导数压轴题中的零点问题(找点技巧和常见模型)

Go高考家长群235649790成都高二、高三寒假班、春季班联系电话：[phone]（罗老师）、微信同号导数大题的常用找点技巧和常见模型【引子】（2017年全国新课标1·理·21）已知fxae2xa2exx.（1）讨论fx的单调性；（2）若fx有两个零点，求a的取值范围.解析：（1）f'x2ae2xa2ex12ex1aex1若a0，则f'x0恒成立，所以fx在R上递减；若a0，令f'x0，得ex1a,xln1a.11当xln时，f'x0，所以fx在,ln上递减；aa11当xln时，f'x0，所以fx在ln,上递增.aa11综上，当a0时，fx在R上递减；当a0时，fx在,ln上递减，在ln,上递增.aa（2）fx有两个零点，必须满足fxmin0，即a0，且fxmin111fln1ln0.aaa101xlnx，xg'x1x1xlnx单调递减.构造函数gx0.易得1，所以gx又因为g10，所以1111ln0gg110a1.aaaa下面只要证明当0a1时，fx有两个零点即可，为此我们先证明当x0时，xlnx.事实上，构造函数hxxlnx，易得h'x11x，∴hxminh11，所以hx0，即xlnx.当0a1时，f1aa21aeae220，e2ee23a323333flna1a21ln11ln10，aaaaaa13a1113a其中1ln，lnln，所以fx在1,ln和ln,ln上各有一个零点.aaaaaa故a的取值范围是0,1.注意：取点过程用到了常用放缩技巧。全国最优秀的高考备考资源都在群文件里面Go高考家长群235649790成都高二、高三寒假班、春季班联系电话：[phone]（罗老师）、微信同号2xx2xxxxx3a3一方面：aea2ex0aea2ee0aea30exln1；aa另一方面：x0时，ae2xa2exx0a2exx0x1（目测的）常用的放缩公式（考试时需给出证明过程）第一组：对数放缩（放缩成一次函数），，ln1xx，xlnxx1lnxxlnxe.11x1，lnx110x1，（放缩成双撇函数）lnxxx2x2x11xxlnxxx1，lnxx0x1，（放缩成二次函数）lnxx2x，ln1xx12x21x0，ln1xx12x2x0122x（放缩成类反比例函数）lnx1，lnxx10x1，lnx1x0xx1x2x22xln1x，lnxx1x1，ln1xx01xx12x第二组：指数放缩（放缩成一次函数）exx1，exx，exex，（放缩成类反比例函数）ex1x0，ex1x0，1xx1（放缩成二次函数）exx2，ex1x2x2x0，第三组：指对放缩exlnxx1x12第四组：三角函数放缩sinxxtanxx0，sinxx1x2，11x2cosx11sin2x.222ylnx，yex11，yx2x，y11x，yxlnx.全国最优秀的高考备考资源都在群文件里面Go高考家长群235649790成都高二、高三寒假班、春季班联系电话：[phone]（罗老师）、微信同号常用的找点技巧方法一：放缩法。成功关键：在目标区间上找到一个合适的逼近函数.【示例】证明：当0a1e时，fxlnxax有两个零点.分析：极值点为x11ln110（大于e），f，所以需要在左右两侧各找一个函数值小于零的点.aaa因为lnxx1，要使得lnxax0，只需要x1ax0，即x11a，考虑到0a1e，所以11a所以左侧可取：f1a0，1ln1a11a0f；aa1a1a1a11e1,，e1另一方面：因为lnxxx1或lnxx1xx1，要使得lnxax0，只需要xax0，即xa12，所以右侧可取：11111flnaa0.2a2aaaa方法二：目测法。成功关键：数感与大胆.【示例】证明：当ae时，fxexax有两个零点.分析：极值点为xlna（大于1），fnlaa1nla0，所以需要在左右两侧各找一个函数值大于零的点.左侧，自变量越小，成功的可能性越高，则可找：1110，f010，f11a0.eafea右侧，自变量越大，成功的可能性越高，则可找：f2lnae2lna2alnaaa2lna0，faeaa20.方法三：分而治之。成功关键：对乘积式的每个因式进行适当放缩.【示例】证明：当a0时，fxx2exax12有两个零点.