《高考调研》2015届高考数学总复习(人教新课标理科)配套课件：专题研究 数列的求和

专题讲解课时作业新课标版·高三数学（理）高考调研专题研究二数列的求和专题讲解课时作业新课标版·高三数学（理）高考调研专题讲解课时作业新课标版·高三数学（理）高考调研例1(1)数列1，12，2，14，4，18，…的前2n项和S2n＝________.【解析】S2n＝(1＋2＋4＋…＋2n－1)＋(12＋14＋18＋…＋12n)＝2n－1＋1－12n＝2n－12n.【答案】2n－12n专题讲解课时作业新课标版·高三数学（理）高考调研(2)求和：1＋11＋2＋11＋2＋3＋…＋11＋2＋…＋n.【解析】设数列的通项为an，则an＝2nn＋1＝2(1n－1n＋1)，∴Sn＝a1＋a2＋…＋an＝2[(1－12)＋(12－13)＋…＋(1n－1n＋1)]＝2(1－1n＋1)＝2nn＋1.【答案】2nn＋1专题讲解课时作业新课标版·高三数学（理）高考调研探究1将数列中的每一项拆成几项，然后重新分组，将一般数列求和问题转化为特殊数列的求和问题，我们将这种方法称为通项分解法，运用这种方法的关键是通项变形．思考题1求数列0.9,0.99,0.999，…，0.99…9…n个9前n项的和Sn.【答案】Sn＝n－19(1－0.1n)专题讲解课时作业新课标版·高三数学（理）高考调研例2求和：(1)Sn＝11×3＋12×4＋…＋1nn＋2.【解析】Sn＝121－13＋12－14＋…＋1n－1n＋2＝121＋12－1n＋1－1n＋2＝34－2n＋32nn＋2.【答案】Sn＝34－2n＋32nn＋2专题讲解课时作业新课标版·高三数学（理）高考调研(2)(2011·课标全国)已知等比数列{an}的各项均为正数，且2a1＋3a2＝1，a23＝9a2a6.①求数列{an}的通项公式；②设bn＝log3a1＋log3a2＋…＋log3an，求数列{1bn}的前n项和．专题讲解课时作业新课标版·高三数学（理）高考调研【解析】①设数列{an}的公比为q.由a23＝9a2a6，得a23＝9a24.所以q2＝19.由条件可知q0，故q＝13.由2a1＋3a2＝1，得2a1＋3a1q＝1，所以a1＝13.故数列{an}的通项公式为an＝13n.专题讲解课时作业新课标版·高三数学（理）高考调研②bn＝log3a1＋log3a2＋…＋log3an＝－(1＋2＋…＋n)＝－nn＋12.故1bn＝－2nn＋1＝－2(1n－1n＋1)．1b1＋1b2＋…＋1bn＝－2[(1－12)＋(12－13)＋…＋(1n－1n＋1)]＝－2nn＋1.所以数列{1bn}的前n项和为－2nn＋1.【答案】①an＝13nSn＝②－2nn＋1专题讲解课时作业新课标版·高三数学（理）高考调研探究2裂项相消法求和就是将数列中的每一项拆成两项或多项，使这些拆开的项出现有规律的相互抵消，看有几项没有抵消掉，从而达到求和的目的．专题讲解课时作业新课标版·高三数学（理）高考调研思考题2已知直线(3m＋1)x＋(1－m)y－4＝0所过定点的横、纵坐标分别是等差数列{an}的第一项与第二项，若bn＝1an·an＋1，数列{bn}的前n项和为Tn，则T10＝()A.921B.1021C.1121D.2021专题讲解课时作业新课标版·高三数学（理）高考调研【解析】依题意，将(3m＋1)x＋(1－m)y－4＝0化为(x＋y－4)＋m(3x－y)＝0，令x＋y－4＝0，3x－y＝0，解得x＝1，y＝3，所以直线(3m＋1)x＋(1－m)y－4＝0过定点(1,3)，所以a1＝1，a2＝3，公差d＝2，an＝2n－1，bn＝1an·an＋1＝12(12n－1－12n＋1)．T10＝12×(11－13＋13－15＋…＋120－1－120＋1)＝12×(11－121)＝1021.故选B.【答案】B专题讲解课时作业新课标版·高三数学（理）高考调研【思路】数列1,3,5，…，2n－1成等差数列，数列12，14，18，…，12n组成等比数列，此例利用错位相减法可达目的．例3求和：Sn＝1×12＋3×14＋5×18＋…＋2n－12n.