2013年高考数学(理)二轮复习 专题一 配套动漫课件 第三节 函数与方程及函数的应用

第一阶段专题一知识载体能力形成创新意识配套课时作业考点一考点二考点三第三节返回返回返回返回1．确定函数零点的三种常用方法(1)解方程判定法．若方程易解时用此法．(2)零点定理法．根据连续函数y＝f(x)满足f(a)f(b)0，判断函数在区间(a，b)内存在零点．(3)数形结合法．尤其是方程两端对应的函数类型不同时多用此法求解．返回2．解函数应用题的四步曲(1)阅读理解，审清题意：分析出已知什么，求什么，从中提炼出相应的数学问题；(2)数学建模：弄清题目中的已知条件和数量关系，建立函数关系式；(3)解函数模型：利用数学方法得出函数模型的数学结果；(4)实际问题作答：将数学问题的结果转译成实际问题作出解答．返回返回高考对本部分内容的考查多以选择题或填空题的形式出现，考查求函数零点的存在区间、确定零点的个数以及两函数图像交点的横坐标或确定有几个交点．[考情分析]返回[例1](2012·湖南高考)设定义在R上的函数f(x)是最小正周期为2π的偶函数，f′(x)是f(x)的导函数，当x∈[0，π]时，0f(x)1；当x∈(0，π)且x≠π2时，x－π2f′(x)0.则函数y＝f(x)－sinx在[－2π，2π]上的零点个数为()A．2B．4C．5D．8[思路点拨]将y＝f(x)－sinx零点的个数转化为y1＝f(x)与y2＝sinx图像的交点个数．返回[解析]∵x－π2f′(x)0，当π2xπ时，f′(x)0，∴f(x)在π2，π上是增函数．当0xπ2时，f′(x)0，∴f(x)在0，π2上是减函数．设π≤x≤2π，则0≤2π－x≤π.由f(x)是以2π为最小正周期的偶函数知f(2π－x)＝f(x)．故π≤x≤2π时，0f(x)1.依题意作出草图可知，y1＝f(x)与y2＝sinx在[－2π，2π]上有4个交点．[答案]B返回[类题通法](1)解决这类问题的常用方法有解方程法、利用零点存在的判定和数形结合法，尤其是方程两端对应的函数类型不同的方程多以数形结合求解．(2)函数零点(即方程的根)的应用问题，即已知函数零点的存在情况求参数的值或取值范围问题，解决该类问题关键是用函数方程思想或数形结合思想，构建关于参数的方程或不等式求解．返回[冲关集训]1．(2012·山东高考调研)已知函数f(x)＝2x－1，x≤1，1＋log2x，x1，则函数f(x)的零点为()A.12，0B．－2,0C.12D．0解析：选当x≤1时，由f(x)＝2x－1＝0，解得x＝0；当x1时，由f(x)＝1＋log2x＝0，解得x＝12，又因为x1，所以此时方程无解．综上，函数f(x)的零点只有0.D返回2．(2012·唐山统考)设f(x)＝ex＋x－4，则函数f(x)的零点位于区间()A．(－1,0)B．(0,1)C．(1,2)D．(2,3)解析：选∵f(x)＝ex＋x－4，∴f′(x)＝ex＋10，∴函数f(x)在R上单调递增．又f(－1)＝e－1＋(－1)－4＝－5＋e－10，f(0)＝－30，f(1)＝e＋1－4＝e－30，f(2)＝e2＋2－4＝e2－20，故f(1)f(2)0.C返回3．(2012·朝阳期末)函数f(x)＝2x－2x－a的一个零点在区间(1,2)内，则实数a的取值范围是()A．(1,3)B．(1,2)C．(0,3)D．(0,2)解析：选因为f′(x)＝2xln2＋2x20，所以f(x)是增函数，由条件可知f(1)f(2)0，即(2－2－a)(4－1－a)0，即a(a－3)0，解之得0a3.C返回[考情分析]此类问题命题以函数的图像与性质为背景创设新情景，通常从定义的新运算、新概念或新性质入手，考查函数的图像与单调性、最值(值域)以及零点等函数性质，常与方程、不等式问题结合．今后对新定义函数的考查是高考的一大热点．