模糊数学2009-2(运算、分解定理)

吉林大学计算机科学与技术学院1模糊数学孙舒杨[e-mail]吉林大学计算机科学与技术学院2回顾L.A.Zadeh的研究领域是什么？“拂晓”、“中午”、“晚上”吉林大学计算机科学与技术学院3L.A.Zadeh(1921～)美国自动控制专家，美国工程科学院院士。1921年2月生于苏联巴库。1949年获哥伦比亚大学电机工程博士。现任伯克利加利福尼亚大学电机工程与计算机科学系教授。因发展模糊集理论的先驱性工作而获电气与电子工程师学会(IEEE)的教育勋章。吉林大学计算机科学与技术学院41-3模糊集的运算吉林大学计算机科学与技术学院5模糊集合的运算经典集合有哪些运算？将经典集合的运算推广至模糊集合逐点对隶属度作相应的运算吉林大学计算机科学与技术学院6空模糊集合&相等模糊集合设A、B为论域X上的模糊集定义1：若对任何x∈X，有μA(x)=0，则称模糊集A为空集，记为A=φ；定义2：若对任何x∈X，μA(x)=μB(x)，则称模糊集A和B相等，记为A=B；吉林大学计算机科学与技术学院7模糊集合的包含⊆定义3：若对任何x∈X，μA(x)≤μB(x)，则称模糊集A包含于模糊集B，记为A⊆B吉林大学计算机科学与技术学院8模糊集合的并集定义4：两个模糊集合的并集A∪B的隶属函数定义为μA∪B(x)=μA(x)∨μB(x)吉林大学计算机科学与技术学院9模糊集合的交集定义5：两个模糊集合的交集A∩B的隶属函数定义为μA∩B(x)=μA(x)∧μB(x)吉林大学计算机科学与技术学院10模糊集合的余集定义6：模糊集合A的余集Ac的隶属函数定义为()1()CAAxx吉林大学计算机科学与技术学院11模糊集合的余集若论域X表示商品集合，模糊集合A表示商品质量好，模糊集合B表示商品质量差Ac表示什么？Ac=B?商品质量不好，并不代表商品质量差。模糊集合能够很好的表现这些概念的差异。吉林大学计算机科学与技术学院12Example1论域X={x1,x2,x3,x4,,x5}A,B是论域X上的两个模糊子集，A=0.5/x1+0.3/x2+0.4/x3+0.2/x4B=0.2/x1+0.6/x4+1/x5请计算A,B的余集：A∩B，A∪B吉林大学计算机科学与技术学院13Example2模糊集合“年轻”记为Y模糊集合“年老”记为O请大致给出模糊集合Y∩O，Y∪O的隶属函数曲线吉林大学计算机科学与技术学院14模糊集合运算性质（幂等律）A∪A＝?,A∩A=?性质1.幂等律：A∪A=A，A∩A=A吉林大学计算机科学与技术学院15模糊集合运算性质（交换律）性质2.A∪B=?B∪AA∩B=?B∩A吉林大学计算机科学与技术学院16模糊集合运算性质（结合律）性质3.(A∪B)∪C=?A∪(B∪C)(A∩B)∩C=?A∩(B∩C)吉林大学计算机科学与技术学院17模糊集合运算性质（吸收律）性质4.A∩(A∪B)=?AA∪(A∩B)=？A吉林大学计算机科学与技术学院18模糊集合运算性质（分配律）性质5.(A∪B)∩C=？(A∩C)∪(B∩C)(A∩B)∪C=？(A∪C)∩(B∪C)吉林大学计算机科学与技术学院19模糊集合运算性质（0-1律）性质6.A∪Φ＝?,A∩Φ＝?A,ΦX∪A=?,X∩A=?X,A吉林大学计算机科学与技术学院20模糊集合运算性质（还原律）性质7.(Ac)c=?(Ac)c=A吉林大学计算机科学与技术学院21模糊集合运算性质（对偶律）性质8.(A∪B)c=？Ac∩Bc(A∩B)c=？Ac∪Bc吉林大学计算机科学与技术学院22经典集合的其他性质经典集合的运算中，还有“排中律”Ac∪A=X,A∩Ac=ΦQuestion.模糊集合运算中，“排中律”是否成立？