相等，那么这两个三角形相似．可简单说成：两角对应相等，两个三角形相似．3．如果一个三角形的两边和另一个三角形的两边对应成比例，并且夹角相等，那么这两个三角形相似．4．如果一个三角形的三条边与另一个三角形的你对应成比例，那么这两个三角形相似．可简单地说成：三边对应成比例，两个三角形相似．5．如果一个直角三角形的斜边和一条直角边与另一个直角三角形的斜边和一条直角边对应成比例，那么这两个直角三角形相似．12.2.2相似三角形的性质及判定（1）讲义·教师版Page4of256．直角三角形被斜边上的高分成的两个直角三角形相似（常用但要证明）7．如果一个等腰三角形和另一个等腰三角形的顶角相等或一对底角相等，那么这两个等腰三角形相似；如果它们的腰和底对应成比例，那么这两个等腰三角形也相似．五、相似证明中的比例式或等积式、比例中项式、倒数式、复合式证明比例式或等积式的主要方法有“三点定形法”．1．横向定型法欲证ABBCBEBF，横向观察，比例式中的分子的两条线段是AB和BC，三个字母ABC，，恰为ABC△的顶点；分母的两条线段是BE和BF，三个字母BEF，，恰为BEF△的三个顶点．因此只需证ABCEBF△∽△．2．纵向定型法欲证ABDEBCEF，纵向观察，比例式左边的比AB和BC中的三个字母ABC，，恰为ABC△的顶点；右边的比两条线段是DE和EF中的三个字母DEF，，恰为DEF△的三个顶点．因此只需证ABCDEF△∽△．3．中间比法由于运用三点定形法时常会碰到三点共线或四点中没有相同点的情况，此时可考虑运用等线，等比或等积进行变换后，再考虑运用三点定形法寻找相似三角形．这种方法就是等量代换法．在证明比例式时，常用到中间比．比例中项式的证明，通常涉及到与公共边有关的相似问题。这类问题的典型模型是射影定理模型，模型的特征和结论要熟练掌握和透彻理解．倒数式的证明，往往需要先进行变形，将等式的一边化为1，另一边化为几个比值和的形式，然后对比值进行等量代换，进而证明之．复合式的证明比较复杂．通常需要进行等线代换（对线段进行等量代换），等比代换，等积代换，将复合式转化为基本的比例式或等积式，然后进行证明．六、相似证明中常见辅助线的作法在相似的证明中，常见的辅助线的作法是做平行线构造成比例线段或相似三角形，同时再结合等量代换得到要证明的结论．常见的等量代换包括等线代换、等比代换、等积代换等．如图：AD平分BAC交BC于D，求证：BDABDCAC．321EDCAB证法一：过C作CEAD∥，交BA的延长线于E．∴1E，23．∵12，∴3E．∴ACAE．∵ADCE∥，∴BDBABADCBEAC．点评：做平行线构造成比例线段，利用了“A”型图的基本模型．12.2.2相似三角形的性质及判定（1）讲义·教师版Page5of25BACDE12证法二；过B作AC的平行线，交AD的延长线于E．∴12E，∴ABBE．∵BEAC∥，∴BDBEABDCACAC．点评：做平行线构造成比例线段，利用了“X”型图的基本模型．七、相似证明中的面积法面积法主要是将面积的比，和线段的比进行相互转化来解决问题．常用的面积法基本模型如下：图1：“山字”型HDCBA如图：1212ABCACDBCAHSBCSCDCDAH△△．图2：“田字”型GHODCBA如图：1212ABCBCDBCAHSAHAOSDGODBCDG△△．图3：“燕尾”型CDEBA如图：ABDABDAEDACEAEDACESSSABADABADSSSAEACAEAC△△△△△△．12.2.2相似三角形的性质及判定（1）讲义·教师版Page6of25八、相似证明中的基本模型IHGFEDCBAGFEDCBAEDCBAEDCBAEFDCBAFEDCBAODCBAODCBAHEDCBAEDCBAEDCBAODCBADCBDBACAEDCBADCBAGFEDCBAGFEDCBAGFEDCBADEFCBAHPMNFEDCBAGHGFEDCBAEFDCBAFEDCBA一、与三角形有关的相似问题例题精讲12.2.2相似三角形的性质及判定（1）讲义·教师版Page7of25【例1】如图，在ABC△中，ACAB，点D在AC边上，若在增加一个条件就能使ABCACB△∽△，则这个条件可以是．