§4.2--傅里叶级数

第1页■§4.2傅里叶级数•傅里叶级数的三角形式•波形的对称性与谐波特性•傅里叶级数的指数形式•周期信号的功率——Parseval等式第2页■▲一、傅里叶级数的三角形式1.三角函数集在一个周期内是一个完备的正交函数集。0sincos22dttmtnTTnmnmTdttmtnTT,0,2coscos22nmnmTdttmtnTT,0,2sinsin22由积分可知{1,cos(nΩt)，sin(nΩt)，n=1,2,…}第3页■▲2．级数形式设周期信号f(t)，其周期为T，角频率=2/T，当满足狄里赫利(Dirichlet)条件时，它可分解为如下三角级数——称为f(t)的傅里叶级数110)sin()cos(2)(nnnntnbtnaatf系数an,bn称为傅里叶系数22d)cos()(2TTnttntfTa22d)sin()(2TTnttntfTb可见，an是n的偶函数，bn是n的奇函数。第4页■▲其他形式10)cos(2)(nnntnAAtf式中，A0=a022nnnbaAnnnabarctan上式表明，周期信号可分解为直流和许多余弦分量。•A0/2为直流分量•A1cos(t+1)称为基波或一次谐波，其角频率与原周期信号相同•A2cos(2t+2)称为二次谐波，其频率是基波的2倍一般而言，Ancos(nt+n)称为n次谐波。可见：An是n的偶函数，n是n的奇函数。an=Ancosn，bn=–Ansinn，n=1,2,…将上式同频率项合并，可写为第5页■▲二、波形的对称性与谐波特性)()(tftf1.f(t)为偶函数——对称纵坐标22d)cos()(2TTnttntfTa22d)sin()(2TTnttntfTbbn=0，展开为余弦级数。2.f(t)为奇函数——对称于原点an=0，展开为正弦级数。)()(tftf例第6页■▲3.f(t)为奇谐函数——f(t)=–f(t±T/2)f(t)t0TT/2此时其傅里叶级数中只含奇次谐波分量，而不含偶次谐波分量即a0=a2=…=b2=b4=…=04．f(t)为偶谐函数——f(t)=f(t±T/2))(tfOtTT2T2T此时其傅里叶级数中只含偶次谐波分量，而不含奇次谐波分量即a1=a3=…=b1=b3=…=0第7页■▲三、傅里叶级数的指数形式e)(jtnnnFtf三角形式的傅里叶级数，含义比较明确，但运算常感不便，因而经常采用指数形式的傅里叶级数。de)(122jTTtnnttfTF系数Fn称为复傅里叶系数利用cosx=(ejx+e–jx)/2可从三角形式推出：推导虚指数函数集{ejnΩt，n=0，±1，±2，…}第8页■▲傅里叶系数之间关系nnnnAbaF212122nnnabarctan)j(21e21ejnnnnnbaAFFnnn的偶函数：an，An，|Fn|n的奇函数:bn，nnnnAacosnnnAbsin第9页■▲四、周期信号的功率——Parseval等式nnnnTFAAdttfT2122002||21)2()(1直流和n次谐波分量在1电阻上消耗的平均功率之和。n≥0时，|Fn|=An/2。周期信号一般是功率信号，其平均功率为这是Parseval定理在傅里叶级数情况下的具体体现。证明