《步步高 学案导学设计》2013-2014学年 高中数学 人教B版选修1-1【配套备课资源】3习题课

习题课本讲栏目开关试一试研一研练一练【学习要求】1.理解用导数研究函数的逼近思想和以直代曲思想.2.会利用导数讨论函数的单调性、极值、最值(多项式次数不超过三次).习题课试一试·双基题目、基础更牢固本讲栏目开关试一试研一研练一练1.函数f(x)＝2x－cosx在(－∞，＋∞)上()A.单调递增B.单调递减C.有最大值D.有最小值习题课试一试·双基题目、基础更牢固解析f′(x)＝2＋sinx0恒成立，所以f(x)在(－∞，＋∞)上单调递增.A本讲栏目开关试一试研一研练一练2.若在区间(a，b)内，f′(x)0，且f(a)≥0，则在(a，b)内有()A.f(x)0B.f(x)0C.f(x)＝0D.不能确定习题课试一试·双基题目、基础更牢固解析因为f(x)在(a，b)上为增函数，所以f(x)f(a)≥0.A本讲栏目开关试一试研一研练一练3.设函数g(x)＝x(x2－1)，则g(x)在区间[0,1]上的最小值为()A.－1B.0C.－239D.33习题课试一试·双基题目、基础更牢固解析g(x)＝x3－x，由g′(x)＝3x2－1＝0，解得x1＝33，x2＝－33(舍去).当x变化时，g′(x)与g(x)的变化状态如下表：x00，333333，11g′(x)－0＋g(x)0极小值0所以当x＝33时，g(x)有最小值g33＝－239.C本讲栏目开关试一试研一研练一练4.设函数f(x)在定义域内可导，y＝f(x)的图象如图所示，则导函数y＝f′(x)的图象可能为()习题课试一试·双基题目、基础更牢固解析应用函数的单调性与其导函数的正负关系来判断导函数的图象.D本讲栏目开关试一试研一研练一练5.若f(x)在(a，b)内存在导数，则“f′(x)0”是“f(x)在(a，b)内单调递减”的________________条件.习题课试一试·双基题目、基础更牢固解析对于导数存在的函数f(x)，若f′(x)0，则f(x)在区间(a，b)内单调递减，反过来，函数f(x)在(a，b)内单调递减，不一定恒有f′(x)0，如f(x)＝－x3在R上是单调递减的，但f′(x)≤0.答案充分不必要本讲栏目开关试一试研一研练一练题型一函数与其导函数之间的关系例1已知函数y＝xf′(x)的图象如图所示(其中f′(x)是函数f(x)的导函数)，则y＝f(x)的图象大致是()习题课研一研·题型解法、解题更高效本讲栏目开关试一试研一研练一练解析当0x1时，xf′(x)0，习题课研一研·题型解法、解题更高效∴f′(x)0，故y＝f(x)在(0,1)上为减函数，排除A、B选项.当1x2时，xf′(x)0，∴f′(x)0，故y＝f(x)在(1,2)上为增函数，因此排除D.答案C本讲栏目开关试一试研一研练一练小结研究一个函数的图象与其导函数图象之间的关系时，注意抓住各自的关键要素，对于原函数，要重点考查其图象在哪个区间内单调递增，在哪个区间内单调递减；而对于导函数，则应考查其函数值在哪个区间内大于零，在哪个区间内小于零，并考查这些区间与原函数的单调区间是否一致.习题课研一研·题型解法、解题更高效本讲栏目开关试一试研一研练一练跟踪训练1已知R上可导函数y＝f(x)的图象如图所示，则不等式(x2－2x－3)f′(x)0的解集为()A.(－∞，－2)∪(1，＋∞)B.(－∞，－2)∪(1,2)C.(－∞，－1)∪(－1,0)∪(2，＋∞)D.(－∞，－1)∪(－1,1)∪(3，＋∞)习题课研一研·题型解法、解题更高效D本讲栏目开关试一试研一研练一练题型二利用导数研究函数的单调性、极值、最值例2设函数f(x)定义在(0，＋∞)上，f(1)＝0，导函数f′(x)＝1x，g(x)＝f(x)＋f′(x).