二重积分的计算法

*三、二重积分的换元法第二节一、利用直角坐标计算二重积分二、利用极坐标计算二重积分机动目录上页下页返回结束二重积分的计算法第九章一、利用直角坐标计算二重积分•二重积分定义为积分和式的极限．如果直接用二重积分的定义去计算它的值，是相当困难的，甚至是不可能的.•下面我们根据二重积分的几何意义—曲顶柱体的体积来导出二重积分的计算方法.•这个方法就是把二重积分的计算转化为接连计算两次定积分，即二次积分.xA(x)dV=A(x)dxx已知平行截面面积为A(x)的立体baxxAVd)(.aV复习：平行截面面积为已知的立体的体积b二重积分的计算(D是矩形区域)y0xzyabcdDD是矩形区域[a,b;c,d]z=f(x,y)Dyxy,xfId)d(dycbxayxD),(y0xzyabcdDD是矩形区域z=f(x,y)baxyxfyQ)d,()()(yQyyyxfz),(问题：Q(y)是什么图形？是曲边梯形。Dyxy,xfId)d(.二重积分的计算(D是矩形区域).dcyyQI)d(dycbxayxD),(0xzyyabcdDyxyxfdcbad)d,(.baxy,xf)d(Q(y)=dcyyQI)d(同理，也可以先对y积分xyyxfIbadcdd),(.Dyxy,xfId)d(z=f(x,y)D是矩形区域[a,b;c,d]二重积分的计算(D是矩形区域)0xzycdDz=f(x,y)x=(y)x=(y)yD:(y)x(y)cyd二重积分的计算（D是曲线梯形区域）Dyxy,xfId)d(0xzycdDz=f(x,y)x=(y)x=(y))(yQ.y问题：Q(y)是什么图形？D:(y)x(y)cydyyyxfz),(也是曲边梯形!Dyxy,xfId)d(.)()()d,(yψyφxyxfQ(y)dcyyQ)d(I=二重积分的计算（D是曲线梯形区域）.0xzyx=(y)ycdDyxyxfdcyyd)d,()()(.D:(y)x(y)cyd.Dyxy,xfId)d()()()d,(yψyφxyxfdcyyQI)d(Q(y)=二重积分的计算（D是曲线梯形区域）x=(y)z=f(x,y)如果积分区域为：,bxa).()(21xyx其中函数、在区间上连续.)(1x)(2x],[ba直角坐标系下计算二重积分［X－型］)(2xyabD)(1xyDba)(2xy)(1xy设函数在区域上连续,且当时，如果区域是由直线，与曲线所围成(X型区域),如下图,即12:,()()Daxbxyx(,)zfxy(,)xyD(,)0fxyDxaxb12(),()yxyxDxyoba1()yx2()yxxxoba1()yxxy2()yxxyoba1()yx2()yxx若D是X型区域，则积分先Y后X。21()()(,)(,)(,)bxaxDDfxydfxydxdyfxydydxxzyoabx()Ax2()yx1()yx21()()(,)(,)bxaxDfxydxdydxfxydy通常写成xyoba1()yx2()yxx21()()(,)(,)bxaxDfxydxdydxfxydy把计算二重积分的问题化为计算两次定积分的问题。21()()()(,)xxAxfxydyx看作是常量，y是积分变量；这是先对，后对的两次积分(适合于型区域).yxX第二次积分时计算x是积分变量.,d)(baxxA,bxa).()(21xyx第一次计算定积分D：如果积分区域为：,dyc).()(21yxy［Y－型］)(2yx)(1yxDcdcd)(2yx)(1yxD12:()()Dcydyxy类似地，如果D是Y型区域,可用垂直于轴的平面去截曲顶柱体,此时D为y21()()(,)(,)dycyDfxydxdydyfxydx这是先对，后对的两次积分.xycdyyox2()xy1()xycdyyox2()xy1()xy如果去掉以上结论中关于的限制，则上述结论仍是成立的.(,)0,(,)zfxyxyD几点说明：:,Daxbcyd(,)(,)(,)bddbaccaDfxydxdydxfxydydyfxydx则（ⅰ）若区域D是一个矩形，:,Daxbcyd（ⅱ）若函数可积，且且12(,)()()fxyfxfy（ⅲ）上面所讨论的积分区域D是X型或Y型区域。则12(,)()()bdacDfxydxdyfxdxfydy11110000111224xydxdyxdxydy例如x0y若不满足这个条件,可将D分块.再应用积分的分域可加性来计算.D1D2D3由于二重积分归结于计算两个定积分,因此计算重积分本身没有新困难,对于初学者来说,感到困难的是如何根据区域D去确定两次积分的上、下限.xyoba1()yx2()yxx定限法则:就型区域而言X后积先定限,域内穿射线,先交为下限,后交为上限.如右图建议：先将区域D的图形画出，再写出区域D上的点的坐标所要满足的不等式以确定积分的上、下限.xy1例1改变积分xdyyxfdx1010),(的次序.原式ydxyxfdy1010),(.