随机型存贮模型

随机型存贮模型10．3．1(s，S)策略存贮模型现在我们假设供需过程可以分成若干阶段（每个阶段的时间长度相同，例如一个月或者一周），拖后时间L为零，每个阶段对存贮货物的需求量u是一个随机变量。如果对于不同的阶段来说，销售、需求只是一种重复性的活动，我们就只要研究一个阶段的存储问题就可以了，因此称它为单阶段的随机存储模型，采用（s，S）策略。现设u是一个离散型的随机变量，它取的数值分别为0≤i1i2…im。u的概率分布为KKpiuP)(，k=1，2，…，m，自然，应有mKKp1=1。在每阶段初检查库存，若发现库存量低于规定的数量s，就立即补充并把库存量提高到规定的数值S。在下面讨论中，我们就以一个阶段的时间长度作为单位时间。（1）S值的确定。设在阶段初未进货时的库存量为g，阶段初补充的数量为Q，因而补充后的库存量Qgy。假设这阶段的存贮费按这阶段末的库存量来计算，我们就可算得这阶段存贮费的期望值为yiKKKpiyb)(。假设这阶段缺货损失费也按这阶段末的缺货量来计算，于是我们可算得这阶段缺货损失费的期望值为yiKKKpyic)(。因此，这个阶段(单位时间)内总费用的期望值为eQa+yiKKKpiyb)(+yiKKKpyic)(。我们采用边际分析法来确定S的值。现设阶段初进货后库存量为y件是合理的，我们来分析一下再多进一件货物而使库存量为y+l件的合理性。对于多进的这一件货物，实际需要用它的概率为1-yiKKp，费用为购置费e；实际不需用它的概率为yiKKp，费用为购置费e与存贮费b之和e+b。所以多进这件货物的费用期望值为e(1-yiKKp)+(e+b)yiKKp。若不多进这件货物，则需承担的缺货费的期望值为c(1-yiKKp)。所谓多进一件货物是合理的，是指相应的费用期望值小于不进这件货物时的费用期望值，即e(1-yiKKp)+(e+b)yiKKpc(1-yiKKp)。也就是yiKKpbcec。（10—14）因此，S应是满足上述不等式的最大的y值再加1，或者是满足下列不等式的最小的yyiKKp≥bcec。（10—15）但是u的取值集合为{i1，…，ij，…，im}，故y应取满足上述不等式的最小ij。（2）s值的确定。设阶段初库存量为y，而且决定不进货。于是，当这阶段的实际需要量低于y时，要支付存贮费；当实际需要量高于y时，要承担缺货费．因而这阶段内总费用的期望值为yiKKKpiyb)(+yiKKKpyic)(。若阶段初库存量为y，现决定补充货物，把库存量提高到s。这时，这阶段总费用的期望值为)(ySea+SiKKKpiSb)(+SiKKKpSic)(。若不进货时的费用期望值小于进货时的费用期望值，即下列不等式成立，则不进货是合理的yiKKKpiyb)(+yiKKKpyic)(≤)(ySea+SiKKKpiSb)(+SiKKKpSic)(,（10—16）所以s为满足下列不等式的最小y值。yiKKKpiyb)(+yiKKKpyic)(+ey≤eSa+SiKKKpiSb)(+SiKKKpSic)(。（10—17）这一计算s值的公式虽比计算S的公式复杂些，但并非象看上去的那样困难。当S确定后，该不等式右端的数值即可求得。不难发现，当y=S时，该不等式一定成立，故这个不等式的解总存在。我们对y=1i，y=2i，…，y=S逐个计算该不等式左端的值，并与右端的值进行比较，使不等式成立的最小y值就是s。例10—6某企业对于某种材料每月需求量的概率分布如下：需求量ik(吨)30405060P(u=ik)=pk0．20．20．40．2每次订货费为60元，每月每吨存贮费为40元，每月每吨缺货费为1015元，每吨材料的购置费为800元。该企业欲采用(s，S)策略来控制库存量，请求出s和S之值。解先建立下表：需求量iki1=30i2=40i3=50i4=60P(u=ik)=pk0．2020．40．2kjjp10．20．40．81现在bcec=4010158001015=0．204，从上表观察可知，40KiKp=0．40．204，则根据公式(10—15)得，S=40吨。计算公式(10—17)的右端，得60+800×40+40×(40-30)×0．2+1015×(50-40)×0．4+1015×(60-40)×0．2=40．26取y=30,计算公式（10—17）的左端，得40×(30-30)×0．2+1015×(40-30)×0．2+1015×(50-30)×0．4+1015×(60-30)×0．2+800×30=40．24，由于40．2440．26，所以s=30。即该企业采取（30，40）策略。在实际使用这种存贮策略时，如存贮不易清点，因而实际存贮量很难随时得知时，可将存贮货物分两堆存放。一堆数量为β，其余的另放一堆。平时从后一堆取货以满足需求。当后一堆取完，需要动用前一堆时，期末就订货；如至期末，前一堆仍未动用，则本阶段不订货。因此，这种存贮策略俗称双堆法(或两堆法)。10．3．2（q，Q）策略存贮模型（q，Q）策略的基本内容是：对库存水平进行连续检查，当库存水平减少到订购点q以下时，提出订购量为Q的订货请求，经过拖后时间L后，数量为Q的货物一定入库。应用该策略的存贮模型需要寻求订货点q和订购批量Q。这个存贮模型具有下列几点基本假设。（1）拖后时间L(L0)为固定常数。在拖后时间内，需求量为随机变量X，其概率密度函数)(xr为已知，且数学期望)(XE=。（2）在拖后时间L结束前，当实际需求量超过q时，允许出现缺货现象。当库存量减少到零以后，将未能满足需求的缺货积累起来，待到货后再补交，也就是说它为缺货有预约。