(1)求g(x)的单调区间和最小值.(2)讨论g(x)与g(1x)的大小关系.习题课研一研·题型解法、解题更高效解(1)由题设易知f(x)＝lnx，g(x)＝lnx＋1x，∴g(x)的定义域为(0，＋∞)，∴g′(x)＝x－1x2.令g′(x)＝0，得x＝1.当x∈(0,1)时，g′(x)0，故(0,1)是g(x)的单调减区间，本讲栏目开关试一试研一研练一练当x∈(1，＋∞)时，g′(x)0，习题课研一研·题型解法、解题更高效故(1，＋∞)是g(x)的单调增区间，∴x＝1是g(x)的唯一极值点，且为极小值点，从而也是最小值点，∴最小值为g(1)＝1.(2)g1x＝－lnx＋x，设h(x)＝g(x)－g1x＝2lnx－x＋1x，则h′(x)＝－x－12x2.当x＝1时，h(1)＝0，本讲栏目开关试一试研一研练一练即g(x)＝g1x，习题课研一研·题型解法、解题更高效当x∈(0,1)∪(1，＋∞)时，h′(x)0，h′(1)＝0，∴h(x)在(0，＋∞)内单调递减，∴当0x1时，h(x)h(1)＝0，即g(x)g1x；当x1时，h(x)h(1)＝0，即g(x)g1x.综上知，当0x1时，g(x)g1x；当x＝1时，g(x)＝g1x；本讲栏目开关试一试研一研练一练当x1时，g(x)g1x.习题课研一研·题型解法、解题更高效小结(1)讨论函数的单调性首先要求出函数的定义域.(2)求闭区间上可导函数的最值时，对函数极值是极大值还是极小值可不再作判断，只需要直接与端点的函数值比较即可获得.(3)当连续函数的极值点只有一个时，相应的极值点必为函数的最值点.(4)利用函数单调性可以判定函数值的大小关系.本讲栏目开关试一试研一研练一练跟踪训练2设a为实数，函数f(x)＝ex－2x＋2a，x∈R.(1)求f(x)的单调区间与极值；(2)求证：当aln2－1且x0时，exx2－2ax＋1.习题课研一研·题型解法、解题更高效(1)解由f(x)＝ex－2x＋2a，x∈R知f′(x)＝ex－2，x∈R.令f′(x)＝0，得x＝ln2.于是当x变化时，f′(x)，f(x)的变化状态如下表：x(－∞，ln2)ln2(ln2，＋∞)f′(x)－0＋f(x)单调递减2(1－ln2＋a)单调递增故f(x)的单调递减区间是(－∞，ln2)，本讲栏目开关试一试研一研练一练单调递增区间是(ln2，＋∞)，f(x)在x＝ln2处取得极小值，习题课研一研·题型解法、解题更高效极小值为f(ln2)＝eln2－2ln2＋2a＝2(1－ln2＋a).(2)证明设g(x)＝ex－x2＋2ax－1，x∈R，于是g′(x)＝ex－2x＋2a，x∈R.由(1)知当aln2－1时，g′(x)取最小值g′(ln2)＝2(1－ln2＋a)0.于是对任意x∈R，都有g′(x)0，所以g(x)在R内单调递增.于是当aln2－1时，对任意x∈(0，＋∞)，都有g(x)g(0).而g(0)＝0，从而对任意x∈(0，＋∞)，都有g(x)0.即ex－x2＋2ax－10，故exx2－2ax＋1.本讲栏目开关试一试研一研练一练题型三导数的综合应用例3已知函数f(x)＝x3－ax－1.(1)若f(x)在实数集R上单调递增，求a的取值范围；(2)是否存在实数a，使f(x)在(－1,1)上单调递减，若存在，求出a的取值范围，若不存在，请说明理由.习题课研一研·题型解法、解题更高效解(1)f′(x)＝3x2－a，因为f(x)在R上是增函数，所以f′(x)≥0在R上恒成立.即3x2－a≥0在R上恒成立.即a≤3x2，而3x2≥0，所以a≤0.当a＝0时，f(x)＝x3－1在R上单调递增，符合题意.所以a的取值范围是(－∞，0].本讲栏目开关试一试研一研练一练(2)假设存在实数a，使f(x)在(－1,1)上单调递减，习题课研一研·题型解法、解题更高效则f′(x)≤0在(－1,1)上恒成立.