返回[例2](2012·武汉适应性训练)定义在R上的函数f(x)，如果存在函数g(x)＝kx＋b(k，b为常数)，使得f(x)≥g(x)对一切实数x都成立，则称g(x)为函数f(x)的一个承托函数．现有如下函数：①f(x)＝x3；②f(x)＝2－x；③f(x)＝lgx，x0，0，x≤0；④f(x)＝x＋sinx.则存在承托函数的f(x)的序号为________．(填入满足题意的所有序号)返回[思路点拨]利用承托函数的定义，一一分析即可．[解析]对于①，结合函数f(x)的图像分析可知，不存在函数g(x)使得f(x)≥g(x)对一切实数x都成立，即f(x)不存在承托函数；对于②，注意到f(x)＝2－x0，因此存在函数g(x)＝0，使得f(x)≥g(x)对一切实数x都成立，f(x)存在承托函数；对于③，结合函数f(x)的图像分析可知，不存在函数g(x)使得f(x)≥g(x)对一切实数x都成立，即f(x)不存在承托函数；对于④，注意到f(x)＝x＋sinx≥x－1，因此存在函数g(x)＝x－1，使得f(x)≥g(x)对一切实数x都成立，f(x)存在承托函数．综上所述，存在承托函数的f(x)的序号为②④.[答案]②④返回[类题通法]解决与函数有关的新信息题的思路：第一步准确理解新的运算、概念或性质．第二步根据新的定义，类比与函数有关的运算、性质等将其转化为熟悉的函数问题．第三步利用函数的相关知识求解问题．返回[冲关集训]4．定义一种运算：a⊗b＝aa≥b，bab，已知函数f(x)＝2x⊗(3－x)，那么函数y＝f(x＋1)的大致图像是()返回解析：选由题意得函数f(x)＝2x，x≥1，3－x，x＜1，所以函数f(x)的大致图像如图所示，函数f(x＋1)的图像可由函数f(x)的图像向左平移1个单位得到．B返回5．(2012·东城综合测试)函数f(x)的定义域为A，若x1，x2∈A且f(x1)＝f(x2)时总有x1＝x2，则称f(x)为单函数．例如：函数f(x)＝2x＋1(x∈R)是单函数．给出下列命题：①函数f(x)＝x2(x∈R)是单函数；②指数函数f(x)＝2x(x∈R)是单函数；③若f(x)为单函数，x1，x2∈A且x1≠x2，则f(x1)≠f(x2)；④在定义域上具有单调性的函数一定是单函数．其中的真命题是________．(写出所有真命题的编号)解析：根据单函数的定义，可判断命题②、④是真命题，①是假命题；根据一个命题与其逆否命题等价可知，命题③是真命题．答案：②③④返回[考情分析]该类试题以实际生活为背景，通过巧妙设计和整合命制考题，试题常与函数解析式的求法、函数最值、不等式、导数、解析几何、空间几何体等知识交汇．预测2013年的高考以求函数的最值为热点．返回[例3](2011·山东高考)某企业拟建造如图所示的容器(不计厚度，长度单位：米)，其中容器的中间为圆柱形，左右两端均为半球形，按照设计要求容器的容积为80π3立方米，且l≥2r.假设该容器的建造费用仅与其表面积有关．已知圆柱形部分每平方米建造费用为3千元，半球形部分每平方米建造费用为c(c3)千元．设该容器的建造费用为y千元．(1)写出y关于r的函数表达式，并求该函数的定义域；(2)求该容器的建造费用最小时的r.返回[思路点拨](1)先找到l和r的关系，再根据问题情景，列出函数解析式．(2)利用导数法求y的最小值．[解](1)设容器的容积为V，由题意知V＝πr2l＋43πr3，又V＝80π3，故l＝V－43πr3πr2＝803r2－43r＝4320r2－r.由于l≥2r，因此0r≤2.返回所以建造费用y＝2πrl×3＋4πr2c＝2πr×4320r2－r×3＋4πr2c，因此y＝4π(c－2)r2＋160πr，0r≤2.(2)由(1)得y′＝8π(c－2)r－160πr2＝8πc－2r2r3－20c－2，0r2.由于c3，所以c－20，当r3－20c－2＝0时，r＝320c－2.