测量误差分析与处理措施

第二章测量误差分析与处理当对同一量进行多次等精度重复测量，得到一系列不同的测量值，称为测量列。利用统计学的方法，从理论上来估计随机误差对测量结果的影响，也就是首先从测量列中求得一个最优概值，然后对最优概值的测量误差作出估计，得出测量值，这就是数据处理。第一节随机误差的分布规律一、随机误差的正态分布性质测定值的随机性表明了测量误差的随机性质。随机误差就其个体来说变化是无规律的，但在总体上却遵循一定的统计规律。测量列中的随机误差：δi=xi－X0式中,δi——测量列的随机误差，i=1，2，3，…，n；xi——测量列的测量值；X0——被测量的真值。随机误差分布的性质有界性：在一定的测量条件下，测量的随机误差总是在一定的、相当窄的范围内变动，绝对值很大的误差出现的概率接近于零。单峰性：绝对值小的误差出现的概率大，绝对值大的误差出现的概率小，绝对值为零的误差出现的概率比任何其它数值的误差出现的概率都大。对称性：绝对值相等而符号相反的随机误差出现的概率相同，其分布呈对称性。抵偿性：在等精度测量条件下，当测量次数不断增加而趋于无穷时，全部随机误差的算术平均值趋于零。正态分布的分布密度函数为式中，——标准误差（均方根误差）；e——自然对数的底。如用测定值x本身来表示，则22212fe202(xX)21fxe2n0ini11Xlimxnn2ini11limn二、正态分布密度函数与概率积分对于一定的被测量，在静态情况下，X0是一定的，σ的大小表征着诸测定值的弥散程度。σ值越小，正态分布密度曲线越尖锐，幅值越大；σ值越大，正态分布密度曲线越平坦，幅值越小。可用参数σ来表征测量的精密度，σ越小，表明测量的精密度越高。σ并不是一个具体的误差，它的数值大小只说明了在一定条件下进行一列等精度测量时，随机误差出现的概率密度分布情况。在一定条件下进行等精度测量时，任何单次测定值的误差δi可能都不等于σ，但我们认为这列测定值具有同样的均方根误差σ；而不同条件下进行的两列等精度测量，一般来说具有不同的σ值。随机误差出现的性质决定了人们不可能正确地获得单个测定值的真误差δi的数值，而只能在一定的概率意义之下估计测量随机误差数值的范围，或者求得误差出现于某个区间的概率。将正态分布密度函数积分概率积分202(xX)x21Fxedx222b2a1P(ab)ed222a201P(aa)P(a)2ed22zz202P(a)P(z)edz(z)2若令a=zσ，则第二节直接测量误差分析与处理子样平均值：代表由n个测定值x1,x2,…,xn组成的子样的散布中心子样方差：描述子样在其平均值附近散布程度n22ii11s(xx)nnii11xxn一、算术平均值原理测定值子样的算术平均值是被测量真值的最佳估计值。算术平均值的意义设x1、x2、…，xn为n次测量所得的值，则算术平均值为xni12ni1xxxxxnn算术平均值的性质用算术平均值代替被测量的真值，则有式中vi——xi的剩余误差；xi——第i个测量值，i=1，2，…，n。iivxx（1）剩余误差的代数和等于零，即（2）剩余误差的平方和为最小，即01niiv最小niiv12测定值子样平均值的均方根误差是测定值母体均方根误差的倍。在等精度测量条件下对某一被测量进行多次测量，用测定值子样平均值估计被测量真值比用单次测量测定值估计具有更高的精密度。n/1xn二、贝塞尔公式因为真值X0为未知，所以必须用残差vi来表示，即此式称贝塞尔公式。2222201211nniiniixXnnnnn22iii1i1vxxn1n1三、测量结果的置信度假设用对μ进行估计的误差为，那么。对于某一指定的区间[－λ,λ]，落在该区间内的概率为。同样地，可以求得测定值子样平均值落在区间[μ－λ,μ＋λ]的概率为xxxxxP()P(x)xx表示“测定值子样平均值这一随机变量出现于一个固定区间内”这一事件的概率；表示“在宽度一定作随机变动的随机区间内包含被测量真值”这一事件的概率。P(x)P(xx),x,x定义区间为测量结果的置信区间，也称为置信限λ为置信区间半长，也称为误差限概率为测量真值经过在置信区间内的置信概率。危险率：x,xP(xx)x,xP(xx)1置信区间与置信概率共同表明了测量结果的置信度，即测量结果的可信程度。对于同一测量结果，置信区间不同，其置信概率是不同的。置信区间越宽，置信概率越大；反之亦然。一列等精度测量的结果可以表达为在一定的置信概率之下，以测定值子样平均值为中心，以置信区间半长为误差限的量测量结果＝子样平均值±置信区间半长（置信概率P＝？）例题1：在等精度测量条件下对某透平机械的转速进行了20次测量，获得如下的一列测定值（单位：r/min）4753.14757.54752.74752.84752.14749.24750.64751.04753.94751.24750.34753.34752.14751.24752.34748.44752.54754.74650.04751.0试求该透平机转速（设测量结果的置信概率P＝95％）。0.4752x0.2447.0nx9.0876.096.1%95zP4752.00.9(r/min)(P95%)速度在实际测量工作中，并非任何场合下都能对被测量进行多次测量，而多为单次测量。如果知道了在某种测量条件下测量的精密度参数，而且在同样的测量条件下取得单次测量的测定值，那么单次测量情况下测量结果的表达式为：测量结果＝单次测定值±置信区间半长（置信概率P＝？）