不完全信息静态博弈95510277

不完全信息静态博弈STATICGAMEOFINCOMPLETEINFORMATION——摘自《庄子》子非鱼,安知鱼之乐？子非我,安知我不知鱼之乐？不完全信息在前面的分析中，我们假定支付函数是所有参与人的共同知识(CommonKnowledge)如果在博弈中至少有一个参与人不知道其他参与人的支付函数，则称该博弈为不完全信息博弈。不完全信息博弈又被称为贝叶斯博弈不完全信息一些不完全信息的例子与一个陌生人打交道购买一幅艺术品一个企业想进入某个市场参与投标的各个厂商一个简例：市场进入博弈一个企业决定是否进入一个新的产业，但不知道在为企业的成本函数，也不知道一旦进入，在位者决定默许还是斗争。假定在位者有两种可能成本函数：高成本和低成本。对应两种不同成本的不同策略组合的支付矩阵如表3-1所示。一个简例：市场进入博弈表3-1市场进入博弈：不完全信息在位者高成本情况低成本情况默许斗争默许斗争进入者进入不进入40.50-10,030,80-10,1000,3000,3000,4000,400如果在位者是高成本一个简例：市场进入博弈在位者高成本情况低成本情况默许斗争默许斗争进入者进入不进入40.50-10,030,80-10,1000,3000,3000,4000,400进入者最优行为是进入，在位者最优行为是默许。表3-1市场进入博弈：不完全信息一个简例：市场进入博弈在位者高成本情况低成本情况默许斗争默许斗争进入者进入不进入40.50-10,030,80-10,1000,3000,3000,4000,400如果在位者是低成本表3-1市场进入博弈：不完全信息一个简例：市场进入博弈在位者高成本情况低成本情况默许斗争默许斗争进入者进入不进入40.50-10,030,80-10,1000,3000,3000,4000,400进入者最优行为是不进入，在位者最优行为是斗争（一旦低成本者进入）。表3-1市场进入博弈：不完全信息一个简例：市场进入博弈在位者高成本情况低成本情况默许斗争默许斗争进入者进入不进入40.50-10,030,80-10,1000,3000,3000,4000,400但进入者不知道在位者究竟是高成本还是低成本，因此，进入者的最优选择依赖于他对在位者成本的信念。表3-1市场进入博弈：不完全信息一个简例：市场进入博弈假定进入者认为在位者是高成本的概率是p,则是低成本的概率是(1-p)。进入者进入的期望支付是p(40)+(1-p)(-10)进入者不进入的期望支付是0比较上面两个表达式，可知进入者的最优选择为如果p≥1/5，进入；如果p1/5，不进入。在前面市场进入博弈中，进入者似乎是在与两个不同的在位者博弈，一个是高成本的在位者，一个是低成本的在位者。一般地，如果在位者有T种可能的不同成本函数，进入者似乎是在与T个不同在位者博弈。海萨尼(Harsanyi)转换如果一个参与人并不知道他在与谁进行博弈，博弈的规则无法进行定义。海萨尼通过引入虚拟的参与人——”自然”(Nature)，将不完全信息博弈转换为完全但不完美信息的博弈，从而可用完全信息博弈论进行处理，这就是著名的“海萨尼转换”(HarsanyiTransformation)海萨尼(Harsanyi)转换图4.1就是市场进入博弈问题，经过海萨尼转换后，得到的博弈树。0高低[P][1-P]进入者不进入进入不进入进入合作斗争合作斗争(0,300)(0,400)(40,50)(-10,0)(30,80)(-10,100)图3-1市场进入博弈海萨尼(Harsanyi)转换不完全信息静态博弈中，参与人i的行动空间Ai可能依赖于他的类型θi,或者说行动空间是类型依存的(type-contingent)。比如，一个企业选择什么价格依赖于其实力；一个人能干什么事情依赖于其能力，等等。