吉林大学计算机科学与技术学院23排中律不成立排中律不成立表明：模糊集不再具有“非彼即此”的特点，这正是模糊性带来的本质特征吉林大学计算机科学与技术学院24课内作业5道课内作业当堂完成，时间25分钟。上交，算一次成绩(10%)。吉林大学计算机科学与技术学院25课内作业1-1（共5道）证明性质5（分配律）(A∪B)∩C=(A∩C)∪(B∩C)(A∩B)∪C=(A∪C)∩(B∪C)吉林大学计算机科学与技术学院26课内作业1-2设X={a,b,c,d,e,f,g}A=0.5/b+0.4/c+1/d+0.7/fB=0.3/a+0.9/b+0.4/c+1/d+0.6/f+1/gC=1/a+0.3/b+0.6/c+0.2/d+1/f+0.6/g求A∩B,A∪B,(A∪B)c∩C,(A∩B)c∪C,(A∩Ac)∪A,(A∩Ac)∪C吉林大学计算机科学与技术学院27课内作业1-3论域X={1,2,…,10}，定义X上的两个模糊集合：[大]=A=0.2/4+0.4/5+0.6/6+0.8/7+1/8+1/9+1/10[小]=B=1/1+0.8/2+0.6/3+0.4/4+0.2/5求C=[不大],D=[不小],E=[或大或小],F=[不大也不小]吉林大学计算机科学与技术学院28课内作业1-4设论域X=[0,1]，A是X上的模糊集合，其隶属函数为μA(x)=x，试求A∩Ac和A∪Ac的隶属函数，并做出解释。吉林大学计算机科学与技术学院29课内作业1-522X,,12()exp{()},()exp{()}22,,,ABcRxRxxxxAABAB设论域（实数集）对求的隶属函数并画图吉林大学计算机科学与技术学院301-3答案0.20.40.60.8111[]4567891010.80.60.40.2[]12345[],[],[],[]AB大小求不大不小或大或小不大也不小[]00.20.40.80.60.60.80.40.20001234567891000.20.40.60.60.40.200012345678910ccAB不大也不小＝＝[]10.80.60.20.40.40.20.60.81111234567891010.80.60.40.40.60.811112345678910AB或大或小0.80.60.40.2000[]4567891000.20.40.60.8[]12345ccCADB不大不小吉林大学计算机科学与技术学院311-4答案[0,1],(,()(),()(),ccXAxxAAxAAx设）求并解释1,[0,0.5]()(),[0.5,1]cxxAAxxx＝,[0,0.5]()()1,[0.5,1]cxxAAxxx＝吉林大学计算机科学与技术学院321-5答案2212,,()exp{()},()exp{()}22,,,cxxURxRAxBxAABAB设（实数集）对求并画图21()1exp{()}2cxAx2212exp{()}exp{()}22xx32x2213exp{()},2223exp{()},22xxABxx2223exp{()},2213exp{()},22xxABxx吉林大学计算机科学与技术学院331-4.λ水平截集吉林大学计算机科学与技术学院34模糊集合与经典集合的关系模糊集合是经典集合的扩充模糊集合可以用经典集合来表示吉林大学计算机科学与技术学院35范例[奴隶社会]=1/夏+1/商+0.9/西周+0.7/春秋+0.5/战国+0.4/秦+0.3/西汉+0.1/东汉如果将隶属度≥0.5的朝代看作真正的奴隶社会，将模糊集合[奴隶社会]转化为经典集合[奴隶社会]0.5，则[奴隶社会]0.5=？