例题2：对例1所述的透平机转速测量，设测量条件不变，单次测量的测定值为4753.1r/min，求该透平机转速（测量结果的置信概率P＝95％）。9.396.1950.21zzP％＝＝可知从例4753.13.9r/min(P95%)速度＝（）在同样的置信概率下，用单次测定值表示测量结果比用多次测量所获得的测定值子样平均值表示的误差大。四、测量结果的误差评价标准误差若测量结果用单次测定值表示，误差限采用标准误差，则测量结果＝单次测定值x±标准误差（P=68.3%）若测量结果用测定值子样平均值表示，误差限采用标准误差，则测量结果＝子样平均值x±标准误差（P=68.3%）极限误差测量列标准误差的三倍，定义为测量列的极限误差子样平均值的极限误差与测量列极限误差的关系是3xn五、小子样误差分析与t分布当测量次数很少时，子样平均值的标准误差很不准确，并且子样容量愈小，这种情况就愈严重。为了在σ未知的情况下，根据子样平均值估计被测量真值，就须考虑一个统计量。它的分布只取决于子样容量n，而与σ无关。这时需引入统计量t。定义t为t不服从正态分布，而服从t分布，其概率密度函数为式中，是特殊函数，v是正整数，称为t分布的自由度。xxxtn(v1)/22v1()2f(t;)vtv()12v当进行n次独立测量时，由于t受平均值的约束，服从自由度为n－1的t分布，所以ν＝n－1。t分布与母体均方根误差σ无关，只与子样容量n有关。表中列有在各种自由度和置信概率下，满足式的tp值。它表明自由度为v的t分布在区间[－tp，tp]内的概率为P。假设一列等精度独立测定值x1，x2，…，xn服从正态分布，真值和均方根误差均未知。根据这一列测定值可求得算术平均值及其均方根误差的估计值：ppttpdtvtfttP),()(nii11xxnn2ixi11(xx)n(n1)由于服从自由度v=n－1的t分布，所以可用上式做以下的概率描述或测量结果可表示为：测量结果xx/)(pppxxP(tt)P(tt)PppxxP(xtxt)PpxxtP?（置信概率）例3用光学高温计测量某金属铸液的温度，得到如下5个测量数据（℃）：975，1005，988，993，987设金属铸液温度稳定，测温随机误差属于正态分布。试求铸液的实际温度（取P＝95％）。解：根据P＝95％和v＝4，查表得tp＝2.78，则测量结果为989.8x52ixi11(x989.8)4.754pxxt989.813.2(P95%)若上例用正态分布求取给定置信概率下的置信温度区间是[980.6,999.0]，这要比由t分布求得的区间小。这表明，在测量次数较少的情况下，用正态分布计算误差限，往往会得到“太好”的结果，夸大了测量结果的精密度。因此，对小子样的误差分析，应采用t分布处理。第三节粗大误差粗大误差是指不能用测量客观条件解释为合理的那些突出误差，它明显地歪曲了测量结果。含有粗大误差的测定值称为坏值，应予以剔除。产生粗大误差的原因：测量者的主观原因客观外界条件的原因一、拉伊特准则拉伊特准则(3σ准则)：如果测量列中某一测定值残差vi的绝对值大于该测量列标准误差的3倍，那么可认为该测量列中有粗大误差存在，且该测定值为坏值。坏值剔除后，应重新计算新测量列的算术平均值及标准误差，并再次进行检验看余下的数据中是否还含有坏值。拉伊特准则是判定粗大误差存在的一种最简单的方法。拉伊特准则是在重复测量次数n趋于无穷大的前提下建立的，当n有限时，尤其是当n很小时（如n≤10），此准则就不可靠。二、格拉布斯准则对某一被测量进行多次等精度独立测量，获得一列测定值x1，x2，…，xn。为了检查测定值中是否含有粗大误差，将xi由小到大按顺序排列为)()2()1(nxxxnn2iii1i111xx,xxnn1格拉布斯按照数理统计理论导出了统计量的分布，取定危险率a，可求得临界值g0(n,a)，而(n)(1)(n)(1)xxxxg,g(n)0(1)0xxPgn,xxPgn,这样，得到了判定粗大误差的格拉布斯准则：若测量列中最大测定值或最小测定值的残差有满足者，则可认为含有残差vi的测定值是坏值，因此该测定值按危险率a应该剔除。(1)0vg(n,a)(i1n)或用格拉布斯准则判定测量列中是否含有粗大误差的坏值时，选择不同的危险率可能得到不同的结果。危险率的含义是按本准则判定为异常数据，而实际上并不是，从而犯错误的概率。危险率就是误剔除的概率。例5测某一介质温度15次，得到以下一列测定值数据（℃）：20.42，20.43，20.40，20.43，20.42，20.43，20.39，20.30，20.40，20.43，20.42，20.41，20.39，20.39，20.40试判断其中有无含有粗大误差的坏值。解：(1)按大小顺序将测定值重新排列20.30，20.39，20.39，20.39，20.40，20.40，20.40，20.41，20.42，20.42，20.42，20.43，20.43，20.43，20.43(2)计算子样平均值和测量列标准误差15152iii1i111xx20.404,xx0.03315151(3)选取a＝5％，查表得g0(15,5％)＝2.41(4)计算最大与最小测定值的残差，并用格拉布斯准则判定因故x(1)＝20.30在a＝5％下被判定为坏值而剔除。026.0,104.0)15()1(vv080.0%)5,15(0)1(g