不定积分技巧总结

不定积分技巧总结作者:蔡浩然题记题记题记题记：：：：不定积分不定积分不定积分不定积分，，，，是一元函数积分学的基础是一元函数积分学的基础是一元函数积分学的基础是一元函数积分学的基础，，，，题型极多题型极多题型极多题型极多，，，，几乎是每几乎是每几乎是每几乎是每一道题就一种题型。乍一看感觉思路很乱，很难把握其中的规律一道题就一种题型。乍一看感觉思路很乱，很难把握其中的规律一道题就一种题型。乍一看感觉思路很乱，很难把握其中的规律一道题就一种题型。乍一看感觉思路很乱，很难把握其中的规律，，，，结果是一做题就凭感觉乱闯结果是一做题就凭感觉乱闯结果是一做题就凭感觉乱闯结果是一做题就凭感觉乱闯，，，，运气好运气好运气好运气好，，，，有时可以闯出来有时可以闯出来有时可以闯出来有时可以闯出来，，，，有很多时有很多时有很多时有很多时候是闯不出来候是闯不出来候是闯不出来候是闯不出来，，，，或者碰到了庞大的计算量便到此为止了或者碰到了庞大的计算量便到此为止了或者碰到了庞大的计算量便到此为止了或者碰到了庞大的计算量便到此为止了。。。。为了在求为了在求为了在求为了在求不定积分时有一个确切简单的思路，我在此作以如下总结。不定积分时有一个确切简单的思路，我在此作以如下总结。不定积分时有一个确切简单的思路，我在此作以如下总结。不定积分时有一个确切简单的思路，我在此作以如下总结。首先，除了那些基本积分公式，还要熟记推广公式的有：首先，除了那些基本积分公式，还要熟记推广公式的有：首先，除了那些基本积分公式，还要熟记推广公式的有：首先，除了那些基本积分公式，还要熟记推广公式的有：⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛→⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛+⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛→+→+∫∫∫xcaacxcadxcaacdxxcacdxcaxarctan11111111222即即即即⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛→+∫xcaacdxcaxarctan112【【【【相乘开根作分母，前比后，开根作系数相乘开根作分母，前比后，开根作系数相乘开根作分母，前比后，开根作系数相乘开根作分母，前比后，开根作系数】】】】另外，另外，另外，另外，[]xxxxdxtanseclntansec21sec3++=∫最好也可以记下来最好也可以记下来最好也可以记下来最好也可以记下来，，，，因为经常要用到因为经常要用到因为经常要用到因为经常要用到，，，，并且也不难记并且也不难记并且也不难记并且也不难记，，，，括号里面是括号里面是括号里面是括号里面是xsec的原函数和导数之和。的原函数和导数之和。的原函数和导数之和。的原函数和导数之和。一、一、一、一、三角函数篇三角函数篇三角函数篇三角函数篇原则是：尽量凑微分，避免万能代换。原则是：尽量凑微分，避免万能代换。原则是：尽量凑微分，避免万能代换。原则是：尽量凑微分，避免万能代换。1.11.11.11.1、、、、正余弦型正余弦型正余弦型正余弦型1.1.11.1.11.1.11.1.1、分母二次带常数，分子不含一次项型、分母二次带常数，分子不含一次项型、分母二次带常数，分子不含一次项型、分母二次带常数，分子不含一次项型∫+dxxA2sin1或或或或dxxAx∫+22sincos右式可通过变形，分离常数化为左式。而右式可通过变形，分离常数化为左式。而右式可通过变形，分离常数化为左式。而右式可通过变形，分离常数化为左式。