高三数学棱柱和棱锥的概念和性质

第六节棱柱、棱锥的概念和性质考纲点击1.了解棱柱的概念，掌握棱柱的性质，会画直棱柱的直观图.2.了解棱锥的概念，掌握正棱锥的性质，会画正棱锥的直观图.热点提示1.以客观题考查棱柱、棱锥的概念和性质.2.以棱柱、棱锥为载体的解答题综合考查线面位置关系以及角、距离的求法.•1．棱柱•(1)定义•如果一个多面体有两个面互相平行，其余______两个面的交线互相平行，这样的多面体叫做棱柱．•(2)分类•分类方法有两种：•①按_________可分为：三棱柱、四棱柱、五棱柱等；每相邻底面边数②按__________是否垂直分为：直棱柱、斜棱柱，直棱柱又可按底面是不是正多边形分为：正棱柱、其他直棱柱．(3)特殊的四棱柱四棱柱――――――――→底面是平行四边形____________――――――→侧棱与底面垂直直平行六面体―――――→底面是矩形______――――――→底面是正方形正四棱柱―――――→棱长都相等______侧棱与底面平行六面体长方体正方体•(4)长方体对角线的性质•长方体一条对角线的平方等于一个顶点上三条棱长的______．•(5)棱柱的性质•①棱柱的各个侧面都是___________，所有侧棱都相等；直棱柱的各个侧面都是_____；正棱柱的各个侧面是全等的矩形．•②棱柱的两个底面与平行于底面的截面是对应边互相平行的___________．•③过棱柱不相邻的两条侧棱的截面都是___________．平方和平行四边形矩形全等多边形平行四边形•2．棱锥•(1)定义：如果一个多面体的一个面是多边形，其余各面是有____________的三角形，那么这个多面体叫做棱锥．•(2)棱锥的性质定理•如果棱锥被平行于底面的平面所截，那么所得的截面与底面____，截面面积与底面面积的比等于顶点到截面距离与棱锥高的平方比．一个公共顶点相似•(3)正棱锥：如果一个棱锥的底面是正多边形，并且顶点在底面的射影是底面的_____，这样的棱锥叫做正棱锥．有如下性质：•①正棱锥各侧棱相等，各侧面都是全等的等腰三角形，各等腰三角形底边上的高_____．•②正棱锥的高、斜高和斜高在底面内的射影组成一个____________，正棱锥的高、侧棱、侧棱在底面内的射影也组成一个___________．中心相等直角三角形直角三角形•1．棱柱成为直棱柱的一个必要非充分条件是()•A．棱柱有一条侧棱和底面垂直•B．棱柱有一条侧棱和底面的两边垂直•C．棱柱有一个侧面和底面的一条边垂直•D．棱柱有一个侧面是矩形且和底面垂直•【解析】A是充要条件；C是非必要条件；D是充要条件．•∴正确答案是B.•【答案】B•2．棱锥的侧棱都相等，所有的侧面上的高也相等，则这个棱锥的底面是()•A．直角三角形B．菱形•C．正多边形D．矩形•【解析】由侧棱相等知顶点在底面上的射影为底面多边形的外心，又侧面上高都相等知顶点在底面上的射影为底面多边形的内心，因此底面为正多边形．•【答案】C•3．一个三棱锥，如果它的底面是直角三角形，那么它的三个侧面()•A．必然都是非直角三角形•B．至多只能有一个是直角三角形•C．至多只能有两个是直角三角形•D．可能都是直角三角形•【解析】例如三棱锥P—ABC中，若PA⊥面ABC，∠ABC＝90°，则四个侧面均为直角三角形．•【答案】D4．一个正四棱柱的各个顶点在一个直径为2cm的球面上，如果正四棱柱的底面边长为1cm，那么该棱柱的表面积为________cm2.【解析】设正四棱柱高为h，则h2＋12＋12＝2，∴h2＝2，h＝2，∴表面积S＝2×1×4＋1×1×2＝2＋42.【答案】2＋425．若正四棱锥的底面边长为23cm，体积为4cm3，则它的侧面与底面所成的二面角的大小是________．【解析】(1)如图所示，作BC边中点M，∵△VBC为等腰三角形，∴VM⊥BC，过V作VO⊥底面ABCD，∴VO⊥MO，MO⊥BC，∴∠VMO为其侧面与底面所成二面角的平面角．