海萨尼(Harsanyi)转换因此，行动空间可以表示为Ai(θi)，一个特定行动可表示为集合Ai(θi)中的一个元素。类似的，参与人i的支付函数也是类型依存的（比如不同成本函数的企业利润各不相同。），用ui(ai,a-i;θi)表示参与人i的效用函数。于是可以用上述参数表示一个静态贝叶斯博弈。海萨尼(Harsanyi)转换更为一般地，自然在博弈的开始选择还可包括参与人的战略空间、信息集、支付函数等。海萨尼(Harsanyi)转换我们将一个参与人所拥有的所有个人信息称为他的类型(Types)不完全信息意味着，至少有一个参与人有多个类型（否则就成为完全信息博弈）。海萨尼(Harsanyi)转换一般地，用θi表示参与人i的一个特定类型，Θi表示参与人i的所有类型的集合，即θi∈Θi假定，只有参与人i知道自己的类型θi海萨尼(Harsanyi)转换根据海萨尼公理(HarsanyiDoctrine)，假定各参与人类型的分布函数P(θ1,…,θn)是共同知识。以市场进入博弈为例，在位者高成本的概率p是共同知识意味着：进入者知道在位者是高成本的概率为p,在位者知道进入者认为在位者是高成本的概率是p…海萨尼(Harsanyi)转换用θ-i=(θ1,…,θi-1,θi+1,…,θn)表示除了i之外的所有参与人的类型组合。θ=（θi,θ-i）表示所有参与人的类型组合。根据条件概率规则iiiiiiiiiiiippppp),(),()(),()|(海萨尼(Harsanyi)转换N人静态贝叶斯博弈的战略式表述包括：参与人的类型空间Θi，条件概率p1,…,pn,类型依存战略空间为Ai(θi)，类型依存支付函数ui(ai,a-i;θi)，i=1,…,n。参与人i知道自己的类型θi（属于Θi），条件概率pi=pi(θ-i|θi)描述给定自己属于θi的情况下，参与人i关于其他参与人类型的一个估计。可以用G={Ai;θi;pi;ui;i=1,…,n}表示这个博弈。静态贝叶斯博弈定义给定参与人i只知道自己的类型θi,而不知道其他参与人的类型θ-i，参与人i将选择ai(θi)以最大化自己的期望效用。参与人i的期望效用函数定义为iiiiiiiiiiiiaaupv),);(),(()|(静态贝叶斯博弈定义参与人的类型空间Θi，条件概率p1,…,pn,类型依存战略空间为Ai(θi)，类型依存支付函数ui(ai,a-i;θi)，i=1,…,n。参与人i知道自己的类型θi（属于Θi），条件概率pi=pi(θ-i|θi)描述给定自己属于θi的情况下，参与人i关于其他参与人类型的一个估计。可以用G={Ai;θi;pi;ui;i=1,…,n}表示这个博弈。N人静态贝叶斯博弈战略式表述N人静态贝叶斯博弈的战略式表述给定参与人i只知道自己的类型θi,而不知道其他参与人的类型θ-i，参与人i将选择ai(θi)以最大化自己的期望效用。参与人i的期望效用函数定义为iiiiiiiiiiiiaaupv),);(),(()|(贝叶斯纳什均衡(BayesianNashEquilibrium)N人不完全信息静态博弈的纯战略贝叶斯纳什均衡是一个类型依存的战略组合{ai*,i=1,…,n}，其中每个参与人i在给定自己类型θi和其他参与人类型依存战略a-i*(θ-i)的情况下，最大化自己的期望效用函数vi。贝叶斯纳什均衡(BayesianNashEquilibrium)换言之，战略组合a*=(a1*(θ1),…,an*(θn))是一个贝叶斯纳什均衡，如果对于所有的i，以及ai属于Ai,有下式成立。iiiiiiiiiiiiaiiaaupa),);(),(()|(maxarg)(*类似地，可以定义混合策略贝叶斯纳什均衡。此处从略。均衡的存在形式纳什均衡存在性定理的推广，此处从略。通过海莎尼转换，不完全信息静态博弈就转化成完全但不完美信息博弈贝叶斯纳什均衡(BayesianNashEquilibrium)在不完全信息古诺模型中，参与人的类型是成本函数。