而()→++→+→+∫∫∫AxAxddxxxAxdxxA22222tan1tantansecsecsin1()CxAAAA+⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛++→tan1arctan111.1.21.1.21.1.21.1.2、分母一次带常数，分子常数型、分母一次带常数，分子常数型、分母一次带常数，分子常数型、分母一次带常数，分子常数型∫∫−−→+dxxAxAdxxA22sinsinsin1()∫∫+−+−→dxxAxddxxAA2222cos1cossin特别的，当特别的，当特别的，当特别的，当1=A时，原式就可化为时，原式就可化为时，原式就可化为时，原式就可化为∫∫+→dxxxddxxA22coscoscos1.1.31.1.31.1.31.1.3、分母一次无常数，分子常数型、分母一次无常数，分子常数型、分母一次无常数，分子常数型、分母一次无常数，分子常数型()∫∫++→+dxxBAdxxBxAϕsin1cossin122()∫++→dxxBAϕcsc122特别的特别的特别的特别的，，，，若分母带常数也可以用此方法化为若分母带常数也可以用此方法化为若分母带常数也可以用此方法化为若分母带常数也可以用此方法化为1.1.21.1.21.1.21.1.2的形式的形式的形式的形式，，，，但是会但是会但是会但是会复杂一点，此时可以考虑万能代换了。复杂一点，此时可以考虑万能代换了。复杂一点，此时可以考虑万能代换了。复杂一点，此时可以考虑万能代换了。1.1.41.1.41.1.41.1.4、分母一次无常数，分子一次型、分母一次无常数，分子一次型、分母一次无常数，分子一次型、分母一次无常数，分子一次型()()∫∫++++→++dxxBxAxBxAjxBxAkdxxBxAxDxCcossin'cossincossincossincossin1.1.51.1.51.1.51.1.5、分母带常数括号平方，分子常数型、分母带常数括号平方，分子常数型、分母带常数括号平方，分子常数型、分母带常数括号平方，分子常数型()22222,sin1sincossin1BAAbBABadxxBAbdxxBAxadxxBA−=−=+++→+∫∫∫其中，左式凑微分，右式为左式凑微分，右式为左式凑微分，右式为左式凑微分，右式为1.1.21.1.21.1.21.1.2题型。题型。题型。题型。1.1.61.1.61.1.61.1.6连续几个一次项相乘型。连续几个一次项相乘型。连续几个一次项相乘型。连续几个一次项相乘型。如：如：如：如：∫xdxxx5sin3sinsin用积化和差公式拆开成多项相加，再逐项积分。用积化和差公式拆开成多项相加，再逐项积分。用积化和差公式拆开成多项相加，再逐项积分。用积化和差公式拆开成多项相加，再逐项积分。三个积化和差积化和差公式：三个积化和差积化和差公式：三个积化和差积化和差公式：三个积化和差积化和差公式：()()[]βαβαβα−++=sinsin21cossin()()[]βαβαβα−−−=coscos21sinsin()()[]βαβαβα−+−=coscos21coscos方法方法方法方法：：：：从右往左记从右往左记从右往左记从右往左记，，，，先想右边的展开式先想右边的展开式先想右边的展开式先想右边的展开式，，，，约掉的约掉约掉的约掉约掉的约掉约掉的约掉，，，，剩下的就是剩下的就是剩下的就是剩下的就是左边的式子了。左边的式子了。左边的式子了。左边的式子了。1.1.71.1.71.1.71.1.7有理代换有理代换有理代换有理代换当被积函数满足当被积函数满足当被积函数满足当被积函数满足：：：：()()()()θθθθθθθθcos,sincos,sin-cos,sincos,sinRRRR−=−=−或时时时时，，，，可以用可以用可以用可以用θθcossin==tt或如：如：如：如：()()()()()()∫∫∫⎥⎦⎤⎢⎣⎡−++++⎯⎯→⎯−++⎯⎯→⎯+=dtttttttdtdxxxxt118112145916-1145cos)sin45(1sin裂项1.1.81.1.81.1.81.1.8、其他灵活代换、其他灵活代换、其他灵活代换、其他灵活代换就比如，对于分母为仅含正余弦相乘时，分子为常数时，如就比如，对于分母为仅含正余弦相乘时，分子为常数时，如就比如，对于分母为仅含正余弦相乘时，分子为常数时，如就比如，对于分母为仅含正余弦相乘时，分子为常数时，如xx22cossin1时时时时，，，，可以把分子变成可以把分子变成可以把分子变成可以把分子变成xx22cossin+并拆开并拆开并拆开并拆开。。。。