2015年春,九年级下册人教版,28.2解直角三角形,(第2课时)

仰角与俯角在直角三角形中,除直角外,由已知两元素求其余未知元素的过程叫解直角三角形.1.解直角三角形(1)三边之间的关系:a2＋b2＝c2（勾股定理）；2.解直角三角形的依据(2)两锐角之间的关系:∠A＋∠B＝90º；(3)边角之间的关系:ＡＣＢabctanA＝absinA＝accosA＝bc(必有一边)ABC┌如图，Rt△ABC中，∠C=90°，（1）若∠A=30°，BC=3，则AC=（2）若∠B=60°，AC=3，则BC=（3）若∠A=α°，AC=3，则BC=（4）若∠A=α°，BC=m，则AC=3333tantanm例：2003年10月15日“神舟”5号载人航天飞船发射成功．当飞船完成变轨后，就在离地球表面350km的圆形轨道上运行．如图，当飞船运行到地球表面上P点的正上方时，从飞船上最远能直接看到地球上的点在什么位置？这样的最远点与P点的距离是多少？（地球半径约为6400km，结果精确到0.1km）分析：从飞船上能最远直接看到的地球上的点，应是视线与地球相切时的切点．·OQFPα如图，⊙O表示地球，点F是飞船的位置，FQ是⊙O的切线，切点Q是从飞船观测地球时的最远点．弧PQ的长就是地面上P、Q两点间的距离，为计算弧PQ的长需先求出∠POQ（即a）解：在图中，FQ是⊙O的切线，△FOQ是直角三角形．54.18a∴弧PQ的长为.207164003236.0640018054.18当飞船在P点正上方时，从飞船观测地球时的最远点距离P点约2071km·OQFPα∵COSa==OQOF64006400+350≈0.9481铅垂线水平线视线视线仰角俯角在进行观察或测量时，仰角和俯角从上往下看，视线与水平线的夹角叫做俯角.从下向上看，视线与水平线的夹角叫做仰角；例:热气球的探测器显示，从热气球看一栋高楼顶部的仰角为30°，看这栋高楼底部的俯角为60°，热气球与高楼的水平距离为120m，这栋高楼有多高（结果精确到0.1m）分析：我们知道，在视线与水平线所成的角中视线在水平线上方的是仰角，视线在水平线下方的是俯角，因此，在图中，a=30°,β=60°Rt△ABC中，a=30°，AD＝120，所以利用解直角三角形的知识求出BD；类似地可以求出CD，进而求出BC．ABCDαβ仰角水平线俯角解：如图，a=30°,β=60°，AD＝120．ADCDADBDatan,tan30tan120tanaADBD3403312060tan120tanADCD312031203120340CDBDBC1.2773160答：这栋楼高约为277.1mABCDαβ1、建筑物BC上有一旗杆AB，由距BC40m的D处观察旗杆顶部A的仰角50°，观察底部B的仰角为45°，求旗杆的高度（精确到0.1m）ABCD40m54°45°ABCD40m50°45°解：在等腰三角形BCD中∠ACD=90°BC=DC=40m在Rt△ACD中tanACADCDC所以AB=AC－BC=47.7－40=7.7答：棋杆的高度为7.7m.同步练习∴AC=DC×tan∠ADC∵7.474019.14050tan2、在旧城改造中，要拆除一烟囱AB，在地面上事先划定以B为圆心，半径与AB等长的圆形危险区，现在从离B点21米远的建筑物CD顶端C测得A点的仰角为45°，到B点的俯角为30°，问离B点30米远的保护文物是否在危险区内？（约等于1.732）330°45°BACDE同步练习解题步骤小结1、首先要弄清题意，结合实际问题中的示意图分清题目中的已知条件和所求结论。2、找出与问题有关的直角三角形，或通过作辅助线构造有关的直角三角形，把实际问题转化为解直角三角形的问题。