《割圆术》教学设计

苍南中学王加义教学设计1《割圆术》教学设计苍南中学王加义一、教学内容解析本节课选自人教版普通高中课程标准实验教科书必修3第一章《算法初步》的阅读与思考材料，“割圆术”是由我国魏晋时期数学家刘徽创立的，263年左右，刘徽发现当圆内接正多边形的边数无限增加时，多边形的面积可无限逼近圆面积；另一方面，这些圆内接正多边形每边外有一余径，用边长乘以余径，加到正多边形的面积上，则大于圆的面积，这样就得到了圆面积的上限和下限。当半径为1时，圆面积就等于圆周率，可以求得圆周率的近似值。本文的主要内容包括三点：（1）从算法的角度，解释“割圆术”的理论；（2）刘徽的割圆术由现在的计算机可以求得更加精确的近似值；（3）通过对割圆术的学习，增强国人的自豪感。对圆周率的计算，我国有两位非常杰出的数学家，一是刘徽，二是南北朝时期数学家祖冲之，继承并发展了刘徽的割圆术，求得的范围为3.14159263.1415927。二、教学目标设置知识与技能：了解割圆术的算法；通过对“割圆术”的学习，更好的理解“算法化”的思维方法，并注意理解推导“割圆术”的操作步骤。过程与方法：改变解决问题的思路，将抽象的数学思维转变为具体的步骤化的思维方式，提高逻辑推理能力。情感、态度与价值观：通过学生的主动参与，师生、生生的合作交流，提高学生兴趣，激发其求知欲，培养探索精神；体会中国古代数学对世界数学发展的贡献，增强爱国主义情怀。三、学生学情分析高一的学生对圆周率已经有了初步的了解，知道圆周率主要用于解决有关圆和球的问题；学生已经具备了一定的计算能力，能计算圆内接正六边形、正十二边形等的面积；具有一定的归纳推理，能在求圆内接正六边形的面积6S，圆内接正十二边形的面积12S，圆内接正二十四边形的面积24S，……的过程中归纳苍南中学王加义教学设计2出圆内接正2n边形的面积与圆内接正n边形的面积之间的递推关系。但是学生在思想方面的感悟及总结的能力还有待加强，对“割圆术”中所蕴含着数学思想，还需要学生去体会，并能与已有的数学知识进行融会贯通。四、教学策略分析在整个教学过程中，我做了一些调整，首先开门见山，就说本节课我们将共同揭开圆周率的神秘面纱；从圆周率的定义出发，介绍圆周率的符号及其背景；通过学生动手试验，去测量圆周率的近似值，发现误差，再去寻找科学的方法，即引出刘徽的“割圆术”。本节课始终以学生为主题，抓住学生思考方式，沿着历史的足迹，探寻计算圆周率的科学方法。五、教学过程（歌曲引入）[师]课间我们同学欣赏了由为谱作成的曲子，堪称神曲！领略了的神奇。在数学史上有三个非常神秘的无理数，同学们知道是什么吗？[生]一个是，一个是e，一个是（黄金分割比）。[师]今天这节课，我们将共同来揭开的神秘面纱……[师]在此之前，老师想知道，关于圆周率，我们同学的了解有多少？[生1]141592653.3[生2]圆周长=R2，圆面积=2R（追踪历史）[师]同学们可知道，人类是如何发现这个无理数的吗？[师]早在远古时期，人类就已经发现：一个圆的圆周长与直径的比始终为定值，并将其定义为圆周率，后由欧拉于1748年将其命名为，是希腊文圆周的第一个字母。既然圆周率是一个客观存在的常数，那人们最早是如何找到这个常数的呢？[生]测量的方法。（实践验证）[师]请同学们动手试一试，利用已有的工具材料，测量圆周率的值。（学生动手试验）[师]由上述试验结果的数据，同学们发现了什么？[生1]一个圆的圆周长与直径的比始终为定值，与圆半径大小无关。苍南中学王加义教学设计3[生2]测量的结果存在误差。[师]那你的结果与值比较是大还是小？