实践课概率计算与决策

1实践课：概率计算与决策11．1随机事件的概率（复习）奉港高级中学杨亢尔教学目的1、复习本节知识要点，进一步了解随机事件概率和等可能事件概率的意义；2、通过对两种常见等可能事件概率的分析和解答，使学生掌握题型和解题方法，提高综合运用概念分析问题和运用知识解决实际问题的能力；3、进一步体会概率的思想方法，培养用概率意识来理解、处理实际问题的能力，培养学习数学的兴趣和理性分析的精神。重点、难点让学生有意识地形成概率意识，并用这种意识来理解客观世界中的实际问题。教学过程师：（复习本节知识要点，多媒体演示）1．事件和事件的概率（1）必然事件：在一定条件下必然要发生的事件；（2）不可能事件：在一定条件下不可能发生的事件；（3）随机事件：在一定条件下可能发生也可能不发生的事件。（4）随机事件的概率：在大量重复进行同一试验时，事件A发生的频率总是接近于某个常数，并在它附近摆动，这时就把这个常数叫做事件A的概率，记作)(AP，特别地，必然事件的概率是1，不可能事件的概率是0.（举例，加深理解）2．等可能事件的概率我们把一次试验连同其中可能出现的每一个结果称为一个基本事件，如果一次试验中可能出现的结果有n个，即此试验有n个基本事件组成，而且所有出现的可能性都相等，那么每一个基本事件的概率都是n1。如果某个事件A包含的结果有m2个，那么事件A的概率nmAP)(，显然1)(0AP。3．从集合的角度看等可能事件的概率在一次试验中，如果等可能出现的结果有n个，我们把这n个结果看成n个元素组成的集合I，包含m个结果的事件A对应于I中含有m个元素的子集A，若分别用)(Icard和)(Acard表示I和A中的元素个数，则nmIcardAcardAP)()()(。师：本节内容概念较多，能否掌握好本节内容，关系到高中概率和统计内容的学习。我们在学习中不能只背条文，必须在理解上下工夫，加深对随机事件概率和等可能事件概率的意义的理解和应用。我们来看下面的问题：假设你正在参加一项游戏节目。在你面前有三扇门，一扇门后面是丰厚的奖金比如说是一台手提电脑，另两扇门后面是安慰奖比方说是一支铅笔，不值多少钱。你当然希望得到手提电脑，但是你并不知道手提电脑在哪扇门的后面。主持人先让你从三扇门中选择一扇，在打开你选择的那扇门之前，他先打开另一扇放着铅笔的门。这总是可以办到的，因为你面前的三扇门中有两扇门的后面是铅笔。现在再给你一次机会：你可以坚持原来的选择，也可以改变主意换到另一扇未打开的门，这时你会怎么做呢？（学生思考、讨论、交流）生1：我坚持原来的选择。师：请说说你的理由。生1：因为当主持人打开放有铅笔的一扇门之后，选择余下任何一扇门的概率都为21，因此不必改变原来的选择。师：赞同这位同学说法的请举手！（多数学生举手）师：说明我们多数同学同意这种观点。我们请没有举手的同学谈谈他们的想法。（教师指定生2、生3回答）生2：我也倾向于坚持原来的选择，又不敢确信，感觉内中似乎藏有“玄机”，但我说3不清楚这样选择的理由。师：这位同学不轻信自己的直觉，敢于怀疑，这种理性思维方式难能可贵！生3：我觉得应该改变选择，换到另一扇未打开的门。师：事实上，你的选择是正确的！众生：啊？！师：能把你的想法跟同学们说说吗？生3：我是这样考虑的，首先把门编上号，1号门，2号门和3号门。假设最初选择的是3号门，在主持人打开一扇有铅笔的门后，如果仍旧坚持原来的选择，那么只有一种情况能获得手提电脑，即3号门后是手提电脑。而我们如果改变选择转移到另一扇门，那么只要手提电脑不在3号门后，就会获奖，即当2号门或1号门后是手提电脑时，有两种情况会获奖。由此，改变选择会使获得手提电脑的概率大一倍，所以我认为应该改变原来的选择。众生：哇！原来如此！师：从大家的赞叹声中可以看出，改变原来的选择实在是一种明智之举。刚才我们讨论的就是著名的蒙蒂-霍尔问题。