吉林大学计算机科学与技术学院36λ水平截集的定义定义：设A∈F(X)（F(X)是指X上的所有模糊子集构成的集合），对任意实数λ∈[0,1]，称经典集合Aλ={x|x∈X，μA(x)≥λ}为A的λ水平截集，或λ-截集，称Aλ={x|x∈X，μA(x)λ}为A的λ-强截集吉林大学计算机科学与技术学院37Question.模糊集合A的λ-截集Aλ是什么集合？Aλ的特征函数是什么？吉林大学计算机科学与技术学院38λ-截集的特征函数一个模糊集A的水平截集是普通集合，其特征函数为：Aλ的特征函数曲线1,()()0,()AAAxCxx当时当时吉林大学计算机科学与技术学院39λ－截集（例）设模糊集合A为正态模糊集，即隶属函数为正态函数A(x)=exp{-(x-a)2/σ2},x∈R,其中a∈R,σ0Question.对于0λ≤1,求Aλ.吉林大学计算机科学与技术学院40λ截集的性质1性质1.设A，B为论域X上的模糊集，λ∈[0,1]，若A⊆B，则Aλ⊆Bλ证明：x∈Aλ⇔μA(x)≥λA⊆B⇔∀x∈X,μB(x)≥μA(x)⇒μB(x)≥λ⇔x∈Bλ吉林大学计算机科学与技术学院41λ截集的性质2性质2.设A，B为论域X上的模糊集，λ,μ∈[0,1]，若λ≤μ，则Aλ⊇Aμ证明：x∈Aμ⇔μA(x)≥μ又已知λ≤μ⇒μA(x)≥λ⇔x∈Aλ吉林大学计算机科学与技术学院42λ截集的性质3性质3.设A，B为论域X上的模糊集，λ∈[0,1]，则有(A∪B)λ=?(A∩B)λ=？Aλ∪BλAλ∩Bλ吉林大学计算机科学与技术学院43证明(A∪B)λ=Aλ∪Bλ证明：x∈(A∪B)λ⇔μA∪B(x)≥λ又因为μA∪B(x)=max{μA(x),μB(x)}⇔μA(x)≥λ或μB(x)≥λ⇔x∈Aλ或x∈Bλ⇔x∈Aλ∪Bλ吉林大学计算机科学与技术学院44λ水平截集由性质2（若λ≤μ，则Aλ⊇Aμ)可知：λ越大，则Aλ越小，或者说Aλ包含的元素越少。Question.什么时候Aλ最小？吉林大学计算机科学与技术学院45模糊集的核与支集λ=1时，Aλ最小，称截集Aλ=1为模糊集A的“核”，若Aλ=1非空，则称A为正规模糊集模糊集A的支集suppA={x|x∈X,μA(x)0}核与支集的关系：核Aλ=1中的元素完全隶属于A，随着λ值的下降，Aλ逐渐扩张，最后扩张为A的支集suppA吉林大学计算机科学与技术学院46模糊集与λ的乘积运算A是X上的模糊子集，定义λA仍然表示X上的模糊子集，称为λ与A的“乘积”，其隶属函数规定为：()()AAxx吉林大学计算机科学与技术学院47水平截集Aλ与λ的乘积运算Aλ是U的经典子集，定义λAλ表示U上的模糊子集，称为λ与Aλ的“乘积”，其隶属函数规定为：,uA()()0,uAAAuCu当当吉林大学计算机科学与技术学院481-5.分解定理吉林大学计算机科学与技术学院49三大定理分解定理表现定理扩张原理吉林大学计算机科学与技术学院501-5分解定理分解定理是把模糊集合论的问题化为经典集合论的问题来求解模糊集合水平截集经典集合吉林大学计算机科学与技术学院51分解定理Ⅰ分解定理Ⅰ：设A为论域X上的模糊子集，Aλ是A的λ截集，λ∈[0，1]，则如下分解式成立：A=∪λ∈[0,1]λAλ图形解释吉林大学计算机科学与技术学院52分解定理Ⅰ的证明[0,1][0,1][0,1][0,1][0,()]((),1][0,()]((),1]()()()()()()()[()()][()()]0,()(),()[][0]()AxAxAxAxAAAxAxAxAxAxAxAxAxAxAx证明：因为故上式吉林大学计算机科学与技术学院53分解定理Ⅱ设A=F(X)，则[0,1]AA吉林大学计算机科学与技术学院54分解定理Ⅲ设A∈F(X)，令[0,1]1212:[0,1](),()()([0,1])()2)()()3)()(0),()(1)HP