【解析】∵Sn＝1×12＋3×14＋5×18＋…＋(2n－1)×12n，①∴12Sn＝1×14＋3×18＋…＋(2n－3)×12n＋(2n－1)×12n＋1.②专题讲解课时作业新课标版·高三数学（理）高考调研【答案】Sn＝3－2n＋32n①－②，得12Sn＝1×12＋2×14＋2×18＋…＋2×12n－(2n－1)×12n＋1＝1×12＋2×14－2×12n＋11－12－(2n－1)×12n＋1＝32－2n＋32n＋1.∴Sn＝3－2n＋32n(n∈N*)．专题讲解课时作业新课标版·高三数学（理）高考调研探究3(1)如果一个数列的各项是由一个等差数列与一个等比数列对应项乘积组成，此时求和可采用错位相减法．(2)运用错位相减法求和，一般和式比较复杂，运算量较大，易会不易对，应特别细心，解题时若含参数，要注意分类讨论．专题讲解课时作业新课标版·高三数学（理）高考调研思考题3已知等差数列{an}满足a2＝0，a6＋a8＝－10.(1)求数列{an}的通项公式；(2)求数列{an2n－1}的前n项和．【解析】(1)设等差数列{an}的公差为d，由已知条件可得a1＋d＝0，2a1＋12d＝－10，解得a1＝1，d＝－1.故数列{an}的通项公式为an＝2－n.专题讲解课时作业新课标版·高三数学（理）高考调研(2)设数列{an2n－1}的前n项和为Sn，即Sn＝a1＋a22＋…＋an2n－1，故S1＝1，Sn2＝a12＋a24＋…＋an2n.所以，当n1时，Sn2＝a1＋a2－a12＋…＋an－an－12n－1－an2n＝1－(12＋14＋…＋12n－1)－2－n2n＝1－(1－12n－1)－2－n2n＝n2n.专题讲解课时作业新课标版·高三数学（理）高考调研所以Sn＝n2n－1.综上，数列{an2n－1}的前n项和Sn＝n2n－1.【答案】(1)an＝2－n(2)Sn＝n2n－1专题讲解课时作业新课标版·高三数学（理）高考调研例4已知数列{an}的前n项和Sn＝(n－1)·2n＋1，是否存在等差数列{bn}，使an＝b1C1n＋b2C2n＋…＋bnCnn对一切自然数n均成立？【解析】由公式an＝S1Sn－Sn－1n＝1，n≥2，依条件先求出an的通项，再由倒序相加法得出结论．当n＝1时，a1＝S1＝1；当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝(n－1)·2n＋1－(n－2)·2n－1－1＝2n－1·(2n－2－n＋2)＝n·2n－1.专题讲解课时作业新课标版·高三数学（理）高考调研因a1＝1满足n≥2时an的式子，∴an＝n·2n－1(n∈N*)．假设存在等差数列{bn}满足条件，设b0＝0，且{bn}(n∈N*)仍成等差数列，则an＝b0C0n＋b1C1n＋b2C2n＋…＋bnCnn，①倒序，得an＝bnCnn＋bn－1Cn－1n＋bn－2Cn－2n＋…＋b0C0n.②专题讲解课时作业新课标版·高三数学（理）高考调研①，②相加，得2an＝(b0＋bn)·C0n＋(b1＋bn－1)C1n＋…＋(bn＋b0)Cnn＝(b0＋bn)(C0n＋C1n＋…＋Cnn)＝bn·2n.∴an＝bn·2n－1.令bn＝n，显然n＝0时，b0＝0，故存在等差数列{bn}满足已知等式．【答案】存在，bn＝n专题讲解课时作业新课标版·高三数学（理）高考调研探究4如果一个数列{an}，与首末两项等距离的两项之和等于首末两项之和，可采用把正着写与倒着写的两个和式相加，就得到一个常数列的和，这一求和方法称为倒序相加法．专题讲解课时作业新课标版·高三数学（理）高考调研思考题4设f(x)＝x21＋x2，求f(12011)＋f(12010)＋…＋f(1)＋f(2)＋…＋f(2011)．【解析】∵f(x)＝x21＋x2，∴f(x)＋f(1x)＝1.令S＝f(12011)＋f(12010)＋…＋f(1)＋f(2)＋…＋f(2011)．①则S＝f(2011)＋f(2010)＋…＋f(1)＋f(12)＋…＋f(12011)．②①＋②，得2S＝1×4021＝4021，所以S＝40212.【答案】40212专题讲解课时作业新课标版·高三数学（理）高考调研课时作业（三十八）