3、合理选择直角三角形的元素之间的关系求出答案。45°30°OBA200米合作与探究例：如图，直升飞机在高为200米的大楼AB上方P点处，从大楼的顶部和底部测得飞机的仰角为30°和45°，求飞机的高度PO.LUD答案:米)3003100(P合作与探究例：如图，直升飞机在高为200米的大楼AB上方P点处，从大楼的顶部和底部测得飞机的仰角为30°和45°，求飞机的高度PO.45°30°POBA200米C合作与探究45°30°POBA200米C例：如图，直升飞机在高为200米的大楼AB上方P点处，从大楼的顶部和底部测得飞机的仰角为30°和45°，求飞机的高度PO.合作与探究例：如图，直升飞机在高为200米的大楼AB上方P点处，从大楼的顶部和底部测得飞机的仰角为30°和45°，求飞机的高度PO.45°30°POBA200米C200米POBA45°30°D答案:米)3100300(合作与探究变题2：如图，直升飞机在高为200米的大楼AB左侧P点处，测得大楼的顶部仰角为45°,测得大楼底部俯角为30°，求飞机与大楼之间的水平距离.45°30°200米POBD归纳与提高45°30°PA200米CBO45°30°45060°45°20020045°30°βαABOPABOP30°45°450利用视角解直角三角形1．(5分)如图，某飞机于空中A处探测到地面目标B，此时从飞机上看目标B的俯角α＝30°，飞行高度AC＝1200米，则飞机到目标B的距离AB为_．,第1题图),第2题图)2．(5分)如图所示，小华同学在距离某建筑物6m的点A处测得广告牌B点、C点的仰角分别为52°和35°，则广告牌的高度BC为_．(精确到0.1m)(sin35°≈0.57，sin52°≈0.79，cos35°≈0.82，cos52°≈0.62)3．(5分)(2014·百色)从一栋二层楼的楼顶点A处看对面的教学楼，探测器显示，看到教学楼底部点C处的俯角为45°，看到楼顶部点D处的仰角为60°，已知两栋楼之间的水平距离为6米，则教学楼的高CD是()A．(6＋63)米B．(6＋33)米C．(6＋23)米D．12米2400米3.5mA4．(5分)如图，山顶有一座电视塔，在地面上一点A处测得塔顶B处的仰角α＝60°，在塔底C处测得A点俯角β＝45°，已知塔高60米，则山高CD等于()A．30(1＋3)米B．30(3－1)米C．30米D．(303＋1)米5．(5分)如图，从热气球C处测得地面A，B两点的俯角分别是30°，45°，如果此时热气球C处的高度CD为100米，点A，D，B在同一直线上，则AB两点的距离是()A．200米B．2003米C．2203米D．100(3＋1)米,第5题图),第6题图)6．(5分)(2013·绵阳)如图，在两建筑物之间有一旗杆，高15米，从A点经过旗杆顶点恰好看到矮建筑物的墙角C点，且俯角α为60°，又从A点测得D点的俯角β为30°，若旗杆底点G为BC的中点，则矮建筑物的高CD为()A．20米B．103米C．153米D．56米ADA7．(10分)(2014·内江)“马航事件”的发生引起了我国政府的高度重视，迅速派出了舰船与飞机到相关海域进行搜寻．如图，在一次空中搜寻中，水平飞行的飞机观测得在点A俯角30°方向的F点处有疑似飞机残骸的物体(该物体为静止)．为了便于观察，飞机继续向前飞行了800米到达B点，此时测得点F在点B俯角为45°的方向上，请你计算当飞机飞临F点的正上方点C时(点A，B，C在同一直线上)，竖直高度CF约为多少米？