必修4平面向量数量积考点归纳

“平面向量”误区警示“平面向量”概念繁多容易混淆，对于初学者更是一头雾水．现将与平面向量基本概念相关的误区整理如下．⑴向量就是有向线段解析：向量常用一条有向线段来表示，有向线段的长度表示向量的大小，箭头所指的方向表示向量的方向．有向线段是向量的一种表示方法，不能说向量就是有向线段．⑵若向量AB与CD相等，则有向线段AB与CD重合解析：长度相等且方向相同的向量叫做相等向量．因此，若AB＝CD，则有向线段AB与CD长度相等且方向相同，但它们可以不重合．⑶若向量AB∥CD，则线段AB∥CD解析：方向相同或相反的非零向量叫做平行向量．故由AB与CD平行，只能得到线段AB与CD方向相同或相反，它们可能平行也可能共线．⑷若向量AB与CD共线，则线段AB与CD共线解析：平行向量也叫做共线向量，共线向量就是方向相同或相反的非零向量．故由AB与CD共线，只能得到线段AB与CD方向相同或相反，它们可能平行也可能共线．⑸若a∥b，b∥c，则a∥c解析：由于零向量与任一向量平行，故当b＝0时，向量a、c不一定平行．当且仅当a、b、c都为非零向量时，才有a∥c．⑹若|a|＝|b|，则a＝b或a＝－b解析：由|a|＝|b|，只能确定向量a与b的长度相等，不能确定其方向有何关系．当a与b不共线时，a＝b或a＝－b都不能成立．⑺单位向量都相等解析：长度等于一个长度单位的向量叫做单位向量，由于单位向量的方向不一定相同，故单位向量也不一定相等．⑻若|a|＝0，则a＝0解析：向量和实数是两个截然不同的概念，向量组成的集合与实数集合的交集是空集．故若|a|＝0，则a＝0，不能够说a＝0．平面向量数量积四大考点解析考点一.考查概念型问题例1.已知a、b、c是三个非零向量，则下列命题中真命题的个数()⑴baabba//;⑵ba,反向baab⑶bababa;⑷a=bbacbA.1B.2C.3D.4评注：两向量同向时，夹角为0(或0°)；而反向时，夹角为π(或180°)；两向量垂直时，夹角为90°，因此当两向量共线时，夹角为0或π，反过来若两向量的夹角为0或π，则两向量共线.考点二、考查求模问题例2.已知向量kba,5,2,2，若ba不超过5，则k的取值范围是__________。评注：本题是已知模的逆向题，运用定义即可求参数的取值范围。例3.（1）已知ba,均为单位向量，它们的夹角为60°,那么ba3＝（）A.7B.10C.13D.4（2）已知向量sin,cosa，向量1,3b，则ba2的最大值是___________。评注：模的问题采用平方法能使过程简化。考点三、考查求角问题例4.已知向量a+3b垂直于向量7a-5b，向量a-4b垂直于向量7a-2b，求向量a与b的夹角.练习一：数量积（内积）的意义及运算1．已知向量||4a，e为单位向量，当它们之间的夹角为3时，a在e方向上的投影与e在a方向上的投影分别为（）Ａ．3232　，　Ｂ．122　，　Ｃ．3232　，　Ｄ．122　，　练习目的：区别a在e方向上的投影与e在a方向上的投影，达到正确理解投影的概念．2．在边长为2的等边ABC中，ABBC的值是（）．Ａ．２Ｂ．－２Ｃ．４Ｄ．－４练习目的：结合图形１，根据投影的意义，理解ABBC的几何意义．3．已知||3,||2,baba与的夹角为60，c=35,3abdmab.(1)求||ab的值；(2)当m为何值时，dc与垂直？练习目的：结合以前所学向量垂直的等价关系，类比数量积的运算与实数多项式的运算关系，达到巩固数量积的运算目的．图1ＡＢＣ练习二：数量积的坐标运算、模及夹角4．直角坐标系xOy中，ij，分别是与xy，轴正方向同向的单位向量．在直角三角形ABC中，若2,3ABijACikj，则k的可能值个数是（）Ａ．1Ｂ．2Ｃ．3Ｄ．4练习目的：结合向量垂直的等价关系，练习数量积的坐标运算，体会分类讨论的数学思想方法．5.已知向量||2a，||23b，(23,2)ab求（1）||ab；（2）ab与ab的夹角练习目的：巩固平面向量的模以及夹角公式，类比向量的运算与实数多项式的运算的关系．6．设向量,ab满足||2,||1ab，,ab的夹角为60，若向量27tab与向量atb夹角为钝角，求实数t的取值范围。练习目的：综合运用向量的数量积、夹角公式以及向量共线的条件解题，在解题时要特别注意特殊情况，才能不遗漏地正确解题．练习三．平面向量的综合应用7．（1）已知ABC中，,ABaBCb，Ｂ是ABC中的最大角，若0ab，则ABC的形状为__________.练习目的：体会应用平面向量的夹角公式判断三角形的形状．平面向量巩固检测1新疆源头学子小屋特级教师王新敞@[e-mail]王新敞特级教师源头学子小屋新疆已知(cos,sin)a，(cos,sin)b，其中0新疆源头学子小屋特级教师王新敞@[e-mail]王新敞特级教师源头学子小屋新疆(1)求证：ab与ab互相垂直；(2)若kab与akb的长度相等，求的值(k为非零的常数)新疆源头学子小屋特级教师王新敞@[e-mail]王新敞特级教师源头学子小屋新疆2．已知a、b是两个不共线的向量，且a=（cos，sin）,b=（cos，sin）（Ⅰ）求证：a+b与a－b垂直；（Ⅱ）若∈（4,4），=4，且|a+b|=516，求sin.3．