干涉及衍射现象的MATLAB辅助分

1摘要通过《大学物理》对光学部分的学习，干涉与衍射现象是光的波动性的两个重要特性，都是由光振动的叠加，其本质是相同的。在本次课程设计中，为探讨光的干涉与衍射现象的光强分布，以杨氏双缝干涉实验，夫琅禾费圆孔衍射及其双缝衍射为例。基于MATLAB编写干涉与衍射仿真程序，模拟干涉与衍射现象的光强图谱。加强对光的干涉和衍射的理解，及其区别与联系。关键词：干涉；衍射；MATLAB；光强图谱2目录1光的干涉....................................................................................................................................31.1光的干涉仿真的理论基础................................................................................................31.1.1光波的叠加原理..........................................................................................................31.1.2光的干涉与相干条件................................................................................................31.2杨氏双缝干涉现象的模拟................................................................................................41.2.1杨氏双缝干涉的基本原理.......................................................................................42光的衍射......................................................................................................................................62.1光的衍射基本原理与现象.................................................................................................62.2夫琅禾费圆孔衍射现象的仿真.......................................................................................62.3双缝夫琅禾费衍射..............................................................................................................83心得体会..................................................................................................................................1231光的干涉1.1光的干涉仿真的理论基础1.1.1光波的叠加原理波的独立传播定律告诉我们：当两列波在空间交叠时，它的传播互不干扰．亦即每列波如何传播，就像另--N波完全不存在一样，各自独立进行。光是一种电磁波，故也满足独立传播定律，光的干涉实质上是波的叠加和波的干涉。一列波在空间传播时，在空间的每一点引起振动。当两列(或多列)波在同一个空间传播时，空间各点都参与每列波在该点引起的振动。如果波的独立传播定律成立，则当两列(或多列)波同时存在时，在它们的交叠区域内每点的振动是各列波单独在该点产生的振动的合成，这就是波的叠加原理。这里所谓的振动对光波来说，是电矢量和磁矢量的振动。所以波的叠加就是空间每点振动的合成问题。对于标量波．则是标量波的叠加：12(p,t)U(p,t)U(p,t)...U(1.1.1)光波通过变色玻璃时，是不服从独立传播定律的。波的叠加原理与独立传播定律一样，适用性是有条件的。这条件一是媒质，二是波的强度。光在真空中总是独立传播的，从而服从叠加原理。但在变色玻璃中，或在普通媒质中光强度非常大时，都会出现违背叠加原理的现象。波在其中服从叠加原理的媒质，称为“线性媒质”。不服从叠加原理的媒质，称为“非线性媒质”。违反叠加原理的效应，称为“非线性效应”。许多媒质的非线性效应只在强光作用下才明显，在研究光的干涉实验仿真时用的光都是弱光，因此在不做特殊声明的情况下，都假定媒质是线性的，即光波服从叠加原理。1.1.2光的干涉与相干条件111222(p)(p)exp(j(p))(p)A(p)exp(j(p))UAU(1.1.2)二者合并为：12(p)U(p)(p)UU1122(p)exp(j(p))(p)exp(j(p))AA(1.1.3)强度正比于振幅模值的平方。于是1212(p)I(p)(p)2(p)I(p)cos(p)III(1.1.4)4式中211(p)[A(p)]I和222(p)[A(p)]I分别是两列波单独在场点P处的强度12(p)(p)(p)为两列波在点P的位相差。式(1.1.4)表明，两列波叠加时，在一般情况下，强度不能直接相加，相差有1/2122[I(p)I(p)]cos(p)一项。