数列求和常用的五种方法

数列求和常用的五种方法一、利用常用求和公式求和利用下列常用求和公式求和是数列求和的最基本最重要的方法.1、等差数列求和公式：dnnnaaanSnn2)1(2)(112、等比数列求和公式：)1(11)1()1(111qqqaaqqaqnaSnnn3、)1(211nnkSnkn4、)12)(1(6112nnnkSnkn5、213)]1(21[nnkSnkn例1．已知3log1log23x，求nxxxx32的前n项和.解：由212loglog3log1log3323xxx，由等比数列求和公式得nnxxxxS32=xxxn1)1(＝211)211(21n＝1－n21二、错位相减法求和这种方法是在推导等比数列的前n项和公式时所用的方法，这种方法主要用于求数列{an·bn}的前n项和，其中{an}、{bn}分别是等差数列和等比数列.例2．求和：132)12(7531nnxnxxxS……………………①解：由题可知，{1)12(nxn}的通项是等差数列{2n－1}的通项与等比数列{1nx}的通项之积当时1x，22121127531nnnnSn当时1x设nnxnxxxxxS)12(7531432……………②（设制错位）①－②得nnnxnxxxxxSx)12(222221)1(1432（错位相减）再利用等比数列的求和公式得：nnnxnxxxSx)12(1121)1(1∴21)1()1()12()12(xxxnxnSnnn例3.已知1,0aa，数列na是首项为a，公比也为a的等比数列，令)(lgNnaabnnn，求数列nb的前n项和nS。解析：anaaaaaSanaaaaSaanbaannnnnnnnlg)32(lg)32(lg,143232①-②得：anaaaaSannnlg)()1(12nnananaaaS)1(1)1(lg2。点评：设数列na的等比数列，数列nb是等差数列，则数列nnba的前n项和nS求解，均可用错位相减法。三、反序相加法求和这是推导等差数列的前n项和公式时所用的方法，就是将一个数列倒过来排列（反序），再把它与原数列相加，就可以得到n个)(1naa.例4．函数)(xf对任意Rx，都有21)1()(xfxf。（1）求)21(f和)1()1(nnfnf的值；（2）数列na满足：)1()1()2()1()0(fnnfnfnffan，数列na是等差数列吗？请给与证明。（3）144nnab，nSn1632，22221nnbbbT试比较nT与nS的大小。解：（1）令21x,可得41)21(f，21)11()1()1()1(nfnfnnfnf（2）)1()1()2()1()0(fnnfnfnffan∴)0()1()2()2()1()1(fnfnfnnfnnffan∴)1(21)0()1()1()1()1()0(2nffnnfnfffan∴41nan（3）nbn4，))1(13212111(16)131211(16222nnnTnnSn1632四、分组法求和有一类数列，既不是等差数列，也不是等比数列，若将这类数列适当拆开，可分为几个等差、等比或常见的数列，然后分别求和，再将其合并即可.例5．求数列的前n项和：231,,71,41,1112naaan，…解：设)231()71()41()11(12naaaSnn将其每一项拆开再重新组合得)23741()1111(12naaaSnn（分组）当a＝1时，2)13(nnnSn＝2)13(nn（分组求和）当1a时，2)13(1111nnaaSnn＝2)13(11nnaaan例6．求数列{n(n+1)(2n+1)}的前n项和.解：设kkkkkkak2332)12)(1(∴nknkkkS1)12)(1(＝)32(231kkknk将其每一项拆开再重新组合得Sn＝kkknknknk1213132（分组）＝)21()21(3)21(2222333nnn＝2)1(2)12)(1(2)1(22nnnnnnn＝2)2()1(2nnn五、裂项法求和这是分解与组合思想在数列求和中的具体应用.裂项法的实质是将数列中的每项（通项）分解，然后重新组合，使之能消去一些项，最终达到求和的目的.通项分解（裂项）如：（1）)()1(nfnfan（2）nnnntan)1tan()1cos(cos1sin（3）111)1(1nnnnan（4）)121121(211)12)(12()2(2nnnnnan（5）])2)(1(1)1(1[21)2)(1(1nnnnnnnan(6)nnnnnnnnSnnnnnnnnna2)1(11,2)1(12121)1()1(221)1(21则例7．求数列,11,,321,211nn的前n项和.解：设nnnnan111（裂项）则11321211nnSn（裂项求和）＝)1()23()12(nn＝11n例8．在数列{an}中，11211nnnnan，又12nnnaab，求数列{bn}的前n项的和.解：∵211211nnnnnan∴)111(82122nnnnbn∴数列{bn}的前n项和)]111()4131()3121()211[(8nnSn＝)111(8n＝18nn