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授课人龙时彬2010—09---23典例精讲:例1:四边形ABCD是任意四边形,M、N、P、Q是各边中点.(1)试判断中点四边形MNPQ的形状并证明你的结论.(2)若对角线AC=BD,四边形MNPQ是什么四边形?不用证明.(3)若AC⊥BD呢?不用证明.(4)当AC与BD满足什么条件时,四边形MNPQ是正方形?并证明你的结论.ABCDMNPQ(1)解:四边形MNPQ是平行四边形,理由如下:连接AC∵M是AB中点,N是BC中点,∴MN是△ABC的中位线∴MN∥AC,MN=AC12同理:PQ∥AC,PQ=AC12∴MN∥PQ,MN=PQ∴四边形MNPQ是平行四边形.(2)解:若AC=BD,则四边形MNPQ是菱形.(4)当AC⊥BD,且AC=BD时,四边形MNPQ是正方形.理由如下:连接BD,交AC于点O,交PQ于点E.OE由(1)知:MQ∥BD,MQ=BD12∴MQ=MN∵AC=BD∴四边形MNPQ是菱形∵BD⊥AC,PQ∥AC∴PQ⊥BD又∵MQ∥BD∴PQ⊥MQ∴∠MQP=90°∴四边形MNPQ是正方形.(3)解:若AC⊥BD,则四边形MNPQ是矩形.•变式:若四边形ABCD的对角线AC、BD的长分别为a、b,那么中点四边形MNPQ的周长是--------------------;若四边形ABCD的面积为s,则中点四边形MNPQ的面积是-------------------------。ABCDMNPQ1s2a+b理由如下:①∵MQ=PN=BD12∴PQ=MN=AC∴四边形MNPQ的周长=PQ+QM+MN+NP=2(MQ+PQ)=BD+AC=a+b12②∵MN∥AC∴△BMN∽△BAC∴SBMN=SBAC14同理SDQP=SDAC14∴S四边形MNPQ=2XS四边形ABCD∴SBMN+SDQO=(SABC+SADC)=S四边形ABCD14同理SAMQ+SCNP=(SABD+SCNP)=S四边形ABCD1414141412=S4、巩固与提高:1、①任意四边形各边中点连线所得的四边形是形;②对角线相等的四边形各边中点连线所得的四边形是形;③对角线互相垂直的四边形各边中点连线所得的四边形是形;④对角线互相垂直且相等的四边形各边中点连线所得的四边形是形;2、已知四边形ABCD,则下列结论能推出四边形ABCD是正方形的是()①四边形ABCD是平行四边形,且AB⊥BC;②四边形ABCD是平行四边形,且AC⊥BD;③四边形ABCD是平行四边形,且AB⊥BC;AC⊥BD;④四边形ABCD是矩形,且AC⊥BD;⑤四边形ABCD是矩形,且AB=BC;⑥四边形ABCD是菱形,且AC=BD;A、①②③④B、③④⑤⑥C、①②D、①②③④⑤⑥平行四边菱形矩形正方形B•(09兰州)如图,在四边形ABCD中,E为AB上一点,△ADE和△BCE都是等边三角形,AB、BC、CD、DA的中点分别是P、Q、M、N,试判断四边形PQMN为怎样的四边形,并证明你的结论。DAPBEQCMN•(04,重庆)如图,四边形ABCD是面积为的任意四边形,顺次连接各边中点得到四边形A1B1C1D1,再顺次连接A1B1C1D1各边中点得到四边形A2B2C2D2,重复同样的方法直到得到四边形AnBnCnDn,则四边形AnBnCnDn的面积为-------------------------.。ADCBD2C2B2A2D1C1B1A1D3D3B3A32a??•(06,沈阳)如图1在正方形ABCD中,点E、F分别为边BC、CD的中点,AF、DE相交于点G,则可得结论:①AF=DE;②AF⊥DE(不需要证明)•⑴如图2,若E、F不是正方形ABCD的边BC、CD的中点,但满足CE=DF。则上面的结论①,②是否仍然成立?(请直接回答“成立”或“不成立”)图1GFEDCBABACDFEG图2⑵如图3,若点E、F分别在正方形ABCD的边CB的延长线和DC的•延长线上,且CE=DF,此时上面的结论①,②是否仍然成立?•若成立,请写出证明过程;若不成立,请说明理由。•⑶如图4,在⑵的基础上,连接AE和EF,若点M、N、P、Q分别•为AE、EF、FD、AD的中点,请判断四边形MNPQ是“矩形、菱形、•正方形、等腰梯形”中的哪一种?并写出证明过程。FEDCBAG图3FEDCBAGQPNM图4•(2010广东)如图⑴、⑵所示,矩形ABCD的边长AB=6,BC=4,点F在DC上,DF=2,动点M、N分别从点D、B同时出发,沿射线DA、线段BA向点A的方向运动(点M可以运动到DA的延长线上),当点N运动到点A时,M,N两点同时停止运动。连接FM、MN、FN,当F、N、M不在同一直线上时,可得△FMN,过△FMN三边的中点作△PQW。设动点M、N的速度都是1个单位/秒,M、N运动的时间为x秒。试解答下列问题:•⑴说明△FMN∽△QWP;•⑵设(即M从D到A运动的时间段),试问x为何值时,△PQW为直角三角形?当x在何范围时,△PQW不为直角三角形?•⑶问当x为何值时线段MN最短?求此时MN的值。0x4PQDCBANFWMAM
本文标题:中点四边形复习课
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