基于冗余偏好关系的决策方法探讨

科研项目：国家杰出青年科学基金（70525004）；国家自然科学基金（70121001，70471035）基于广义Fuzzy偏好关系的决策方法探讨董玉成1，徐寅峰1,2（1.西安交通大学管理学院；2.机械制造系统工程国家重点实验室）摘要：本文提出了广义模糊偏好关系的概念。设计了互补化排序和加性一致化排序两种排序方法，讨论了两种排序方法的相关性质。基于这两种排序方法，定义了冗余一致性指标和加性一致性指标，并讨论了采用加权算术平均算子（WAA算子）或有序加权平均算子（OWA算子）对广义模糊偏好关系进行集结，其群体偏好一致性（包括冗余一致性和加性一致性）的相关性质。本文结果对进一步完善基于模糊偏好关系的群决策模型具有理论和现实意义。关键词：广义模糊偏好关系；排序方法；冗余一致；加性一致；信息集成算子中图分类号：C934文献标识码：AStudyondecisionmakingusinggeneralizedfuzzypreferencerelationsAbstract:Thispaperfirstintroducestheconceptofgeneralizedfuzzypreferencerelationsanddesignstwomethodstoobtaintheprioritiesvectorfromthem.Moreover,wediscussdesiredpropertiesonthesetwoprioritymethods.Atlast,wegivesomeresultsonredundancyconsistencyandadditiveconsistencyofthecollectivepreferencerelationaggregatedbyweightedaveragingoperatorororderedweightedaveragingoperator.TheseresultsareveryimportantforGDMwithfuzzypreferencerelations.Keywords:generalizedfuzzypreferencerelations;prioritymethod;redundancyconsistency;additiveconsistency;informationaggregationoperator.1引言偏好关系又称判断矩阵，在多属性决策中被广泛研究。模糊互补偏好关系是最常见的偏好关系[1-8]。当决策者在某准则下对n个方案进行两两比较构造一个典型的模糊互补偏好关系时，一般需要经过(1)/2nn次判断。然而决策者有时可能对某些比较判断缺少把握或不想发表意见，这样就会使偏好关系中的某些项出现空缺，对这类偏好关系一般称为残缺互补偏好关系[8-9]。另一方面，决策者也可能作出多达2n次比较判断，这样就出现了冗余判断，使模糊互补偏好关系失去互补性,我们称这种偏好关系为广义模糊偏好关系。这一新概念引入是基于如下理由：1）有些学者[10-11]在AHP的研究中，认为放弃乘性偏好关系的互反性是合理的，比如在一场球赛中，球队A击败了球队B，但是球队B同样可以击败了球队A，这种情形在现实生活中的成对比较判断里很常见。这些研究和分析也完全适合模糊互补偏好关系，它为我们引入广义模糊偏好关系提供了理论支持。2）在采用一些最常见信息集成算子对模糊互补偏好关系进行集成时，无法保证集成的群体偏好关系的互补性。比如采用有序加权平均算子（OWA）[12]对模糊互补偏好关系进行集成后，无法保证集成的群体偏好关系是互补的[13]。因此，讨论从广义模糊偏好关系中发展权向量就有了必要性，而这些排序方法也能应用于Chiclana等提出的模糊多人决策模型[13-16]。本文的主要目的是对基于广义模糊偏好关系的决策方法进行探讨。文章给出了广义模糊偏好关系排序的两种方法；定义了广义模糊偏好关系的冗余一致性和加性一致性，并研究采用加权算术平均算子（WAA）或有序加权平均算子（OWA）对广义模糊偏好关系进行集成，其群体偏好一致性（包括冗余一致性和加性一致性）的相关性质。本文研究对进一步完善基于模糊偏好关系的群决策模型具有理论和现实意义。22广义模糊偏好关系排序方法2.1广义模糊偏好关系的互补化排序为了叙述方便先给出几个定义：定义1令()ijnnAa是一矩阵，若对任意,1,2,...,ijn有01ija，则称A为模糊矩阵[17]。本文定义为广义模糊偏好关系。定义2[6，7]令()ijnnAa是一矩阵，若对任意,1,2,...,ijn有01,1ijijjiaaa，则称A为模糊互补偏好关系(或称为互补模糊偏好关系)。令1nM是n阶广义模糊偏好关系集合，2nM是n阶模糊互补偏好关系集合，由定义知21nnMM。为了通过广义模糊偏好关系对方案进行排序，从中发展权向量，一个直观的方法是采用模糊互补偏好关系去贴近广义模糊偏好关系，然后借助有关模糊互补偏好关系的排序方法[6-8]，最终获取权向量。本文采用欧氏距离定义两矩阵()ijnnAa和()ijnnBb的贴近程度，即：2111,nnijijjidABabn。那么这种方法可归纳为寻找一最贴近的模糊互补偏好关系。数学模型如下：设1()ijnnnAaM，2()ijnnnXxM。