当当当当xxcossin和的次数之和为偶数时的次数之和为偶数时的次数之和为偶数时的次数之和为偶数时，，，，又可以想到分子分母同除以又可以想到分子分母同除以又可以想到分子分母同除以又可以想到分子分母同除以xncos，将分母化为正切，分子凑出，将分母化为正切，分子凑出，将分母化为正切，分子凑出，将分母化为正切，分子凑出xdtan如如如如xdxxdxxxdxxxtantan1tantanseccossin1243∫∫∫+→→当分子含有当分子含有当分子含有当分子含有时xxcossin，也可以想到，也可以想到，也可以想到，也可以想到()xxxxcossin21cossin2+=+，，，，或者对于或者对于或者对于或者对于xx44cossin+，有，有，有，有xxxxxx2244222cossin2cossin)cos(sin1++=+=。等。等。等。等等等等等……………………求解求解求解求解(1)(1)(1)(1)∫+dxxxxxcossincossin(2)(2)(2)(2)∫−+dxxxxx2244sincossincos1.21.21.21.2、正切正割型、正切正割型、正切正割型、正切正割型1.2.11.2.11.2.11.2.1、通常通过分子分母同乘上、通常通过分子分母同乘上、通常通过分子分母同乘上、通常通过分子分母同乘上xncos化为上化为上化为上化为上述正余弦型，不作详细介绍。述正余弦型，不作详细介绍。述正余弦型，不作详细介绍。述正余弦型，不作详细介绍。如如如如∫∫∫+−→+→+BxBAxddxxBxAxdxBxAx2222sin)(sincossincostansec1.2.21.2.21.2.21.2.2、分母正切一次带常数型、分母正切一次带常数型、分母正切一次带常数型、分母正切一次带常数型∫∫∫∫∫+−+−→++−→++−⎯⎯⎯⎯→⎯+−+−⎯⎯⎯→⎯+=−=tdtAAAdxAtAdxAtdxttAdxxAAxttan1111tantantantan1tantan1tantan1tan12221tanθθθθθθ得到其中令1.2.31.2.31.2.31.2.3、有理代换、有理代换、有理代换、有理代换当被积函数满足当被积函数满足当被积函数满足当被积函数满足()()θθθθcos,sincos,sinRR−=−−时时时时，，，，可可可可以用以用以用以用xttan=二、二、二、二、分式函数篇分式函数篇分式函数篇分式函数篇2.12.12.12.1、关于裂项（避免待定系数）、关于裂项（避免待定系数）、关于裂项（避免待定系数）、关于裂项（避免待定系数）逐项裂开即可逐项裂开即可逐项裂开即可逐项裂开即可()()()⎥⎦⎤⎢⎣⎡−−−−−−=−−−))((1))((111CxBxBxAxACCxBxAx若分母含有二次项则可以用如下方法：若分母含有二次项则可以用如下方法：若分母含有二次项则可以用如下方法：若分母含有二次项则可以用如下方法：()()()()()()⎥⎦⎤⎢⎣⎡+−−+⎟⎠⎞⎜⎝⎛+→++−+−+⎟⎠⎞⎜⎝⎛+→++AxBxBxBABxAxBxBxAxBABxAx222211))(()(112.22.22.22.2关于倒代换关于倒代换关于倒代换关于倒代换倒代换的好处是化简分母（分子复杂无关紧要倒代换的好处是化简分母（分子复杂无关紧要倒代换的好处是化简分母（分子复杂无关紧要倒代换的好处是化简分母（分子复杂无关紧要）））），以便于积分。对，以便于积分。对，以便于积分。对，以便于积分。对于形如于形如于形如于形如()dxcbxaxdxn∫++−21的积分，可作倒代换，令的积分，可作倒代换，令的积分，可作倒代换，令的积分，可作倒代换，令tdx1=−化简。化简。化简。化简。)12()12(21)2()1(1321142++−⎯⎯→⎯−+∫∫−=−uduxxux2.32.32.32.3有些时候有些时候有些时候有些时候，，，，不要一看到就分项不要一看到就分项不要一看到就分项不要一看到就分项，，，，多观察一下多观察一下多观察一下多观察一下。。