(结果保留整数，参考数值：3≈1.7)解：∵在Rt△CBF中，∠CBF＝45°，∴tan45°＝CFBC＝1，∴BC＝CF，设CF的长为x米，则AC＝800＋x，在Rt△ACF中，CFAC＝tan∠CAF＝tan30°＝33，∴x800＋x＝33，解得x＝4003＋400≈1080(米)，所以竖直高度CF约为1080米．一、选择题(共10分)8．如图，某同学在楼房的A处测得荷塘的一端B处的俯角为30°，荷塘另一端D与点C，B在同一条直线上，已知AC＝32米，CD＝16米，则荷塘宽BD为(取3≈1.73，结果保留整数)()A．36米B．37米C．38米D．39米,第8题图),第9题图)二、填空题(共10分)9．(2013·十堰)如图，在小山的东侧A点有一个热气球，由于受西风的影响，以30米/分的速度沿与地面成75°角的方向飞行.25分钟后到达C处，此时热气球上的人测得小山西侧B点的俯角为30°，则小山东西两侧A，B两点间的距离为__米．D7502三、解答题(共40分)10．(12分)(2014·河南)在中俄“海上联合－2014”反潜演习中，我军舰A测得潜艇C的俯角为30°，位于军舰A正上方1000米的反潜直升机B测得潜艇C的俯角为68°，试根据以上数据求出潜艇C离开海平面的下潜深度．(结果保留整数，参考数据：sin68°≈0.9，cos68°≈0.4，tan68°≈2.5，3≈1.7)解：过点C作CD⊥AB，交BA的延长线于点D，则AD即为潜艇C的下潜深度，根据题意得：∠ACD＝30°，∠BCD＝68°，设AD＝x，则BD＝BA＋AD＝1000＋x，在Rt△ACD中，CD＝ADtan∠ACD＝xtan30°＝3x，在Rt△BCD中，BD＝CD·tan68°，∴1000＋x＝3x·tan68°，解得：x＝10003·tan68°－1＝10001.7×2.5－1－1≈308米，∴潜艇C离开海平面的下潜深度为308米11．(13分)(2014·黔东南州)黔东南州某校九年级某班开展数学活动，小明和小军合作用一副三角板测量学校的旗杆，小明站在B点测得旗杆顶端E点的仰角为45°，小军站在点D测得旗杆顶端E点的仰角为30°，已知小明和小军相距(BD)6米，小明的身高(AB)1.5米，小军的身高(CD)1.75米，求旗杆的高EF的长．(结果精确到0.1，参考数据：2≈1.41，3≈1.73)解：过点A作AM⊥EF于M，过点C作CN⊥EF于N，∴MN＝0.25m，∵∠EAM＝45°，∴AM＝ME，设AM＝ME＝xm，则CN＝(x＋6)m，EN＝(x－0.25)m，∵∠ECN＝30°，∴tan∠ECN＝ENCN＝x－0.25x＋6＝33，解得：x≈8.8，则EF＝EM＋MF≈8.8＋1.5＝10.3(m)．答：旗杆的高EF为10.3m【综合运用】12．(15分)(2014·钦州)如图，在电线杆CD上的C处引拉线CE，CF固定电线杆，拉线CE和地面所成的角∠CED＝60°，在离电线杆6米的B处安置高为1.5米的测角仪AB，在A处测得电线杆上C处的仰角为30°，求拉线CE的长(结果保留小数点后一位，参考数据：2≈1.414，3≈1.732)．解：过点A作AH⊥CD，垂足为H，由题意可知四边形ABDH为矩形，∠CAH＝30°，∴AB＝DH＝1.5，BD＝AH＝6，在Rt△ACH中，tan∠CAH＝CHAH，∴CH＝AH·tan∠CAH＝6tan30°＝6×33＝23(米)，∵DH＝1.5，∴CD＝23＋1.5，在Rt△CDE中，∵∠CED＝60°，sin∠CED＝CDCE，∴CE＝CDsin60°＝23＋1.532＝(4＋3)≈5.7(米)，答：拉线CE的长约为5.7米1．数形结合思想.方法：把数学问题转化成解直角三角形问题，如果示意图不是直角三角形，可添加适当的辅助线，构造出直角三角形.2．方程思想.3．转化（化归）思想.