解：积分区域如图如果积分区域既是X-型又是Y-型的，则重积分既可以转化为先对x后对y的，也可以转化为先y后x的二次积分（累次积分）xy222xxy例2改变积分xxxdyyxfdxdyyxfdx20212010),(),(2的次序.原式102112),(yydxyxfdy.解：积分区域如图:22,11.Dxy143DxydxdyD例1计算二重积分,其中为矩形：21212221122222114343()(2)462(2)84Dxyxydxdydxdyxyyxydxdxxx解1先积再积yx解2先积再积yx2121221212111111()43438342(4)(4)833Dxyxyxxydxdydydxxdyyydyy例2计算二重积分,其中区域为矩形：xyDedxdyD:01,12Dxyxyxyeee1212010122()()(1)()(1)xyxyxyDedxdyedxedyeeeeeee解因为,所以或先积再积12121010121211003222()()()()(1)xyxyxyDxxxxedxdydxedyedxeedxeeeeeeeeyx解：椭圆区域可表示为22:0,01xDxaybaayoxb因此22100xabaDxydxdydxxydy24222211()2248aababa22201(1)2axbxdxa242021()224axxba例3计算二重积分.其中积分区域D为四分之一椭圆。Dxydxdy)0,0(12222yxbyax例4计算二重积分,其中是由三条线所围成的区域.(6)DxydxdyD,5,1yxyxx5yxyx1x解易知积分区域可表为:01,5Dxxyx1207676.3xdx于是(6)Dxydxdy1250(3)xxxyydx150(6)xxdxxydyyxxyDdd||2其中.11,20),(xyyxD例2.3计算二重积分解：先画出区域D的图形，因为,,,,22222时当时当xyyxxyxyxyxyO-11D1D2yxyxyxxyyxxyDDDdddddd||21222yyxxyxyxxxdddd2202112211352d32d)2(3211311232xxxx例5.计算,dDyx其中D是抛物线所围成的闭区域.解:为计算简便,先对x后对y积分,:DxyxdDyxd21dy212221d2yyxyy2152d])2([21yyyyDxy22xy214oyxy22yxy21y2y2y及直线则机动目录上页下页返回结束例6.计算,ddsinDyxxx其中D是直线所围成的闭区域.oxyDxxy解:由被积函数可知,因此取D为X–型域:xxyD00:Dyxxxddsinxy0d0dsinxx20dsinxxx先对x积分不行,说明:有些二次积分为了积分方便,还需交换积分顺序.机动目录上页下页返回结束例7.交换下列积分顺序22802222020d),(dd),(dxxyyxfxyyxfxI解:积分域由两部分组成:,200:2211xxyD822yx2D22yxo21D221xy222280:22xxyD21DDD将:D视为Y–型区域,则282yxy20yDyxyxfIdd),(282d),(yyxyxf20dy机动目录上页下页返回结束例8.计算其中D由,42xy1,3xxy所围成.oyx124xyxy32D1D1x解:令)1ln(),(2yyxyxf21DDD(如图所示)显然,,1上在D),(),(yxfyxf,2上在D),(),(yxfyxfyxyyxIDdd)1ln(120yxyyxDdd)1ln(224机动目录上页下页返回结束例4求Ddxdyyx)(2，其中D是由抛物线2xy和2yx所围平面闭区域.解：两曲线的交点),1,1(,)0,0(22yxxyDdxdyyx)(21022)(xxdyyxdxdxxxxxx)](21)([42102.140332xy2yx2xy2yx例5求Dydxdyex22，其中D是以),1,1(),0,0()1,0(为顶点的三角形.dyey2无法用初等函数表示解：积分时必须考虑次序Dydxdyex22yydxexdy02102dyyey10332210262dyyey).21(61e二重积分在直角坐标下的计算公式（在积分中要正确选择积分次序）二、小结.),(),()()(21Dbaxxdyyxfdxdyxf.),(),()()(21Ddcyydxyxfdydyxf［Y－型］［X－型］21DD:之间的环域和412222yxyx4321DDDDI.怎么计算？Dyxy,xfId)d(需使用极坐标系！此题用直角系算麻烦必须把D分块儿!0yxD4D3D1D222xyDedxdy22:1Dxy所以，用若直角坐标来计算，无法求出例如，计算二重积分dyey2无法用初等函数表示需使用极坐标系！积分的变量代换是计算积分的一个有效方法,对二重积分也有类似的方法.在这类方法中极坐标变换cos,sinxryr最为常用.下面介绍怎样利用极坐标变换来计算二重积分.在二重积分的计算中,如果积分域是圆域或部分圆域,被积函数为形式,利用极坐标变换来计算二重积分会十分方便.22(),