行列式在高中几何中的应用

高中数学解题方法与技巧贵州省贵定一中星心工作室版权所有《行列式的应用》第1页共4页盗版必究n1e2envlBAC1A1B1CDyxz行列式在高中几何中的应用——三阶行列式的应用作者史纯清贵州省贵定一中551300向量作为沟通代数与几何的桥梁被引入高中数学，大大简化了几何问题运算量；在立体几何中常用法向量来解决距离问题，夹角问题，于是求法向量又是一个新问题。行列式在求法向量时比较简洁，明快，并且三阶行列式还可以求点到平面的距离，四面体，平行六面体的体积．一、行列式的定义n阶行列式的定义：符号111212122212nnijnnnnaaaaaaaaaa叫做n阶行列式．其中ija表示行列式中第i行第j列上的元素，即第一下标表示行数，第二下标表示列数．如24a表示第2行第4列上的元素．这里只介绍三阶行列式的运算规定以及应用．二阶行列式的定义：符号1112112212212122aaaaaaaa三阶行列式的定义：符号111213212223112233122331313233133221132231122133113223aaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaa叫做三阶行列式（等号右边是运算结果）．下面举例说明三阶行列式在高中几何中的应用．二、利用三阶行列式求法向量1．定义：设平面内不共线的两个的向量的坐标为1111()exyz，，，2222()exyz，，，则行列式111222ijkxyzxyz叫平面的一个法向量，记为n．例：直棱柱111ABCABC中，112ABACAA，90BAC，D为棱1BB的中点．求平面ADC的一个法向量．如图，建立空间直角坐标系Axyz，则(000)A，，，1(002)A，，，(010)B，，，1(012)B，，，(100)C，，，1(102)C，，，(011)D，，，取面ADC内两个不共线向量(011)AD，，，(100)AC，，，则平面ADC的一个法向量为：011(011)100ijkjk，，；2．应用举例（1）证明线面平行：平面的一个非零法向量是n，平面外一条直线l的一第1行第2行第n行…第1列第2列第n列高中数学解题方法与技巧贵州省贵定一中星心工作室版权所有《行列式的应用》第2页共4页盗版必究C1CA1AB1BDyxzABCDxy213lmn个非零方向向量是v，则//l平面的充要条件是0nv．（2）求二面角：面面l，面的一个非零法向量是n，面的一个非零法向量是m，则二面角l的大小为：arccosmn，或arccosmn，．【例1】正三棱柱111ABCABC的侧棱长为3，底面边长为2，D是AC的中点．（I）证明：1//AB平面1DBC；（Ⅱ）求二面角1DBCC的余弦值．解：依题意，建立如图所示的空间直角坐标系：Cxyz，则：(000)C，，，1(003)C，，，(020)B，，，1(023)B，，，(310)A，，，1(313)A，，，31(0)22D，，，则33(0)22DB，，，131(3)22DC，，，平面1DBC的一个法向量为：33333333022244231322ijknikkj即333(3)22n，，，1(313)AB，，，1333(313)(3)22933022ABn，，，，1ABn，所以1//AB平面1DBC．（Ⅱ）面1DBC的一个法向量为：333(3)22n，，，面1BCC的一个法向量为：00323020ijkmi，(2300)m，，，则93|cos|4||||2323mnmnmn，，因此二面角1DBCC的余弦值为34．（3）求异面直线的公共法向量：a与b是异面直线，向量1111()vxyz，，是直线a的方向向量，2222()vxyz，，是直线b的方向向量，则异面直线a与b的一个公共法向量是：111222ijknxyzxyz高中数学解题方法与技巧贵州省贵定一中星心工作室版权所有《行列式的应用》第3页共4页盗版必究a1v1v2v2vnbxyxzCGEFABnabABN0AMzyDCAB1A1B1C1D法向量求两异面直线距离的基本思想：在空间中取两条异面直线a和b，且他们的一个法向量为n，因为直线an，记垂足为M，bn，记垂足为N，则线段MN的长就是异面直线a和b的距离，如图，记法向量n与BA的夹角为，则0|||cos|||MNNA，即0|||||cos|MNNA，00|||||||cos|||nnMNeNAeNA，故0||||||||||nNAnABMNnn．其中A、B分别为两异面直线上的任意点，并且此两点必须分居在两直线上．【例2】已知正方体1111ABCDABCD的棱长为1．求异面直线1DA与AC的距离．解：建立如图所示的空间直角坐标系Dxyz，则(000)D，，，(100)A，，，1(101)A，，，(010)C，，，1(101)DA，，，(110)AC，，于是异面直线1DA与AC的一个法向量为101(111)110ijknjki，，分别在异面直线1DA与AC各取一点A、D，异面直线1DA与AC的距离为|(111)(100)|||33||3nADdn，，，，三、利用三阶行列式求平面方程定理：过三点111()Axyz，，、222()Bxyz，，、333()Cxyz，，的平面的方程为：1112121213131310xxyyzzxxyyzzxxyyzz．定理：若平面的方程为：0AxByCzD，则平面外一点000()Pxyz，，到平面的距离为：000222||AxByCzDdABC．【例3】已知正方形ABCD的边长为4，CG平面ABCD，2CG，E、F分别是AB、AD的中点，求点B到平面EFG的距离．解：依题意，建立如图所示的空间直角坐标系：Cxyz，则：(040)B，，，(240)E，，，(420)F，，，(002)G，，，则平面EFG的方程为：0022040020402002xyz高中数学解题方法与技巧贵州省贵定一中星心工作室版权所有《行列式的应用》第4页共4页盗版必究A1ABCD1B1C1DSABCABCD1A1C1B1DxyzEO即：88481632440xyzzyx亦即：360xyz所以(040)B，，到平面EFG的距离为：|0406|2111111d．四、利用三阶行列式求四面体的体积定理：记平行六面体1111ABCDABCD的一个顶点A引出的三边所对应的向量111()ABxyz，，、222()ADxyz，，、1333()AAxyz，，，则平行六面体的体积为：111222333xyzVxyzxyz平行六面体．说明：定理中的三向量只要是平行六面体的同一顶点引出的都可以，如BA、BC、1BB等都行．定理：记四面体SABC的一个定点S引出的三边所对应的向量坐标分别为：111()SAxyz，，、222()SBxyz，，、333()SCxyz，，，则四面体SABC的体积为：11122233316SABCxyzVxyzxyz．说明：1.定理中的三向量只要是四面体的同一顶点引出的都可以，如BA、BC、1BB等都行．2.事实上，1112223331122xyzVVxyzxyz三棱柱平行六面体，所以1136VVV三棱锥三棱柱平行六面体．【例4】已知正四棱柱1111ABCDABCD，点E是棱1DD上的中点，截面EAC与底面ABCD所成的角为4，2AB．求三棱锥1BEAC的体积．解：记BD与AC交点为O，由正方形ABCD性质知O是AC中点且BOAC，E是棱1DD上的点，易知EAEC，则EOAC，所以EOA4EOA，所以2DEDO，122DD，建立如图所示的空间直角坐标系：Dxyz，则：(002)E，，，(200)A，，，1(222)B，，，(020)C，，，其中向量1(022)BA，，，1(202)BC，，，1(220)BE，，，于是三棱锥1BEAC的体积为：10221142202|82|663220BEACV．说明：若求四棱锥，只需把四棱锥分割成两个三棱锥，分别求出三棱锥体积求和即可．