（3）每次订购费为a，单位时间内单位货物的存贮费为b，单位时间内单位货物的缺货费为c。该模型存储状态变化如图10-7和图10-8所示。图10–7图10-8从图10-7可以看出，虽然每次的订货批量Q及拖后时间L均保持不变，但相继两次补充的时间间隔t却并不一定相等。同时可以看到，补充进货后的库存水平也不一定相等。我们来考虑单位时间内货物存储的平均总费用f。显然，同前面模型一样，f=订购费+存储费+缺货费。由于模型中存在随机变量，所以我们关心f的数学期望)(fE。如果假设单位时间需求量为随机变量u，则u的数学期望)(uE与拖后时间L内需求量X的数学期望)(XE=之间有如下关系式=L)(uE。现每次订货批量为Q，则单位时间订货次数的期望值为)(uE/Q=/LQ，于是单位时间订购费的数期望值LQa/。从存储状态图10–7中可以看出，缺货情况只可能出现在拖后时间L这段时间内，而这段时间开始时有存货量q，实际需求量为随机变量X，因此缺货量也为随机变量，则当X≤q时，缺货量为零；Xq时，缺货量为(X-q)。则在拖后时间L内缺货量的期望值为qqdxxrqxdxxr)()()(00=qdxxrqx)()(因为单位时间内订货次数的期望值为/LQ，则单位时间内缺货费用的期望值为LQc/。存储费用的分析同确定型模型相似。由图10-8知，在订货周期t内的存储量为一个梯形面积。该梯形的左边边长的期望值为Q+q–，梯形的右边边长的期望值为q–，因此，梯形的面积为（Q+q–+q–）t/2。于是单位时间存储费的期望值e(Q/2+q–)。从而，我们求得单位时间内货物存储的总平均费用的期望值)(fE=LQa/+e(Q/2+q–)+LQc/。与前面方法相同，将上式分别对q和Q求一阶偏导，令其等于零，解方程组得：bLcauQ)(2；（10—18）qdxxr)(=cbQL,（10—19）其中，=qdxxrqx)()(（10—20）但是，在Q和q的计算公式中，因包含有相互关联的未知量，而不能直接求出最终结果，为此采用逐步逼近的迭代法求解。具体算法步骤如下。（1）令0=0，0Q=+∞，0q=+∞，k=1；（2）取=1k，代入式（10—18），计算kQ；（3）取Q=kQ，代入式（10—19），计算kq；（4）取q=kq，代入式（10—20），计算k；（5）判断|kQ–1kQ|1、|kq–1kq|2是否成立?是，则kQ和kq即为所求的最优订购批量和最优订购点，算法终止；否，则取1kk，转步骤（2）继续计算。在这个算法中，的计算比较困难。在实际问题中，拖后时间L内的需求量X多数服从正态分布N(，2)。不失一般性，我们给出正态分布情况下的计算方法。由概率论知，若随机变量Y服从正态分布N(0,1)，概率密度函数为)(x。=22121xe，分布函数为）（x0；随机变量Z服从正态分布N(，2)，概率密度函数为)(x=2)(2121xe，分布函数为）（x，则有)(x=）（x01，）（x=)(0x。我们令d=cbQL=qdxx)(，并把写成下列形式：=qdxxqx)()(qqdxxqdxxx)()()()(，其中，第二项=)(qqdxx)(=)(qd；若令y=x，则第一项=qdxxx)()(0=qdyyy)(0=qydyey222=222yeq=）（q0于是，=）（q0+)(qd。（10—21）其中d=bQL/cµ。（10-22）所以，当q、Q给定并计算d后，可以通过查标准正态分布表来计算。我们再指出：)(0q=）（q=1–qdxx)(=1–d，（10—23）Q给定并计算（1–d）后，通过查表求得q。例10—7某宾馆与一家饮料公司签订了长期订购瓶装矿泉水的合同。合同规定，每次订货的提前时间为3天，在此之间，宾馆的需求呈正态分布，其均值为1000瓶，标准差为250瓶。一次订货的手续费为100元，存储费用是每月每瓶0．15元，假定拖后时间内的缺货在下次到货后要补齐，缺货损失费用为每瓶l元。试根据上述条件确定最佳订货批量和最佳订货点(假定一个月为30天)。解本问题的单位时间为月。由已知条件可知：=1000瓶，=250瓶，L=0.1月，a=100元，b=0.15元，c=1元。（1）k=1：取0=0，由式（10—18）和（10—22）有bLaQ21=115.0100100023651．5cLbQd1=100011.05.365115.00．0548，由式（10—23）知，)(10q=0．9452，查表得6.125010001q，则1q=1400。由式（10—21）知，1=250×)6.1(0+0．0548×（1000-1400）=250×0．1109-0．0548×400=5．81（2）k=2：有bLcaQ)(212=1.015.0)81.51100(100023756，cLbQd2=100011.0375615.00．05634，由式（10—23）知，)(20q=0．94366，查表得586.125010002q，则2q=1396．5。由式（10—21）知，2=250×)586.1(0+0．05634×（1000-1396．5）=250×0．113-0．05634×396．5=5．91。（3）k=3：可知3Q3759，3q=1396．6，3=6。迭代至此结束，因为3Q和3q的变化都已相当小。所以，我们取最佳订购批量*Q=3760瓶，最佳订购点*q=1370瓶。事实上，由于需求的变化受到社会、经济等多种因素的综合影响，常常独立于人们的主观控制能力以外，因此其在数量上、时间上一般无法精确确定，而其呈现出的随机性却使库存控制变得复杂和困难。所以，为了探讨研究存储问题