令320c－2＝m，则m0，返回所以y′＝8πc－2r2(r－m)(r2＋rm＋m2)．①当0m2即c92时，当r＝m时，y′＝0；当r∈(0，m)时，y′0；当r∈(m,2)时，y′0，所以r＝m是函数y的极小值点，也是最小值点．返回②当m≥2即3c≤92时，当r∈(0,2)时，y′0，函数单调递减，所以r＝2是函数y的最小值点．综上所述，当3c≤92，建造费用最小时r＝2；当c92时，建造费用最小时r＝320c－2.返回[类题通法]解决函数实际应用题的关键有两点：一是认真读题，缜密审题，确切理解题意，明确问题的实际背景；然后进行科学地抽象概括，将实际问题归纳为相应的数学问题；二是要合理选取参变量，设定变量之后，就要寻找它们之间的内在联系，选用恰当的代数式表示问题中的关系，建立相应的函数模型，最终求解数学模型使实际问题获解．返回[冲关集训]6．(2011·北京高考)根据统计，一名工人组装第x件某产品所用的时间(单位：分钟)为f(x)＝cx，xA，cA，x≥A(A，c为常数)．已知工人组装第4件产品用时30分钟，组装第A件产品用时15分钟，那么c和A的值分别是()A．75,25B．75,16C．60,25D．60,16返回解析：选因为组装第A件产品用时15分钟，所以cA＝15①，所以必有4A，且c4＝c2＝30②，联立①②解得c＝60，A＝16.D返回7．(2012·南通调研)经市场调查，某商品在过去100天内的销售量和价格均为时间t(天)的函数，且日销售量近似地满足g(t)＝－13t＋1123(1≤t≤100，t∈N)，前40天价格为f(t)＝14t＋22(1≤t≤40，t∈N)，后60天价格为f(t)＝－12t＋52(41≤t≤100，t∈N)，试求该商品的日销售额S(t)的最大值和最小值．返回解：当1≤t≤40，t∈N时，S(t)＝g(t)f(t)＝－13t＋112314t＋22＝－112t2＋2t＋112×223＝－112(t－12)2＋25003，所以768＝S(40)≤S(t)≤S(12)＝112×223＋12＝25003.当41≤t≤100，t∈N时，S(t)＝g(t)f(t)＝－13t＋1123－12t＋52返回＝16t2－36t＋112×523＝16(t－108)2－83，所以8＝S(100)≤S(t)≤S(41)＝14912.所以，S(t)的最大值为25003，最小值为8.返回“图”解三次函数的零点问题三次函数的零点与三次方程根的问题主要有四类：一是判断函数零点或方程根的个数；二是利用函数零点确定函数解析式；三是确定函数零点或方程根的取值范围；四是利用函数零点或根的个数求解参数的取值范围．解决三次函数零点的有关问题主要利用数形结合的数学思想，利用导数研究函数的有关性质，主要包括函数的单调性与极值以及函数在区间端点处的函数值，然后画出函数图像，结合函数图像的特征判断、求解．返回[典例]已知函数f(x)＝x3－3x2－9x＋3，若函数g(x)＝f(x)－m在x∈[－2,5]上有3个零点，则m的取值范围为()A．(－24,8)B．(－24,1]C．[1,8]D．[1,8)[思路点拨]首先利用导数研究函数f(x)在区间[－2,5]内的函数图像的特征，判断其单调性与极值，画出函数的大致图像，然后根据函数图像的特征确定参数m所满足的不等式，解之即可．返回[解析]f′(x)＝3x2－6x－9＝3(x2－2x－3)＝3(x＋1)(x－3)，令f′(x)＝0，得x＝－1或x＝3.当x∈[－2，－1)时，f′(x)0，函数f(x)单调递增；当x∈(－1,3)时，f′(x)0，函数f(x)单调递减；当x∈(3,5]时，f′(x)0，函数f(x)单调递增．所以函数f(x)的极小值为f(3)＝－24，极大值为f(－1)＝8；而f(－2)＝1，f(5)＝8，函数图像大致如图所示．故要使