CDBA【考点】相似三角形的性质与判定【难度】2星【题型】填空【关键词】昆明市，中考题【解析】略【答案】ABDC或ADBABC或ADABABAC．【巩固】如图，D、E是ABC的边AC、AB上的点，且ADACAEAB，求证：ADEB.EDCBA【考点】相似三角形的性质与判定【难度】2星【题型】解答【关键词】2007年，北师大附中，期末试题【解析】略【答案】∵ADACAEAB∴ADABAEAC∵DAEBAC∴DAE∽BAC∴ADEB【巩固】如图，在ABC中，ADBC于D，CEAB于E，ABC的面积是BDE面积的4倍，6AC，求DE的长.EDCBA【考点】相似三角形的性质与判定【难度】3【题型】解答【关键词】3星【解析】略12.2.2相似三角形的性质及判定（1）讲义·教师版Page8of25【答案】∵ADBC，CEAB，ABDCBE∴ABD∽CBE∴BEBCBDAB∵EBDCBA∴BED∽BCA∴1113422BEDBCASDEDEACACS【例2】如图，ABC△中，60ABC，点P是ABC△内一点，使得APBBPCCPA，86PAPC，，则PB．PCBA【考点】相似三角形的性质与判定【难度】4星【题型】填空【关键词】【解析】120APBBPC，60BAPABPABCABPCBP，故ABPBCP△∽△，2PBPAPC．【答案】43【巩固】如图，已知三个边长相等的正方形相邻并排，求EBFEBG．HGFEDCBA【考点】相似三角形的性质与判定【难度】3星【题型】解答【关键词】山东省，竞赛题【解析】连接DF、CG，则45EDFEBFDFB，若DFBEBG，则EBFEBG可求，问题的关键是证明BCGFDB△∽△．【答案】45【例3】如图，已知ABC中，:1:3AEEB，:2:1BCCD，AD与CE相交于F，则AFEFFCFD的值为（）12.2.2相似三角形的性质及判定（1）讲义·教师版Page9of25ADEFCBA.52B.1C.32D.2【考点】相似三角形的性质与判定【难度】4星【题型】选择【关键词】【解析】这类题的解法：找适当的点，作适当的平行线，构造基本图形解题，或者直接运用梅氏定理来解题.【答案】C【巩固】在ABC中，BDCE，DE的延长线交BC的延长线于P，求证：ADBPAECP.PEDCBAMPEDCBA【考点】相似三角形的性质与判定【难度】4星【题型】解答【关键词】【解析】略【答案】过C作CMAB∥交DP于M，∵CMAB∥，∴PCMPBD∽，∴CMPCBDPB，∵CMAB∥，∴CEMAED∽，∴CMADCEAE，∵BDCE，∴CMCMCEBD，∴PCADPBAE，∴ADBPAECP【巩固】如图，M、N为ABC△边BC上的两点，且满足BMMNNC，一条平行于AC的直线分别交AB、AM和AN的延长线于点D、E和F.求证：3EFDE.12.2.2相似三角形的性质及判定（1）讲义·教师版Page10of25FNMEDCBAKHFNMGEDCBA【考点】相似三角形的性质与判定【难度】5星【题型】解答【关键词】【解析】略【答案】过M，N分别作AC的平行线交AB于H，G两点，NH交AM于K，∵BMMNNC，∴BGGHHA，易知12HKGM，12GMHN，∴14HKHN，即13HKKN，又∵DFHN∥，∴13DEHKEFKN，即3EFDE.【例4】如图，已知////ABEFCD，若ABa，CDb，EFc，求证：111cab.DCFEBA【考点】相似三角形的性质与判定【难度】4星【题型】解答【关键词】【解析】略【答案】∵//ABEF∴EFDFABBD∵//CDEF∴EFBFCDBD两式相加并变形可得，111EFABCD，即111cab.【巩固】如上图，ABBD，CDBD，垂足分别为B、D，AC和BD相交于点E，EFBD，垂足为F.证明：111ABCDEF.12.2.2相似三角形的性质及判定（1）讲义·教师版Page11of25