即3x2－a≤0在(－1,1)上恒成立，即a≥3x2，又因为在(－1,1)上，03x23，所以a≥3.当a＝3时，f′(x)＝3x2－3，在(－1,1)上，f′(x)0，所以f(x)在(－1,1)上单调递减，即a＝3符合题意，所以存在实数a，使f(x)在(－1,1)上单调递减，且a的取值范围是[3，＋∞).本讲栏目开关试一试研一研练一练小结由已知函数f(x)是增函数(或减函数)求参数的取值范围时，应令f′(x)≥0(或f′(x)≤0)恒成立，解出参数的取值范围(一般可用不等式恒成立理论求解)，然后检验参数的取值能否使f′(x)恒等于0，若能恒等于0，则参数的这个值应舍去；若f′(x)不能恒等于0，则由f′(x)≥0(或f′(x)≤0)恒成立解出的参数的取值范围来确定.习题课研一研·题型解法、解题更高效本讲栏目开关试一试研一研练一练跟踪训练3(1)若函数f(x)＝4x3－ax＋3的单调递减区间是－12，12，则实数a的值是多少？(2)若函数f(x)＝4x3－ax＋3在－12，12上是单调函数，则实数a的取值范围为多少？习题课研一研·题型解法、解题更高效解(1)f′(x)＝12x2－a，∵f(x)的单调递减区间为－12，12，∴x＝±12为f′(x)＝0的两个根，∴a＝3.本讲栏目开关试一试研一研练一练(2)若f(x)在－12，12上为单调增函数，习题课研一研·题型解法、解题更高效则f′(x)≥0在－12，12上恒成立，即12x2－a≥0在－12，12上恒成立，∴a≤12x2在－12，12上恒成立，∴a≤(12x2)min＝0.当a＝0时，f′(x)＝12x2≥0恒成立(只有x＝0时f′(x)＝0).∴a＝0符合题意.若f(x)在－12，12上为单调减函数，本讲栏目开关试一试研一研练一练则f′(x)≤0在－12，12上恒成立，习题课研一研·题型解法、解题更高效即12x2－a≤0在－12，12上恒成立，∴a≥12x2在－12，12上恒成立，∴a≥(12x2)max＝3.当a＝3时，f′(x)＝12x2－3＝3(4x2－1)≤0恒成立(且只有x＝±12时f′(x)＝0).因此，a的取值范围为a≤0或a≥3.本讲栏目开关试一试研一研练一练1.函数f(x)＝x2－2lnx的单调递减区间是()A.(0,1]B.[1，＋∞)C.(－∞，－1]，(0,1)D.[－1,0)，(0,1]习题课练一练·当堂检测、目标达成落实处解析f′(x)＝2x－2x＝2x＋1x－1x，由f′(x)≤0结合x0得0x≤1.A本讲栏目开关试一试研一研练一练2.若函数y＝x3＋x2＋mx＋1是R上的单调函数，则实数m的取值范围是()A.13，＋∞B.－∞，13C.13，＋∞D.－∞，13习题课练一练·当堂检测、目标达成落实处解析若函数y＝x3＋x2＋mx＋1是R上的单调函数，只需y′＝3x2＋2x＋m≥0恒成立，即Δ＝4－12m≤0，∴m≥13.C本讲栏目开关试一试研一研练一练3.设f′(x)是函数f(x)的导函数，将y＝f(x)和y＝f′(x)的图象画在同一个直角坐标系中，不可能正确的是()习题课练一练·当堂检测、目标达成落实处本讲栏目开关试一试研一研练一练解析若函数在给定区间上是增函数，习题课练一练·当堂检测、目标达成落实处则y＝f′(x)0，若函数在给定区间上是减函数，则y＝f′(x)0.答案D本讲栏目开关试一试研一研练一练4.设f(x)、g(x)是定义在R上的恒大于0的可导函数，且f′(x)g(x)－f(x)g′(x)0，则当axb时有()A.f(x)g(x)f(b)g(b)B.f(x)g(a)f(a)g(x)C.f(x)g(b)f(b)g(x)D.f(x)g(x)f(a)g(a)习题课练一练·当堂检测、目标达成落实处解析由条件，得fxgx′＝f′xgx