∵V锥＝13SABCD·VO，∴4＝13·(23)2·VO，∴VO＝1.又∵OM＝232＝3，VO⊥MO，∴∠VMO＝30°，∴侧面与底面所成的二面角为30°.【答案】30°棱柱、棱锥的概念与性质•如果四棱锥的四条侧棱长都相等，就称它为“等腰四棱锥”，四条侧棱称为它的腰，以下5个命题中：•①等腰四棱锥的腰与底面所成的角都相等；•②等腰四棱锥的侧面与底面所成的二面角都相等或互补；•③底面四边形存在外接圆的四棱锥是等腰四棱锥；•④底面是正方形的四棱锥是等腰四棱锥；•⑤等腰四棱锥的各顶点必在同一球面上．•其中真命题为________(写出所有真命题的序号)．•【思路点拨】根据定义进行判断•【自主解答】①真．因为“等腰四棱锥”四条侧棱长都相等，故在底面上的射影长也相等，即顶点在底面上的射影是底面四边形外接圆的圆心，所以腰与底面所成的角都相等；•②假．如当底面是矩形(不是正方形)时，且顶点在底面上的射影是底面中心时，这个四棱锥是“等腰四棱锥”，但它的侧面与底面所成的二面角显然不都相等或互补．故是假命题．•③假．如当底面是正方形时，底面四边形存在外接圆，但顶点在底面上的射影不是底面中心时，这个四棱锥显然不是“等腰四棱锥”；•④假．理由同③；•⑤真．因为由①知底面存在外接圆，故等腰四棱锥的各顶点必在同一球面上，球心在该棱锥的高上．故填①⑤.•【答案】①⑤•本题要注意“等腰四棱锥”的定义，并会研究其简单的性质与判定方法．掌握“侧棱都相等，则侧棱与底面所成的角都相等”，“侧棱都相等，则底面多边形有外接圆”，“棱锥各侧面三角形的高相等，且顶点在底面上的射影在底面多边形内，则侧面与底面所成的角都相等”等一些常用结论．•[教师选讲]下面是关于四棱柱的四个命题：•①若有两个侧面垂直于底面，则该四棱柱为直四棱柱；•②若两个过相对侧棱的截面都垂直于底面，则该四棱柱为直四棱柱；•③若四个侧面两两全等，则该四棱柱为直四棱柱；•④若四棱柱的四条对角线两两相等，则该四棱柱为直四棱柱．•其中，真命题的编号是________．(写出所有真命题的编号)•【解析】①错，必须是两个相邻的侧面．②正确．③错，可以是一个斜四棱柱．④正确，对角线两两相等，则此两对对角线组成的平行四边形为矩形．•【答案】②④棱柱、棱锥中的平行与垂直如图所示，在直三棱柱ABC—A1B1C1中，∠ACB＝90°，AB＝2，BC＝1，AA1＝3.(1)证明：A1C⊥平面AB1C1；(2)若D是棱CC1的中点，在棱AB上是否存在一点E，使DE∥平面AB1C1？证明你的结论．•【思路点拨】(1)充分挖掘已知条件，利用线面垂直的判定定理；•(2)利用线面平行的判定定理或面面平行的性质定理．【自主解答】(1)证明：因为∠ACB＝90°，所以BC⊥AC.因为三棱柱ABC—A1B1C1为直三棱柱，所以BC⊥CC1，因为AC∩CC1＝C，所以BC⊥平面ACC1A1.因为A1C⊂平面ACC1A1，所以BC⊥A1C.因为BC∥B1C1，所以B1C1⊥A1C.在Rt△ABC中，AB＝2，BC＝1，所以AC＝3.因为AA1＝3，所以四边形ACC1A1为正方形．所以A1C⊥AC1.因为B1C1∩AC1＝C1，所以A1C⊥平面AB1C1，(2)存在．当点E为棱AB的中点时，DE∥平面AB1C1.如图所示，取BB1的中点F，连结EF，FD，DE，因为E、F分别为AB、BB1的中点，所以EF∥AB1.因为AB1⊂平面AB1C1.EF⊄平面AB1C1，所以EF∥平面AB1C1.同理可证FD∥平面AB1C1.因为EF∩FD＝F，所以平面EFD∥平面AB1C1.因为DE⊂平面FED，所以DE∥平面AB1C1.•在棱锥、棱柱中进行线线、线面、面面的平行与垂直的证明，除了要正确使用判定定理与性质定理外，对几何体本身所具有的性质也要正确把握．如正棱锥、正棱柱的特性，特殊三角形、特殊梯形的使用等，其次还要注意各种平行与垂直之间的相互转化，如将线线平行转化为线面平行或面面平行来解决．1．