同时决策博弈（PDF40页）

第二章同时决策博弈(1)回顾•2-1二人同时博弈的三要素–局中人，策略，支付的含义和数学表达–策略集，策略组合，支付函数，支付向量•2-2支付矩阵–二人博弈的一般性矩阵表示–有限博弈，T.C.Schelling的双矩阵形式，三人博弈–正规型(策略型)博弈定义•2-3优势策略–优势策略，整体的严格优势策略，弱优势策略–劣势策略，整体的严格劣势策略，弱劣势策略–严格劣势策略逐次消去法(IESDS)•2-4优势策略均衡–优势策略均衡，严格优势策略均衡，公明博弈–普通劣势策略消去法，寻找优势策略均衡求解的局限•2-5相对优势策略和纳什均衡–相对优势策略,纳什均衡,检验纳什均衡•2-6相对优势策略划线法第二章同时决策博弈(2)•2-7箭头指向法•2-8纳什均衡的正式定义•2-9“最后归宿”博弈•2-10纳什均衡的应用•2-11纳什均衡的观察与验证•2-12弱劣势策略消去法的讨论2-7箭头指向法•基本思路：–对博弈中的每个策略组合进行分析，考察在这个策略组合下各个局中人是否能够通过单独改变自己的策略而增加支付。具体操作方法•依次考察矩阵型博弈的每个策略组合，如果在这个策略组合某个局中人能够通过单独改变策略选择增加自己的支付，则从所分析的策略组合下他所对应的支付处引一箭头，指向他单独改变策略后新的策略组合下他所对应的支付。当所有策略组合都这样处理完了以后，没有箭头指出去的那些格子表征的策略组合，就是博弈的纳什均衡。-3-3-500-5-1-1抵赖甲坦白抵赖坦白乙12000021芭蕾丽娟大海足球芭蕾足球2-8纳什均衡的正式定义•在这个策略组合里，每个局中人的策略选择，都是对于其他博弈参与人的策略选择的组合的最佳策略选择。这种策略组合，叫做博弈的纳什均衡(Nashequilibrium)。•纳什均衡是非合作博弈理论中最重要的一个概念。策略型博弈的纳什均衡定义•符号约定：•当策略集不是有限集的时候，无法运用已经学过的劣势策略消去法，相对优势策略划线法和箭头指问法。但是，对于策略集都是实数的开区间并且支付函数都是可微的多元函数的情形，运用微分方法可以找出纳什均衡。策略集都是实数的开区间且支付函数都是可微的多元函数极值的必要条件，是函数的所有偏导数都等于0。连续情形纳什均衡的必要条件连续情形纳什均衡的检验方法•例：设一个3人的策略型博弈，每个局中人的策略集都是正实数开区间（0，），他们的策略变量分别是x，y，z，他们的支付函数分别是：求纳什均衡解。∞232212,,u)(12,,uz2,,uxyzzzyxyzyxzyxyxxzyx−=−++=−=）（）（）（•“纳什均衡检验方法”只是确定纳什均衡的一种方法。还有一些纳什均衡，不能由它确定。纳什均衡检验方法的最大缺陷是要求满足一阶条件的“必要解”唯一。•但是，必要解不唯一，并不等于博弈不存在纳什均衡。•例：设一个3人的博弈中，每个局中人的策略集都是正实数开区间（0，），他们的策略变量分别是x，y，z，他们的支付函数分别是：求纳什均衡解。}uuu;{3,2,13,2,1SSSG=∞zyzzyxzyyzyxxzyxzyxxzyx)1(2/,,u2/,,u)(4)](25[/314-,,u23222341−+=+−=++++−+=）（）（）（a乙bcA221320甲B312223C0232222-9“最后归宿”博弈•谁想偏离纳什均衡另搞一套，利益角逐的最终结果，还是要回到原来的纳什均衡的位置。•只有纳什均衡才是博弈的稳定对局。2-10纳什均衡的应用•古诺竞争模型–两个企业之间进行的一个策略型博弈，企业1和企业2，这两个企业生产同质的产品，共同占有这种产品的市场。