分析：极值点为x1，f1e0，f2a0，难点是在1的左侧找一个函数值大于零的点，显然自变量越小越容易成功，要使得x2exax120，即ax122xex，只需要满足aexx122x，即取b满足b15且blna即可使得fb0.2全国最优秀的高考备考资源都在群文件里面Go高考家长群235649790成都高二、高三寒假班、春季班联系电话：[phone]（罗老师）、微信同号很明显，上述拆分已经达到目的，但是结果还可以从视觉上优化：优化①：弱化x122x的解，也就是取b1且blna也可使得fb0.优化②：为了使得解集更好看，配凑一下系数，使得该二次不等式常数项为0，即a2ex，2x122x所以，取b满足b0且blna2即可使得fb0.（这就解释了2016年全国卷Ⅰ标准答案中找点的思路）方法四：分析与构造。成功关键：分析零点区间随参数变化的趋势，构造与之相匹配的代数式作为区间端点.【示例】证明：当0a2e时，fxaxlnx有两个零点.分析：极值点为x11a20，显然f1a0，难点是在1（接近0），f1的左侧找一个函数值大于2eeee零的点，显然点应满足如下几个条件：①始终为正数；②既能开根，也能取对数；③当a越小时，它也随之变小，并且能无限趋于零.从条件①②来看，我们应该取指数的形式，且最好为偶次幂，从条件③来看，我们找的指数当趋于0时应趋于负无穷，所以可取反比例函数的形式或双撇函数的形式，经过尝试与调整，找可找到如下的点：444aaaaaa0.fea24eaa2方法五：局部构造.成功关键：舍去一些影响计算但是不影响符号判断的项，对剩下的部分进行解方程的操作.【示例】证明：当1a0时，fxalnx11x有两个零点.分析：极值点为x1（大于1），且f1aln11aa111a0，aaaa又f10，所以只需在1的右侧找一个函数值小于0的点.即找到一个x1使得alnx110，aax1考虑到0是恒成立的，所以取alnx10即可，因此我们得到下面这个点：x1111.且feaea0，其中eaa11所以有两个零点，x0，x,ea12a全国最优秀的高考备考资源都在群文件里面Go高考家长群235649790成都高二、高三寒假班、春季班联系电话：[phone]（罗老师）、微信同号几个经典函数模型经典模型一：ylnxx或ylnxx.【例1】讨论函数fxlnxax的零点个数.（1）a1e时，无零点.f'x1a，fxmax1ln110.fxaa（2）a1e时，1个零点.f'x1x1e，fxmaxfelne10.（3）当0a1e时，2个零点.f1a01ln1a11a0，其中11e.（放缩）（目测），faa1a1a1a1a11fe1ea0.11111121x1）flnaa0，其中ee.（用到了lnxx2a2aaa2xaa（4）当a0时，1个零点.f'x1xa0，单调递增.f1a0，a1fea1a11a11aaeaa1a0.e2e2aaafeaaaeaa1ea0.【变式】（经过换元和等价变形之后均可以转化到例1：fxlnxax）：1.讨论fxlnxmx的零点个数（令xt，m2a）；2.讨论fxxmlnx的零点个数（令m1a）；讨论fxlnxmx的零点个数（考虑gxfx）；3.xx讨论fxlnxmx的零点个数（考虑gxfx33x，令txma）；4.2，2x5.讨论fxlnxmx2的零点个数（令tx2，2ma）；6.讨论fxaxex的零点个数（令ext）.全国最优秀的高考备考资源都在群文件里面Go高考家长群235649790成都高二、高三寒假班、春季班联系电话：[phone]（罗老师）、微信同号经典模型二：yex或yexxx【例2】讨论函数fxexax的零点个数.（1）a0时，1个零点.f'xexa0，fxexax单调递增.111且f01a0，fea10，所以在,0上有一个零点；aa（2）a0时，无零点.fxex0恒成立；（3）0ae时，无零点.fxminflnaa1lna0；（4）ae时，2个零点.11ea0，faa2lnaae20.2lnafe10a，f1a【变式】（经过换元和等价变形之后均可以转化到例题2：fxexax）：1.讨论fxe2xmx的零点个数（令2xt，m2a）；2.讨论fxexm的零点个数（去分母后与1等价）；xex3.讨论fxexmx的零点个数（移项平方后与1等价）；4.讨论fxexmx2的零点个数（移项开方后换元与1等价）；5.讨论fxex1mx的零点个数（乘以系数e，令ema）；6.讨论fxlnxxmx的零点个数（令xet，转化成2）7.讨论fxex1mxm的零