(2008年安徽)如图所示，在四棱锥O—ABCD中，底面ABCD是边长为1的菱形，∠ABC＝π4，OA⊥底面ABCD，OA＝2，M为OA的中点，N为BC的中点．•(1)证明：直线MN∥平面OCD；•(2)求异面直线AB与MD所成角的大小；•(3)求点B到平面OCD的距离．•【解析】(1)证明：取OB中点E，连接ME，NE•∵ME∥AB，AB∥CD•∴ME∥CD•又∵NE∥OC•∴平面MNE∥平面OCD•∴MN∥平面OCD.(2)∵CD∥AB，∴∠MDC为异面直线AB与MD所成的角(或其补角)．作AP⊥CD于点P，连结MP，∵OA⊥平面ABCD，∴CD⊥MP.∵∠ADP＝π4，∴DP＝22，∵MD＝MA2＋AD2＝2，∴cos∠MDP＝DPMD＝12，∠MDC＝∠MDP＝π3.∴AB与MD所成角的大小为π3.(3)∵AB∥平面OCD，∴点B和点A到平面OCD的距离相等，连结OP，过点A作AQ⊥OP于点Q.∵AP⊥CD，OA⊥CD，∴CD⊥平面OAP，∵AQ⊂平面OAP，∴AQ⊥CD.又∵AQ⊥OP，∴AQ⊥平面OCD，线段AQ的长就是点A到平面OCD的距离．∵OP＝OD2－DP2＝OA2＋AD2－DP2＝4＋1－12＝322，AP＝DP＝22，∴AQ＝OA·APOP＝2·22322＝23.∴点B到平面OCD的距离为23.棱柱、棱锥中的角与距离在直三棱柱ABC—A1B1C1中，AA1＝AB＝AC＝4，∠BAC＝90°，D为侧面ABB1A1的中心，E为BC的中点．(1)求证：平面DB1E⊥平面BCC1B1；(2)求异面直线A1B与B1E所成的角；(3)求点C1到平面DB1E的距离．【思路点拨】(1)AE⊥BC，AE⊥BB1AE⊥平面BCC1B1平面DB1E⊥平面BCC1B1(2)作出异面直线所成角利用余弦定理求角得异面直线所成角(3)作C1H⊥B1E于H△B1HC1∽△EBB1C1HBB1＝B1C1B1E求出C1H得点C1到平面DB1E的距离【解析】(1)证明：连结AE.∵AB＝AC，且E为BC的中点，∴AE⊥BC，∵BB1⊥平面ABC，∴AE⊥BB1，∵BC∩BB1＝B，∴AE⊥平面BCC1B1，∵AE⊂平面DB1E，∴平面DB1E⊥平面BCC1B1.(2)取AE中点F，连结DF、BF.∵D是AB1的中点∴DF∥B1E∴∠BDF是A1B和B1E所成角．在△BDF中BF＝BE2＋EF2＝10DB＝12A1B＝22DF＝22＋(2)2＝6∴cos∠BDF＝(22)2＋(6)2－(10)22×22×6＝112＝36(3)作C1H⊥B1E于H，∵平面DB1E⊥平面BCC1B1，C1H⊂平面BCC1B1，∴C1H⊥平面DB1E，∴C1H的长即为点C1到平面DB1E的距离．∵△B1HC1∽△EBB1，∴C1HBB1＝B1C1B1E，∴C1H＝B1C1B1E×BB1＝833.故点C1到平面DB1E的距离为833.•多年来高考题中经常以棱柱、棱锥为载体，进行条件构造、设计来考查柱体、锥体的概念、性质及空间想象能力．题型有两个方面：一是考查相关几何体的有关概念和性质，面积、体积的计算等；二是将棱柱、棱锥作为载体考查立体几何的综合问题，如线面位置关系的论证，空间角与距离的求解，折叠与展开问题，最值与定值问题等，考查方式十分灵活．2．如图所示，正三棱柱ABC—A1B1C1的所有棱长都为2，D为CC1中点．(1)求证：AB1⊥平面A1BD；(2)求二面角A—A1D—B的大小；(3)求点C到平面A1BD的距离．【解析】(1)证明：取BC中点O，连结AO.∵△ABC为正三角形，∴AO⊥BC.∵正三棱柱ABC—A1B1C1中，平面ABC⊥平面BCC1B1，∴AO⊥平面BCC1B1.连结B1O，在正方形BB1C1C中，O、D分别为BC、CC1的中点，∴B1O⊥BD，∴AB1⊥BD.在正方形ABB1A1中，AB1⊥A1B，∴AB1⊥平面A1BD.(2)设AB1与A1B交于点G，在平面A1BD中，作GF⊥A1D于F，连结AF，由(1)得AB1⊥平面A1BD，∴AF⊥