记企业1的产量为，企业2的产量为，则两个企业的总产量就是。–设这种商品的市场需求曲线，a为常数–市场的反需求函数–设企业生产单位产品的总成本是，其中是正常数，iq1q2q21qqq+=p-aq=q-ap(q)=iiqcic2,1=ii•这个双寡头竞争模型表述成一个策略型博弈，其三要素为：–两个局中人：企业1和企业2–每个企业的策略集–企业的支付函数即其利润函数：iiiqcqqqaqq−−−=)(,2121i）（π），（∞0i•用连续情形纳什均衡的检验方法来计算纳什均衡：11121211)(,qcqqqaqq−−−=）（π11221)(qcqaq−−+−=）（22221212)(,qcqqqaqq−−−=）（π22122)(qcqaq−−+−=）（02,1211211=−−+−=∂∂cqaqqqq）（π02,2122212=−−+−=∂∂cqaqqqq）（π•可得方程组唯一解：3212*1ccaq−+=3221*2ccaq−+=•二阶导数计算：2,212112−=∂∂qqq）（π＜02,222122−=∂∂qqq）（π＜0。）是博弈的纳什均衡解，（*2*1qq∴伯川德双寡头竞争模型•考虑两种有差异的产品，假设在企业1和企业2这两个双寡头企业分别选择价格和的时候，市场对企业的产品的需求为：bajiibppappqjijii,,,2,1,≠=+−=），（1p2pb＞0＞0i边际成本为一个共同的常数＜ac•这个双寡头竞争模型表述成一个策略型博弈，其三要素为：–两个局中人：企业1和企业2–每个企业的策略集是价格，而非产量：–企业的支付函数即其利润函数：2,1))(())(,(,i=−+−=−=icpbppacpppqppijiijiiji）（π），∞0[i02,211211=+++−=∂∂cabppppp）（π02,212212=++−=∂∂capbpppp）（πbcapp−+==2*2*12-11纳什均衡的观察与验证•假设两个人分一百块钱，每个人独立地提出自己要求的数额，并把要求写在一张纸上，然后由公正的第三方来主持和判定最终的分配结果。规则是这样的：设为第一个人要求的数额，为第二个人要求的数额，如果，则每个人得到自己要求的数额；否则，两人一分钱都得不到。•请猜测纳什均衡的结果。10021≤+xx1x2x•任何满足的分配数对(，)都构成这个二人博弈的纳什均衡，因此，这个博弈存在无数个纳什均衡。10021=+xx1x2x•一个有N个人参加的游戏：每个人可任意放最多100块钱到一部可以生钱的机器里，机器把所有人放进去的钱的总和增加到原来的3倍，然后再平分给这N个人。你能猜出这个N人博弈的一个纳什均衡并给出相应的证明吗?•当N＝1和2时，每个人都愿意出100块钱；当N4时，没有人愿意出钱。因为当参与分钱的人数大于钱增加的倍数时，对于任何一个参与人，自己出钱是件亏本的事情，只有当参与分钱的人数小于钱增加的倍数时，自己出钱才是划算的。所以没有人出钱就是纳什均衡。•N＝3，每人都出100元是这个博弈的一个纳什均衡。每个局中人都不出钱，也是一个纳什均衡。≥2-12弱劣势策略消去法的讨论严格纳什均衡和普通纳什均衡•公明博弈中的一个纳什均衡就被普通劣势策略消去法错过了。•纳什均衡也有严格纳什均衡和普通纳什均衡之分。–普通纳什均衡只是说任何局中人单独把策略从均衡改变出去没有好处，不会得到好处。但是，没有好处也不一定有坏处。在公明博弈中右下方格子就是一个普通纳什均衡。–严格纳什均衡不仅是单独改变没有好处，而且指那些谁单独改变策略谁就要倒霉的纳什均衡。在公明博弈中左上方格子就是一个严格纳什均衡。