经验正交函数分解(EOF)

气象统计预报气象统计预报李丽平南京信息工程大学2010年12月PDF文件使用pdfFactoryPro试用版本创建一、引言经验正交函数（EOF）方法最早由统计学家pearson在1902年提出，由Lorenz[1]（1956）引入气象问题分析中。该方法以场的时间序列为分析对象，对计算条件要求甚高，故直到20世纪60年代后期才在实际工作中得到广泛应用（Craddock，1969[2]；Kutzback，1970[3]；Kidson，1975[4]）。PDF文件使用pdfFactoryPro试用版本创建年来，出现了适合于各种分析目的的EOF分析方法，如扩展EOF（EEOF）方法，旋转EOF（REOF）方法，风场EOF（EOFW）方法，复变量EOF（CEOF）方法。EOF方法不但用于观测资料的分析，还用于GCM资料的分析和数值模式的设计。现在，EOF方法已作为一种基本的分析手段频繁地出现在大气科学研究的文献中。PDF文件使用pdfFactoryPro试用版本创建二、EOF分析方法原理将某气候变量场的观测资料以矩阵形式给出m是空间点，n是时间序列长度。⎟⎟⎟⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎜⎜⎜⎝⎛⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅=mnmmnnxxxxxxxxx212222111211XPDF文件使用pdfFactoryPro试用版本创建气象场的自然正交展开，是将X分解为时间函数Z和空间函数V两部分,即或者含义：场中第i个格点上的第t次观测值，可以看作是p个空间函数和时间函数的线性组合。VZX=mi,,2,1L=nt,,2,1L=∑=+++==pkptiptitiktikitzvzvzvzvx12211Likvkizpk,,2,1L=PDF文件使用pdfFactoryPro试用版本创建其中，是第j个典型场，只是空间的函数。⎟⎟⎟⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎜⎜⎜⎝⎛⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅=mmmmmmvvvvvvvvv212222111211V⎟⎟⎟⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎜⎜⎜⎝⎛⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅=mnmmnnzzzzzzzzz212222111211ZTmjjjjvvvv),,,(21L=PDF文件使用pdfFactoryPro试用版本创建=L2211mtmmmmtmtmmtttzvvvzvvvzvvvxxx⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡++⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡+⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡=⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡MLMMM2122221211211121PDF文件使用pdfFactoryPro试用版本创建上式表明，第t个场可以表示为m个空间典型场，按照不同的权重线性叠加而成。V的每一列表示一个空间典型场，由于这个场由实际资料确定，故又叫经验正交函数。上述分解要求满足下列两个条件：PDF文件使用pdfFactoryPro试用版本创建⎩⎨⎧=λ≠==∑=jijizzintjtit01TjiZZmji,,,,L21=⎩⎨⎧=≠==∑=jijivvpkkjkij101vvTi性质PDF文件使用pdfFactoryPro试用版本创建三、分解方法A为实对称矩阵，根据实对称矩阵分解原理，一定有或者TTVVZZXX=TTXXA=Λ=AVVTTVVAΛ=PDF文件使用pdfFactoryPro试用版本创建的特征向量，是A的特征值组成的对角矩阵。Z就是时间系数矩阵，第i个格点上的第t个时间系数。ΛXVZT=∑==mkktkiitxvz1itzPDF文件使用pdfFactoryPro试用版本创建四、误差估计和计算是拟合场.可以证明误差nppmZ.VXˆX=≈Xˆ21111ˆ()pmnmititiiitiiQxxll=====-=-∑∑∑∑PDF文件使用pdfFactoryPro试用版本创建场的贡献率∑=λλ=ρmiiii1∑∑==λλ=Ρmiiipiii11五、重要参数PDF文件使用pdfFactoryPro试用版本创建六、计算步骤1）根据分析目的，确定X的具体形态(距平或者标准化距平)；2）由X求协方差矩阵；3）求A的全部特征值、特征向量，h=1~H（通常使用Jacobi法）；hVhλT=AXXPDF文件使用pdfFactoryPro试用版本创建）将特征值作非升序排列（通常使用沉浮法），并对特征向量序数作相应变动；5）根据,h=1~H和X总方差，求出全部、,h=1~H；6）由X及主要求其时间系数、h=1~H，主要的数量由分析目的及分析对象定；7）输出主要计算结果。hrhVhZhlhPPDF文件使用pdfFactoryPro试用版本创建特征值总个数，对实际问题需要强调的是，第1）步很重要。在大多数情况下，EOF分析对原观测场时间序列、距平场时间序列和标准化距平场时间序列进行。选择何种形态作分析取决于分析目的和分析对象。⎩⎨⎧=n),-(mnmH1min),min(为中心化序列为非中心化序列X,X,PDF文件使用pdfFactoryPro试用版本创建七、经验正交函数的物理意义特征向量以及时间系数的分析。vv第一特征向量（第一空间典型场）是与n张X图平均最相似的，或者说具有与所要展开的资料矩阵的n个样本最相似的特征。比如：若原始资料矩阵是7月份50年实测将水场（非距平场），则第一特征向量就可以解释为这50年的平均场，其相应的时间系数基本对应我国大尺度旱涝年。但当降水场由距平组成，第一特征向量就解释为与50年夏季距平场最相似的特征场，它指出了我国夏季经常出现的大尺度涝区和旱区。PDF文件使用pdfFactoryPro试用版本创建八、时空转换问题当时，先求出的特征值，然后求的特征向量，这种方法叫时空转换。令的特征值为，其特征向量为，的特征值也为，其特征向量为nmXXTTXXXXTiλiuTXXiλivPDF文件使用pdfFactoryPro试用版本创建λ=mvvvV,,,21L=XVZT=PDF文件使用pdfFactoryPro试用版本创建分解的第一模态，方差贡献为15.5%PDF文件使用pdfFactoryPro试用版本创建夏季降水异常的第二、第三模态（13.5%，6.8%）PDF文件使用pdfFactoryPro试用版本创建三类雨型：北方的黄河流域地区黄河和长江之间长江流域及以南PDF文件使用pdfFactoryPro试用版本创建分解第一、第二模态（21.9%，5.5%）PDF文件使用pdfFactoryPro试用版本创建西风漂流区的年平均海温距平西风漂流区的年平均海温距平((实线实线))和累积曲线和累积曲线((虚线虚线););cc赤道太平洋区年平均海温距平赤道太平洋区年平均海温距平((实线实线))和累积曲线和累积曲线((虚线虚线).).图1b1976年是个明显的转折点,在这之前累积曲线基本上呈上升趋势,海温以正距平主,这之后累积曲线呈下降趋势,海温以负距平为主。1951-1975年平均海温距平为12℃,而1977-1993年平均海温距平为-128℃。这就是说西风漂流区年平均海温从1951-1975年至1977-1993年下降了0148℃。图1c1981年是个明显的转折点,在这之前累积曲线呈下降趋势,海温以负距平为主,这之后累积曲线呈上升趋势,海温以正距平为主。1951-1980年平均海温距平为0.08℃,1982-1993年为0.21℃,赤道太平洋年平均海温1981年后比1981年前增加了0.29℃。PDF文件使用pdfFactoryPro试用版本创建