北师大版(高中数学) 必修4 ：2.5 从力做的功到向量的数量积(一)

5从力做的功到向量的数量积(一)第二章平面向量引入课题已知两个非零向量a和b，作，则∠AOB=θ（0°≤θ≤180°）叫做向量a与b的夹角。OAaOBb，OBθ引入课题当θ＝0°时，a与b同向；OAB当θ＝180°时，a与b反向；OABB当θ＝90°时，称a与b垂直，记为a⊥b.OAab知识点1：向量“数量积”的概念一个物体在力F的作用下产生位移S（如图）θFS那么力F所做的功W为：W=|F||S|cosθ其中θ是F与S的夹角.从力所做的功出发，我们引入向量“数量积”的概念。典型例题|b2a|2b3-ab2a160ba4|b|6|a|））（（））（（，求：夹角为与，，已知22222212-3--6||-||||cos-6||6-64cos60-64-72ababaabbaabb解：（）（）（）2222|2|244237ababaabb（）（）典型例题22)()(:bababa证明(a＋b)·(a－b)＝(a＋b)·a－(a＋b)·b＝a·a＋b·a－a·b－b·b＝a2－b2.想一想已知△ABC中,AB=a,AC=b,当a·b0,a·b=0时,△ABC各是什么三角形？当a·b＜0时，cos0，为钝角三角形当a·b=0时，为直角三角形探究点2投影的概念OABba1B数量积a·b等于a的模|a|与b在a的方向上的投影|b|cos的乘积.||||cosabab||cosb的数量向线段的方向上的投影，即有在向量叫做向量1OBab探究点2投影的概念投影的作图:AOAOB|b|cos=b|b|cos0|b|cos0|b|cosb|b|cos0OAaBbθOAaBbθOAaBbθB1B1B）互相垂直？）与（为何值时，向量（不共线。与，且，已知bk-abkakba4|b|3|a|43k0k16-916b9a0bk-a0bk-abkabk-abka222222，即）（）（相互垂直的条件是与解：探究点3数量积的定义已知两个非零向量a和b，它们的夹角为，我们把数量叫做a与b的数量积（或内积），记作a·b，即||||cosab（1）两向量的数量积是一个数量，注意（2）a·b不能写成a×b，‘·’不能省.探究点4运算率设a,b为任意向量，λ,μ为任意实数，则有：①λ(μa)=(λμ)a②(λ+μ)a=λa+μa③λ(a+b)=λa+λb课堂练习babababa求求例：已知,43)2(;,//)1(2,1，分两种情况：）由解：（ba//1;2,baba同向，当。反向，当2,baba143cos212ba）（课堂练习22ba2)()(:bababa证明证明：(a＋b)2＝(a＋b)·(a＋b)＝(a＋b)·a＋(a＋b)·b＝a·a＋b·a＋a·b＋b·b＝a2＋2a·b＋b2.课堂练习回顾实数运算中有关的运算律，类比数量积得运算律:在实数中在向量运算中交换律:ab=ba()结合律：(ab)c=a(bc)()()分配律：(a+b)c=ab+bc()消去律:ab=bc(b≠0)a=c()√√√××)()(cbacbacbcacba)(cabcbba)0(abba)()()(bababa典型例题1.00abab若，那么中至少有一..×222.||aaa任意向量有√3.0babcbac若，，那么..×不为课堂小结1.向量的数量积运算类似于多项式运算2.数量积a•b等于a的长度与b在a的方向上的投影