蒙蒂-霍尔问题与美国70年代非常流行的一档电视节目“公平交易”（Let’sMakeaDeal）有关，节目主持人就是蒙蒂-霍尔（MontyHall），他经常耍一些戏法难为嘉宾。其中一个游戏的规则是这样的：几对夫妇共同参加一项比赛，比赛最后只留下一对夫妇，而奖品则放在三扇门中的一扇门后面，它们能否获得奖品，就要看他们能否选择到有奖品的门。和上面提出的问题情境一样，主持人给嘉宾两次选择的机会。他们或者坚持最初的选择，或者改变主意换到另一扇门，问题是采取哪种策略获得奖品的概率更大？显然，前面提出的问题就是蒙蒂-霍尔这个戏法的翻版。为了表示对这位著名游戏主持人的尊重，后来人们就用他的名字命名了这个问题。为什么多数同学在这个问题上出现了失误呢？仔细分析不难发现，原因在于这些同学没能理解主持人展示铅笔其实提供了重要的信息。我们注意到最初选择到手提电脑的概率是1/3，即使在主持人向你打开一扇有铅笔的门后，这个概率也不会变，因此另一扇未打开的门后是手提电脑的概率就是2/3，这样改变选择使你中奖的概率增加了一倍。事实上，4这样简单的一个概率问题曾使许多人陷入迷惘，其中竟然包括一些著名的数学家。蒙蒂-霍尔问题的变式很多，我给大家准备了一个简单的变式，请同学们课后尝试。这个事例也告诉我们，要仔细分析，积极参与对事件发生概率的感受和探索，丰富对等可能事件的体验，增强对概率背景的感性认识，积累经验，进一步了解概率的意义和思想方法。我们再来看下面的两个例题。例1一袋中装有大小相同的m个黑球和n个白球，从中逐一取球，求第k次取出的球恰为黑球的概率(nmk1)。师：不妨设事件A“第k次取出的球恰为黑球”，请同学们思考，题中“从中逐一取球”应如何理解？袋中每个球有无区别？是否将所有的球都取出？（学生思考，分组讨论、交流，推选代表发言）生4：我们认为应该将袋中每个球均视为有区别，且将球全部取出，以全部取得球确定的编号顺序为一基本事件，则其基本件总数相当于nm个球的全排列)!(nm，而事件A表示在第k个位置放一个黑球，其余位置则是1nm个球的全排列，其包含的基本事件数为)!1(nmm，因此nmmnmnmmAP)!()!1()(。生5：我们组的解法与他们不同，视同色球间无区别，将球全部取出相当于将nm个球放入nm个“格子”，这样本题的基本事件可看成nm个格子中任意放入m个黑球，其余都放白球，从而基本事件总数为mnmC，事件A则要求在第k个格子中放一个黑球，其余各个格子可任意放球，因此事件A包含的基本事件数为11mnmC，所以nmmCCAPmnmmnm11)(。生6：我们认为不必把所有的球都取出，只需考虑取前k次取球，如果把从nm个球中任取k个放在前k个位置作为一个基本事件，则基本事件总数为knmA，而事件A包含的基本事件数则为11knmmA，所以nmmAmAAPknmknm11)(。5生7：我们的解法比他们更简单。由于每一个球都以同样的可能性被第k次取到，而且当某个黑球在第k次出现时事件A发生，因此，只要以第k次取得的效果为基本事件，则基本事件总数为nm，而事件A包含的基本事件数为m，所以nmmAP)(。师：好极了！以上四种解法虽然路径不同，但得出的结果却完全一致，可说是殊途同归。这些同学分别以全部取出和部分取出、同色球按有区别和无区别进行分类，构建了恰当且比较简洁的基本事件空间，使我们能很快且准确地求得对应事件的概率。对于等可能事件的概率，要善于把握基本事件及基本事件空间的不同构建，这一点需要我们在学习过程中不断深入体会。本题的结果也表明，取得黑球的概率与取球的先后顺序无关，这个结论与我们日常生活的经验是一致的。如体育比赛中进行的抽签对各队的机会是均等的，与抽签的先后次序无关；再如，如果我们把黑球看作有奖的奖券，把白球看作无奖的奖券，就得到了我们熟悉的抽签、抓阄的数学模型，由于第k次摸出黑球的概率与k的值无关，因此，我们可以说，“抽签有先后，但对每一个人都是公平的”。