令222*111()min,minnnnnijijXMXMjifXdAXaxn（1）其中，*X即为A最贴近模糊互补偏好关系。通过模糊互补偏好关系的排序方法[6-8]（本文采用最小方差法，具体见文献[7]）对*X进行排序，其排序向量可以近似作为A的排序向量。定理1设1()ijnnnAaM，**2()ijnnnXxM为A最贴近模糊互补偏好关系，那么*1/2ijijjixaa。证明：（1）等价如下优化问题22*21111()min().1,1,2,...,ijnnnijijjijiiiiixjiiiijjifXaxaxaxnstxxijn（2）（2）等价于（3）22*2111()min1(1/2)ijnnnijijjiijiixjiiifXaxaxa（3）令/0ijfx得**10ijijjiijaxax，,1,2,...,ijn，化简得*1/2ijijjixaa（4）令121{(,,...,)|1,0}nTnniiiQ，令12,,...,Tnn为采用最小方差法排序公式[7]对*X进行排序的权向量，那么3*1112niijjnwxn（5）把（4）代入（5）得1111122niijjijnwaan（6）把12,,...,Tn近似作为A的排序权向量，我们称该排序方法为广义模糊偏好关系互补化排序。2.2广义模糊偏好关系的加性一致化排序定义3令()ijnnAa是一模糊互补偏好关系，若对任意,1,2,...,ijn有0.5ijikjkaaa，则称A是加性一致模糊互补偏好关系。令3nM是n阶加性一致模糊互补偏好关系集合，由定义知321nnnMMM。在这一节，我们考虑通过寻找一个最贴近广义模糊偏好关系的加性一致模糊互补偏好关系，从而直接获取权向量。数学模型如下：设1()ijnnnAaM，3()ijnnnYyM，令332*111()min,minnnnnijijYMYMjifYdAYayn（7）称*Y为A的最贴近加性一致模糊互补偏好关系。令121{(,,...,)|1,0}nTnniiiQ，记12,,...,Tnn为Y对应的权向量。因为Y是模糊加性一致偏好关系，我们有[6-8]0.5ijijyww（8）由（8）代入（7）有2*111()min0.5nnijijwQjifwawwn（9）称*w为A的排序向量。定理2设1()ijnnnAaM。**3()ijnnnYyM为A的最贴近模糊互补偏好关系，****12,,...,TnnQ为采用加性一致化排序方法获取的权向量。那么*112nijikjkknyaan，*11111/nnniijijjijwaann。证明：（9）等价如下优化问题42111()min0.5.1nnijijwijniifwawwstw（10）构造拉格朗日函数1,()1niiLwfww，令/0iLw，/0L得**120.501,2,...,nijijjawwin（11）*110niiw（12）联立（11）（12）得*11111/nnniijijjijwaann（13）联立（8）（13）得*112nijikjkknyaan（14）3进一步讨论3.1两种排序方法的相关性质一种广义模糊偏好关系的排序方法可以看作由1nM到nQ的一个映射,记为()wA。并称w是广义模糊偏好关系A的排序向量。下面讨论两种排序方法的一些性质。定理3当()ijnnAa是模糊互补偏好关系（即2nAM）时，本文两种排序方法（公式（6）和公式（13））等价于模糊互补偏好关系排序的最小方差法。证明：因为2()ijnnnAaM，所以1ijjiaa，2112nnijijna，把这两式分别代入（6）和（13），都可得1112nijjnwan，这即为模糊互补偏好关系的最小方差法排序公式。得证。定理3显示本文两种排序方法是广义最小方差排序法。定义4一种排序方法称为强条件下保序的，如果对任意1,2,...,km，有ikjkaa和kikjaa，则ijww,且当前者所有等式成立时,有ijww。定义4推广了模糊互补偏好关系强条件保序的概念。定理4将证明两种排序方法是强条件保序的。定理4广义模糊偏好关系互补化排序方法（公式（6））和加性一致化排序方法（公式（13））是强条件下保序的。证明：对任意1,2,...,km，有ikjkaa和kikjaa，将其代入（6）或者（13），有ijww,且当前5者所有等式成立时,有ijww。所以得证。类似模糊互补偏好关系，定义广义模糊偏好关系排序方法的置换不变性。定义5设是一种排序方法，A是任一个给定的广义模糊偏好关系，记A的排序权向量为wA。如果对于任一置换不变矩阵P,均有TPwAPA，则称这种排序方法是置换不变的。定理5广义模糊偏好关系互补化排序（公式（6））和加性一致化排序（公式（13））是置换不变的。证明：设1()ijnnnAaM，且设P是置换不变矩阵，()TijnnBbPAP。令12(,,...,)Tn，12(,,...,)Tnvvvv分别是A和B在公式（6）下的排序向量,经置换后,A的第i行成了B的第l行,A的第i列成了B的第l列,因此111111112222nnijjiljjliljjaabbnnwvnn类似若12(,,...,)Tn，12(,,...,)Tnvvvv分别是A和B在公式（9）下的排序向量，则有111111111/1/nnnnnniijijljijljijjijwaanbbnvnn所以两种排序方法具有置换不变