[生]不知道[师]可见，利用测量的方法不能准确找到这个常数，同学们想想，还有没有其他更科学的方法？[生]利用圆内接多边形的面积来逼近圆面积，当圆内接正多边形的边数无限增加时，正多边形的面积可无限逼近圆面积。（引出课题）[师]非常好，你的这个想法与我国魏晋时期的刘徽所想的完全一样，我们把刘徽的这个方法称作“割圆术”。[师]给你一个圆，你会选择从圆内接几边形开始算？[生1]圆内接正方形[生2]圆内接正六边形。（理论探求）[师]据记载，刘徽当时是从圆内接正六边形开始算的，下面请同学求一下圆内接正六边形的面积，令R=1。[生]598.22332312166S[师]如果让你继续往下算，你会算圆内接正几边形的面积？[生]圆内接正十二边形。[师]怎么算？[生]),1(21666612hxSS266)2(1xh。[师]如果让你继续往下算，你会算圆内接正几边形面积？[生]圆内接正二十四边形。[师]怎么算？[生]),1(211212121224hxSS21212)2(1xh，262612)1()2(hxx[师]继续往下算，我们可以求？苍南中学王加义教学设计4[生]),1(212424242448hxSS22424)2(1xh，21221224)1()2(hxx。[师]要求圆内接正四十八边形面积，只需求……[生]24S和24x[师]要求圆内接正二十四边形面积，只需求……[生]12S和12x[师]要求圆内接正十二边形面积，只需求……[生]6S和6x[师]依次类推，我们可以求得圆内接正2n边形面积，即[生]),1(212nnnnhxnSS2)2(1nnxh，222)1()2(nnnhxx。[师]这样我们就找到了nS2与nS的递推关系式。刘徽一直算到，n=192时，的近似值为3.14，n=3072时，的近似值为3.1416，为了纪念刘徽的伟大贡献，我们将=3.14称作徽率。我国南北朝时期数学家祖冲之继承并发展了刘徽的割圆术，算得3.14159263.1415927。这不仅在当时是最准的，而且领先世界达1000多年，是一项非常了不起的成就。[师]现在随着计算机的发展，我们可以借助计算机来求圆周率的近似值。不难发现：随着n值的增大，圆内接正2n边形的面积也随之增大，当半径为1时，我们可以用圆内接正2n边形的面积来近似代替的值。但所求的值与比较始终来得……[生]小[师]为什么？[生]因为是用圆内接多边形来逼近的。[师]我们把这些值称作的下限，那的上限怎么求？[生]利用圆的外切正多边形来无限逼近圆。[师]有没有更好的方法？苍南中学王加义教学设计5[生]利用余径乘以边长，可得)(222nnnnSSSS[师]这个方法与上个方法相比较，好在哪里？[生]一、计算的结果比它更精确，少求两个三角形的面积；二、涉及的计算量与它比较少了一半，有一种事半功倍的效果。[师]我们用excel来感受一下。（思想归纳）[师]前面我们沿着刘徽的足迹，计算了圆周率的近似值，在计算过程中，同学们体会到了数学上哪些有用的思想方法。[生]无限趋近（极限），以直代曲，两边夹思想和数形结合的思想。[师]其实计算圆周率的方法还有很多，刘徽是从面积的角度出发，也可以从圆周长的角度出发，最有代表性的是古希腊的阿基米德，阿基米德利用内接多边形和外切多边形逼近圆周，从而获得圆周率的近似值。阿基米德一直割到正96边形，得到14.3。西方数学将14.3称作阿基米德数或阿氏率。[师]这节课我们沿着古人的足迹，先发现圆周率，再用测量得到这个常数，最后运用科学计算得到更高精度的近似值，从中体会到了割圆术蕴含着的一些思想方法。（布置作业）[师]今天这节课我们解开了圆周率的神秘面纱，那e和又是如何计算的呢？请同学课后去查阅资料。