当然，如果后抽的人知道了先抽人抽出的结果，那么抽签者中签的概率就不一样了。有关这方面的知识，同学们可以参阅本章第145页上的阅读材料“抽签有先后，对各人公平吗？”例2现有n个不同的球，每个球都以相同的概率落入)(NnN个格子的某一格子中，试求下列事件的概率：（1）A=“指定的n个格子中各有一个球”；（2）B=“恰有n个格子，其中各有一个球”；（3）C=“某指定格子中恰有)(nmm个球”。(学生思考、交流、探讨，教师简要分析，引导学生解答)分析：由于每个球均以相同的概率落入某一格子中，所以每一球落入格子是等可能的，即每一球有N种不同的去向，n个不同的球，以相同的概率等可能地落入N个格子的某一格子中，相当于从N个元素中选取n个元素的重复排列，故基本事件总数为nN。生8：对于事件A，n个不同的球落入事先指定的n个格子中，相当于n个球的全排列，6所以事件A包含的基本事件数为nnA，故nnnnNnNAAP!)(；生9：对于事件B，n个格子可在N个格子中任意选取，有nNC种选法，对于每种选定的n个格子又包含!n个基本事件，故)!(!!)(nNNNNANnCBPnnnNnnN；生10：对于事件C，该指定格子中的m个球可从n个不同球中选取，有mnC种选法，另外的mn个球可落入1N个格子，共有mnN)1(种去向，因此事件C包含的基本事件数为mnmnNC)1(，故mnmmnnmnmnNNCNNCCP)11()1()1()(。师：很好！通过大家的共同努力，我们完美地解答了上述例题，请同学们观测)(CP的值，当n和N确定时，)(CP恰好是二项展开式nNN]1)11[(的第1m项，且有nmCP0)(nmnmnmmnNNNNC01)111()11()1(，我们可以从概率意义出发给予解释：对于某个指定的格子而言，落入格子的球数不外是0，1，2，…，n，由于这1n种情形的和事件为必然事件，所以其概率和为1。顺便提一下，)(CP叫n次独立重复试验恰好发生m次的事件的概率，我们将在后面的学习中碰到。【评注】虽然学生尚未学过独立重复试验概型和互斥事件的概率，作为教师，应该对教学内容从整体加以把握，而不囿于书本知识的章节安排。这样处理，既能拓展学习内容、挖掘例题功能，也为下一步学习作适当的铺垫，值得一试。师：像这样，将n个球放入N个格子，是一种理想意义下的概率模型，常常称之为“入格问题”，又称“分房问题”，即把n个人等可能地分到N间房中，处理此类问题的关键是将球（或人）一个一个地往格子（房间）里放，在处理实际问题时，要分清什么是“人”，什么是“房间”，切不可颠倒，此概率模型可帮助我们解决许多貌异质同的实际问题。如：我们高二（9）班有12位女同学出生于1988年，请同学们就这12位同学“生日问题”7编拟题目并加以解答（一年按365天计算）。生11：求12个人生日互不相同的概率，就是把12n个人等可能地放入到365N个“格子”中，且每个“格子”中最多放一人，因此基本事件总数为12365，由于12个人生日互不相同，所包含的事件数为12365A，故概率12123651365AP。生12：求12人中有2人生日在十月一日的概率，就是把12n个人等可能地放入到365N个“格子”中，其中某指定的“格子”（十月一日）恰有2m个人，其概率为1022122)365364()3651(CP。师：很好！这两位同学实际上构建了例2中的事件B、C并计算其概率，如果本题某事件A的概率是1212123365AP，你能说说事件A表示的实际意义吗？生13：对照例2第（1）小题，事件A表示“某指定的12天各有一位同学生日”，比如说她们分别出生在该年每月的第1天。（全班同学笑）师：大家的笑声是不是说这位同学的“比如”不太可能发生？众生：对！师：那么，如果我说这12位同学分别出生在1月6日、3月17日、3月25日、……（这12位同学的实际生日），你的感觉又如何呢？难道两者的概率不一样吗？当然这12位同学的实际生日只能是这1212A种