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必修2《直线与方程》检测(时间:120分钟满分:150分)一、选择题(每小题5分,共50分)1.若直线x=2015的倾斜角为α,则α()A.等于0°B.等于180°C.等于90°D.不存在2.点(0,5)到直线y=2x的距离为()A.1B.5C.2D.23.一直线过点(0,3),(-3,0),则此直线的倾斜角为()A.45°B.135°C.-45°D.-135°4.过点(-1,3)且垂直于直线x-2y+3=0的直线方程为()A.2x+y-1=0B.2x+y-5=0C.x+2y-5=0D.x-2y+7=05.已知点A(1,2),B(3,1),则线段AB的垂直平分线的方程为()A.4x+2y=5B.4x-2y=5C.x+2y=5D.x-2y=56.已知集合A={(x,y)|y=x+1},B={(x,y)|y=2x-1},则A∩B=()A.∅B.(2,3)C.{(2,3)}D.R7.已知A(-2,2),B(2,-2),C(8,4),D(4,8),则下面四个结论:①AB∥CD;②AB⊥CD;③AC=BD;④AC⊥BD.其中正确的个数是()A.1个B.2个C.3个D.4个8.已知直线l:ax+y-2-a=0在x轴和y轴上的截距相等,则a的值是()A.1B.-1C.-2或-1D.-2或19.已知点A(-3,8),B(2,2),点P是x轴上的点,则当|AP|+|PB|最小时点P的坐标是()A.(1,0)B.12,0C.13,0D.14,010.已知直线mx+4y-2=0和2x-5y+n=0互相垂直,且垂足为(1,p),则m-n+p的值是()A.24B.20C.0D.-4二、填空题(每小题5分,共20分)11.若三点A(2,2),B(a,0),C(0,b)(ab≠0)共线,则1a+1b的值等于________.12.直线x-2y+1=0关于直线x=1对称的直线方程是____________.13.经过点(-5,2)且在坐标轴上的截距相等的直线方程是________________.14.经过两直线l1:x-2y+4=0和l2:x+y-2=0的交点P,且与直线l3:3x-4y+5=0垂直的直线l的方程是__________.三、解答题(共80分)15.(12分)求经过点A(3,0)且与直线2x+y-5=0垂直的直线方程。16.(12分)已知在Rt△ABC中,∠B为直角,AB=a,BC=b.建立适当的坐标系.证明:斜边AC的中点M到三个顶点的距离相等.17.(14分)求证:不论m为什么实数,直线(m-1)x+(2m-1)y=m-5都通过一定点.18.(14分)在直线l:3x-y-1=0上存在一点P,使得:P到点A(4,1)和点B(3,4)的距离之和最小.求此时的距离之和.19.(14分)光线从点Q(2,0)发出,射到直线l:x+y=4上的点E,经l反射到y轴上的点F,再经y轴反射又回到点Q,求直线EF的方程.20.(14分)在平面直角坐标系中,已知矩形ABCD的长为2,宽为1,AB,AD边分别在x轴,y轴的正半轴上,点A与坐标原点重合(如图).将矩形折叠,使点A落在线段DC上.(1)若折痕所在直线的斜率为k,试求折痕所在直线的方程;(2)当-2+3≤k≤0时,求折痕长的最大值.参考答案:1.C2.B3.A4.A5.B6.C解析:解方程组可得交点(2,3),A∩B={(2,3)},7.B8.D9.A解析:作B(2,2)关于x轴的对称点B1(2,-2),连接AB1交x轴于P,点P即为所求.由直线AB1的方程:y-8-2-8=x+32+3,得2x+y-2=0.令y=0,则x=1.则点P的坐标为(1,0).10.B11.1212.x+2y-3=013.y=-25x或x+y+3=014.4x+3y-6=0解析:方法一:解方程组x-2y+4=0,x+y-2=0得交点P(0,2).∵直线l3的斜率为34,∴直线l的斜率为-43.∴直线l的方程为y-2=-43(x-0),即4x+3y-6=0.方法二:设所求直线l的方程为x-2y+4+λ(x+y-2)=0.由该直线的斜率为-43,求得λ的值11,即可以得到l的方程为4x+3y-6=0.15.x-2y-3=016.证明:取边BA所在的直线为x轴,边BC所在的直线为y轴,建立直角坐标系,如图D66,三个顶点坐标分别为A(a,0),B(0,0),C(0,b),图D66由中点坐标公式,得斜边AC的中点M的坐标为a2,b2.∵|MA|=a-a22+0-b22=12a2+b2,|MB|=0-a22+0-b22=12a2+b2,|MC|=0-a22+b-b22=12a2+b2,∴|MA|=|MB|=|MC|.17.证法一:取m=1,得直线方程y=-4;再取m=12,得直线方程x=9.从而得两条直线的交点为(9,-4).又当x=9,y=-4时,有9(m-1)+(-4)(2m-1)=m-5,即点(9,-4)在直线(m-1)x+(2m-1)y=m-5上.故直线(m-1)x+(2m-1)y=m-5都通过定点(9,-4).证法二:∵(m-1)x+(2m-1)y=m-5,∴m(x+2y-1)-(x+y-5)=0.则直线(m-1)x+(2m-1)y=m-5都通过直线x+2y-1=0与x+y-5=0的交点.由方程组x+2y-1=0,x+y-5=0,解得x=9,y=-4,即过(9,-4).∴直线(m-1)x+(2m-1)y=m-5通过定点(9,-4).证法三:∵(m-1)x+(2m-1)y=m-5,∴m(x+2y-1)=x+y-5.由m为任意实数,知:关于m的一元一次方程m(x+2y-1)=x+y-5的解集为R,∴x+2y-1=0,x+y-5=0,解得x=9,y=-4.∴直线(m-1)x+(2m-1)y=m-5都通过定点(9,-4).18.解:设点B关于直线3x-y-1=0的对称点为B′(a,b),如图D67,图D67则b-4a-3=-13,且3·a+32-b+42-1=0.解得a=35,b=245,∴B′35,245.当||PA+||PB最小时,||PA+||PB=||AB′=4-352+1-2452=26.19.解:设Q关于y轴的对称点为Q1,则Q1的坐标为(-2,0).设Q关于直线l的对称点为Q2(m,n),则QQ2中点为Gm+22,n2,点G在直线l上.∴m+22+n2=4,①又∵QQ2⊥l,∴nm-2=1.②由①②,得Q2(4,2).由物理学知识可知,点Q1,Q2在直线EF上,∴kEF=kQ1Q2=13.∴直线EF的方程为y=13(x+2),即x-3y+2=0.20.解:(1)①当k=0时,此时点A与点D重合,折痕所在的直线方程y=12.②当k≠0时,将矩形折叠后点A落在线段DC上的点记为G(a,1),所以点A与点G关于折痕所在的直线对称,有kOG·k=-1⇒1a·k=-1⇒a=-k,故点G坐标为G(-k,1),从而折痕所在的直线与OG的交点坐标(线段OG的中点)为M-k2,12,折痕所在的直线方程y-12=kx+k2,即y=kx+k22+12.由①②,得折痕所在的直线方程为y=kx+k22+12.(2)当k=0时,折痕的长为2;当-2+3≤k0时,折痕直线交BC于点M2,2k+k22+12,交y轴于点N0,k2+12,∵|MN|2=22+k2+12-2k+k22+122=4+4k2≤4+4×(7-43)=32-163,∴折痕长度的最大值为32-163=2(6-2).而2(6-2)2,故折痕长度的最大值为2(6-2).
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