(p)与位置有关，cos(p)可正可负。当cos(p)0时，12(p)I(p)I(p)I；cos(p)0，12(p)I(p)I(p)I。即波的叠加引起了强度的重新分布，这种因波的叠加而引起的强度重新分布的现象，叫做波的干涉。产生干涉的必要条件(相干条件)是：(1)频率相同；(2)存在相互平行的振动分量；(3)位相差(p)稳定。1.2杨氏双缝干涉现象的模拟1.2.1杨氏双缝干涉的基本原理图1-2-1杨氏双缝干涉示意图如图1-2-1为杨氏双缝干涉的示意图，两个相干光波长为，振幅为0A，狭缝到屏幕的距离为z。两个狭缝的间距为d，屏幕上某点到两个狭缝中间的垂直距离为sy。相位差2L，相对光强为2204cos(/2)IA。双缝干涉模拟程序，取600,1.0,1nmdmmzm。程序如下：clearalld=600e-9;5z=1e-3;lam=1;ym=4e-3;xs=ym;n=101;ys=linspace(-ym,ym,n);fori=1:nL1=sqrt((ys(i)-d/2).^2+z.^2);L2=sqrt((ys(i)+d/2).^2+z.^2);Phi=2*pi*(L2-L1)/d;B(i,:)=4*cos(Phi/2).^2;endN=255;Br=(B/4.0)*N;subplot(1,2,1)image(xs,ys,Br);colormap(gray(N));subplot(1,2,2)plot(B,ys)由MATLAB运行结果：如图1-2-2图1-2-2干涉的MATLAB仿真图像6如此可观察到杨氏双缝干涉产生的相干光，会得到一系列稳定的明暗相间的干涉条纹，条纹彼此间的距离相等。两个相干光强度相同，发生干涉后最小相对光强为0，最大相对光强为4。光强曲线最大的地方对应明条纹的中央，相差为2π的整数倍；光强曲线为零的地方对应暗条纹中央，相差为π的奇数倍。2光的衍射2.1光的衍射基本原理与现象光的衍射现象是指当光在传播过程中遇到障碍物后会偏离原来的直线传播方向，并绕过障碍物后空间各点的光强会产生一定规律分布的现象。由于光波的波长很短，因此在一般情况下，光的衍射现象并不明显。实验中，可以得到只有当障碍物的大小与光的波长可以相比拟时，才能观察到衍射现象。观察衍射现象的实验装置一般由光源、衍射屏和观察屏三部分组成。根据三者之间相互距离的不同，通常将衍射分为两类：一类是衍射屏离光源和观察屏的距离为有限远时的衍射，称为菲涅尔衍射。另一类是衍射屏与光源和观察屏距离都是无穷远的衍射，称为夫琅禾费衍射。如图2-1-1图2-1-1夫琅禾费衍射原理图2.2夫琅禾费圆孔衍射现象的仿真当用小圆孔代替夫琅禾费衍射装置中的单缝时，在观察屏上会出现夫琅禾费圆孔衍射图样。夫琅禾费圆孔衍射图样的中心是一个大而亮的圆斑，称为爱里斑。有理论计算可知，第一级暗纹的衍射角1满足下式：71sin0.611.22rdr和d为圆孔的半径和直径。爱里斑得角半径0就是第一级暗纹所对应的衍射角，有：01sin0.611.22rd若透镜焦距为f，即爱里斑的半径为：10tanRff如此可知，越大或d越小，衍射现象越明显。下面利用MATLAB模拟夫琅禾费圆孔衍射的光强分布。程序如下：R=0.1;lambda=1.064e-3;k=2*pi/lambda;z=1.0e3;r=linspace(0,2*1.22*lambda/2/R*z,201);eta=linspace(0,2*pi,201);[rho,theta]=meshgrid(r,eta);[x,y]=pol2cart(theta,rho);Bess=besselj(1,rho*R*k/z);Ie=4*pi^2*R^2*Bess.^2./(rho*k).^2/lambda^2;surf(x,y,Ie);axis([-max(r),max(r),-max(r),max(r),0,max(Ie(:))]);shadinginterp;boxon;gridoff;figure;plot(x(1,:),Ie(1,:),'k',x(101,:),Ie(101,:),'k');程序运行结果：8图2-2-1夫琅禾费圆孔衍射光请图谱图2-2-2夫琅禾费圆孔衍射光强分布2.3双缝夫琅禾费衍射9图2-2-3双峰衍射的原理图双缝衍射的实验装置如图1所示：一光栅有N条缝，透光的缝宽度为a，不透光的挡板宽度为b，入射光波为。双缝间距为dba，d称为光栅常数。如图，在方向，相邻两条缝之间的光程差为sind，相位差为sin22d，假设每一个单缝引起的光波振幅为'A，根据多个等幅同频振动的合振幅公式：2/sin2/sinnAA，所有缝在方向产生的振幅为vNvANAAsinsin2/sin2/sin'''，其中sindv。汇聚点的光强为2'0)sinsin(vNvII,其中2''0AI。当N=1，可知：'0I是单缝引起的光强。根据单缝衍射的公式20)sin(uuII，可得光栅衍射的光强公式20)sin(uuII2)sinsin(vNv，其中u=sina。（1）当N=1时，光强公式变为单缝衍射的公式20)sin(uuII，因此2)sin(uu称为单缝衍射因子。（2）当N=2时，根据光栅衍射公式可得：2220sin()4cosuIIvu。下面利用MATLAB模拟双缝夫琅禾费衍射的光强分布10程序如下：clear;R=0.1;d=4*R;lambda=1.064e-3;k=2*pi/lambda;z=1.0e3;xmax=3*1.22*lambda/2/R*z;x=linspace(-xmax,xmax,200);y=x;[x,y]=meshgrid(x,y);IF1=j*exp(j*k*((x-d/2).ˆ2/2/z+z)).*sin(k*(x-d/2)*R/z)./(k*(x-d/2)/2/z)/lambda/z;IF2=j*exp(j*k*((x+d/2