设12121211222，32，其中且1.aeebeeeeeeee(1)计算||的值；ab（2）当为何值时与3互相垂直？kkabab4．已知向量a→＝(cos32x，sin32x)，b→＝(cosx2，－sinx2)，其中x∈[0，π2](1)求a→·b→及|a→＋b→|；(2)若f(x)＝a→·b→－2λ|a→＋b→|的最小值为－32，求λ的值平面向量数量积四大考点解析考点一.考查概念型问题例1.已知a、b、c是三个非零向量，则下列命题中真命题的个数()⑴baabba//;⑵ba,反向baab⑶bababa;⑷a=bbacbA.1B.2C.3D.4分析：需对以上四个命题逐一判断，依据有两条，一仍是向量数量积的定义；二是向量加法与减法的平行四边形法则.解：(1)∵a·b=｜a｜·｜b｜cosθ∴由｜a·b｜＝｜a｜·｜b｜及a、b为非零向量可得｜cosθ｜=1∴θ=0或π，∴a∥b且以上各步均可逆，故命题(1)是真命题.(2)若a,b反向，则a、b的夹有为π，∴a·b=｜a｜·｜b｜cosπ=-｜a｜·｜b｜且以上各步可逆，故命题(2)是真命题.(3)当a⊥b时，将向量a，b的起点确定在同一点，则以向量a，b为邻边作平行四边形，则该平行四边形必为矩形，于是它的两对角线长相等，即有｜a+b｜＝｜a-b｜.反过来，若｜a+b｜＝｜a-b｜,则以a，b为邻边的四边形为矩形，所以有a⊥b，因此命题(3)是真命题.(4)当｜a｜＝｜b｜但a与c的夹角和b与c的夹角不等时，就有｜a·c｜≠｜b·c｜，反过来由｜a·｜c｜＝｜b·c｜也推不出｜a｜＝｜b｜.故(4)是假命题.综上所述，在四个命题中，前3个是真命题，而第4个是假命题，应选择(C).评注：两向量同向时，夹角为0(或0°)；而反向时，夹角为π(或180°)；两向量垂直时，夹角为90°，因此当两向量共线时，夹角为0或π，反过来若两向量的夹角为0或π，则两向量共线.考点二、考查求模问题例2.已知向量kba,5,2,2，若ba不超过5，则k的取值范围是__________。分析：若yxa,则222yxa，或22yxa，对于求模有时还运用平方法。解：由kba2,3，又5ba，由模的定义，得：25292k解得：26k，故填2,6。评注：本题是已知模的逆向题，运用定义即可求参数的取值范围。例3.（1）已知ba,均为单位向量，它们的夹角为60°,那么ba3＝（）A.7B.10C.13D.4（2）已知向量sin,cosa，向量1,3b，则ba2的最大值是___________。解：（1）13931960cos63222bbaaba所以133ba，故选C。（2）由题意，知2,1ba,3sin2ba又163sin88442222bbaaba则ba2的最大值为4。评注：模的问题采用平方法能使过程简化。考点三、考查求角问题例4.已知向量a+3b垂直于向量7a-5b，向量a-4b垂直于向量7a-2b，求向量a与b的夹角.分析：要求a与b的夹角，首先要求出a与b的夹角的余弦值，即要求出｜a｜及｜b｜、a·b，而本题中很难求出｜a｜、｜b｜及a·b，但由公式cosθ=baba可知，若能把a·b，｜a｜及｜b｜中的两个用另一个表示出来，即可求出余弦值，从而可求得a与b的夹角θ.解：设a与b的夹角为θ.∵a+3b垂直于向量7a-5b，a-4b垂直于7a-2b，02740573babababa即083070151672222bbaabbaa解之得b2=2a·ba2=2a·b∴a2=b2∴｜a｜＝｜b｜∴cosθ=baba=bab221=21∴θ=3因此a与b的夹角为3.练习一：数量积（内积）的意义及运算1．已知向量||4a，e为单位向量，当它们之间的夹角为3时，a在e方向上的投影与e在a方向上的投影分别为（）Ａ．3232　，　Ｂ．122　，　Ｃ．3232　，　Ｄ．122　，　1．答案B解答：a在e方向上的投影1||cos422a3e在a方向上的投影11||cos122e3练习目的：区别a在e方向上的投影与e在a方向上的投影，达到正确理解投影的概念．2．在边长为2的等边ABC中，ABBC的值是（）．Ａ．２Ｂ．－２Ｃ．４Ｄ．－４2．答案Ｂ解答：由平面向量数量积公式得：ABBC＝||||120ABBCCOS＝122()22因此ABBC的值为－２．图1ＡＢＣ练习目的：结合图形１，根据投影的意义，理解ABBC的几何意义．3．已知||3,||2,baba与的夹角为60，c=35,3abdmab.(1)求||ab的值(2)当m为何值时，dc与垂直？3．解答1(1)||||cos60323.2abab22222||||||2322319ababab所以||ab19＝(2)由dc与垂直，得d0c，即(35)(3)0abmab223||15||950mababmab①又因为||3,||2,baba与的夹角为60所以ab1||||cos603232ab代入①得2914m因此当2914m时，dc与垂直.练习目的：结合以前所学向量垂直的等价关系，类比数量积的运算与实数多项式的运算关系，达到巩固数量积的运算目的．练习二：数量积的坐标运算、模及夹角4．直角坐标系xOy中，ij，分别是与xy，轴正方向同向的单位向量．在直角三角形ABC中，若2,3ABijACikj，则k的可能值个数是（）Ａ．1Ｂ．2Ｃ．3Ｄ．44．答案B提示：由