假定市场出清价格为P=a-q1-q2,每个企业都有不变的单位成本。令ci为企业i的单位成本，那么，企业i的利润为Zi=qi(a-q1-q2-ci)，i=1,2应用举例1：不完全信息古诺模型假定企业1的单位成本c1是共同知识，企业2的单位成本可能是C2L也可能是C2H。C2LC2H;企业2知道自己的成本是C2L还是C2H，但企业1只知道企业2的成本概率为(p,1-p)；为更具体进行分析，可假设a=2,c1=1,C2L=3/4,C2H=5/4,p=1/2，并记应用举例1：不完全信息古诺模型给定企业2知道企业1的成本，企业2将选择q2，实现利润（记为Z2）的最大化。记a-c2=t.由Z2=q2(t-q1*-q2)，可以求出q2*(q1;t)=(1/2)(t-q1)上式表明，企业2的最优产量不仅依赖于企业1的产量，还依赖于自己的成本。应用举例1：不完全信息古诺模型令q2L为t=5/4时企业2的最优产量，q2H为t=3/4时企业2的最优产量，那么，q2L=（1/2）(5/4-q1);q2H=(1/2)(3/4-q1)企业1不知道企业2的真实成本，因而不知道企业2的最优反应究竟是q2L还是q2H,因此，企业1将选择q1,以最大化下列期望利润（假设效用函数与期望利润函数相同）。应用举例1：不完全信息古诺模型EZ1=(1/2)q1(1-q1-q2L)+(1/2)q1(1-q1-q2H)解最优化一阶条件，得企业1的反应函数为：q1*=(1/2)(1-(1/2)q2L-(1/2)q2H)=(1/2)(1-Eq2)均衡意味着两个反应函数同时成立，解两个反应函数，可得到贝叶斯均衡为q1*=1/3；q2L*=11/24；q2H=5/24作为练习，请与完全信息下的古诺模型产量进行对比。应用举例1：不完全信息古诺模型应用举例2：不完全信息下公共产品的提供两个参与人，i=1,2，同时决定是否提供公共产品，每个参与人面临两个决策：提供(ai=1)或不提供(ai=0)。如果至少有一个人提供，每人至少得到1单位的好处，如果没有人提供，每人得到0单位的支付。参与人提供公共产品的成本是ci。可以用表3-2表示。1-c1,1-c21-c1,11,1-c20,0表3-2公共产品博弈参与人2提供不提供提供不提供参与人1应用举例2：不完全信息下公共产品的提供假定公共产品的好处是共同知识，但每个人提供的成本只有自己知道（提供成本ci是参与人i的类型）。假定ci(i=1,2)具有相同的、独立的定义在[a,b]上的分布函数P(.)，其中a1b，该分布函数是共同知识。该博弈的纯战略ai(ci)是从[a,b]到{0，1}的一个函数，其中0表示不提供，1表示提供。参与人i的支付函数为ui(ai,aj,ci)=max(a1,a2)–aici应用举例2：不完全信息下公共产品的提供贝叶斯均衡是一组战略组合(a1*(.),a2*(.))使得对于每一个i和每一个可能的ci,策略ai*(.)最大化参与人i的期望效用。令zj为均衡状态下参与人j提供的概率。最优化行为意味着，只有当参与人i预期参与人j不提供时，参与人i才会提供。应用举例2：不完全信息下公共产品的提供应用举例2：不完全信息下公共产品的提供因为参与人j不提供的概率是1-zj,参与人i提供的预期收益是1.(1-zj)，因此，只有当ci1-zj时，参与人i才会提供。因此可推出，存在一个分割点mi,当acimi时，参与人i才会提供。同理，存在一个mj,当acjmj时，参与人j才会提供。因为zj=Prob(acjmj)=P(mj)，均衡分割点mi必须满足mi=1-P(mj)，应用举例2：不完全信息下公共产品的提供因为zj=Prob(acjmj)=P(mj)，均衡分割点mi必须满足mi=1-P(mj)比如，如果P(.)是定义在[0，2]上的均匀分布，那么mi=mj=2/3于是当二人成本落在区间