第六章--非线性微分方程-常微分方程课件-高教社ppt-王高雄教材配套课件

第六章非线性微分方程§6.11第六章非线性微分方程§6.1稳定性李雅普诺夫稳定性按线性近似决定稳定性V函数方法(李雅普诺夫第二方法)§6.2定性奇点极限环平面图貌*§6.3混沌第六章非线性微分方程§6.12李雅普诺夫稳定性例求一阶非线性微分方程的解的图貌。其中A,B为常数且A·B0，初值条件为y(0)=y0。解方程有通解•特解•满足初值条件的解为•(a)当A0,B0时：•满足初值条件y(0)=y00的解趋于特解y2(t)=A/B；•满足初值条件y(0)=y00的解y1(t)趋于无穷。•(b)当A0,B0时：•满足初值条件y(0)=y0A/B的解y2(t)趋于无穷；•满足初值条件的解y(0)=y0A/B趋于特解y1(t)=0。()AtAytBce12()0,()AytytB0()AtAytABBey2ddyAyByt第六章非线性微分方程§6.13李雅普诺夫稳定性•一般称当A0,B0时的特解y2(t)和当A0,B0时的特解y1(t)为稳定的。•而称当A0,B0时的特解y1(t)和当A0,B0时的特解y2(t)为不稳定的。•对方程组•的某特解y=φ(t),可以通过变换x=y-φ(t)化为方程组的零解。其中•即y的方程组的特解y=φ(t)变为x的方程组的零解。d(,)dygtytd(,),(,0)0dxftxfttd()(,)(,)(,())(,())dtftxgtygtxtgttt第六章非线性微分方程§6.14例例对方程(4)的特解y2(t)=A/B，可通过变换x=y-A/B•化为方程•这样，讨论方程(4)的特解y2(t)=A/B的稳定性态便可化为讨论上方程的零解x=0的稳定性态。•微分方程（4）右端不含自变量，其右端为零得到的代数方程Ay-By2=0的解y1(t)=0,y2(t)=A/B是微分方程（4）的常数解，称为平衡解。•微分方程（7）右端不含自变量时为驻定微分方程。•驻定微分方程右端为零得到的代数方程的解是微分方程的常数解，也是特解，称为驻定解或平衡解。2d(4)dyAyByt2d(7)dxAxBxt第六章非线性微分方程§6.15稳定性定义假设方程组(5)的右端函数f(t,x)在包含原点的域G内有连续的偏导数，从而满足方程组的解的存在唯一性、延拓、连续性和可微性条件。稳定性定义如果对任意给定的0，存在=(,t0)，使当任一x0满足||x0||≤时，方程组(5)的由初值条件x(t0)=x0确定的解x(t)对一切t≥t0均有||x(t)||≤，则称方程组(5)的零解是稳定的。•如果方程组(5的零解x=0稳定，且存在0，使当||x0||≤0时，满足初值条件x(t0)=x0的解x(t)均有•则称零解是渐近稳定的。lim()0txtd(,),(,0)0.(5)dxftxftt第六章非线性微分方程§6.16(续)稳定性定义稳定性定义如果零解x=0渐近稳定，且存在域D0，当且仅当x0D时，满足初值条件x(t0)=x0的解x(t)均有则域D0称为(渐近)稳定域或吸引域。•若稳定域为全空间，即0=+∞，则称零解x=0是全局渐近稳定的或简称为全局稳定的。•当零解x=0不是稳定时，称它是不稳定的，•即：如果对某给定的，不管怎样小，总有x0满足||x0||≤，使方程组(5)的由初值条件x(t0)=x0确定的解x(t)，至少存在某有t1t0，有||x(t1)||=。•二维情形零解的稳定性态在平面上的示意图如图(6.2)。lim()0txtd(,),(,0)0.(5)dxftxftt第六章非线性微分方程§6.1稳定性态在平面上的示意图7第六章非线性微分方程§6.18稳定性态在平面上的示意图例对微分方程(4)，当A0,B0时，其零解y=0为渐近稳定，稳定域为yA/B。特解y2(t)=A/B为不稳定。•当A0,B0时，微分方程(9)的零解x=0为渐近稳定，稳定域为x-A/B。•而对微分方程(4)的特解y2(t)=A/B为渐近稳定，稳定域为y0。零解y=0为不稳定。2d(4)dyAyByt第六章非线性微分方程§6.19常系数线性微分方程组稳定性•考虑常系数线性微分方程组其特征方程为由第五章(5.52)式知线性微分方程组的任一解均可表为形如•的线性组合。其中λi为特征方程(10)的根，li≥0为由根λi的重数确定的整数。定理1若特征方程(10)的根均具负实部根(包括负根)，则方程组(8)的零解是渐近稳定的；若特征方程(10)具正实部根(包括正根)，则方程组(8)的零解是不稳定的；若特征方程(10)没有正实部根(包括正根)的根，但有零根或零实部的根，则方程组(8)的零解可能是稳定的也可能是不稳定的，这要看零根或零实部的根的重数是否等于1而定。det()0(10)AE0,1iiltmimmcteind(8)dxAxt第六章非线性微分方程§6.110按线性近似的稳定性现考虑非线性驻定微分方程组右端函数满足条件显然，方程组有零解x=0。可以按(11)的线性近似方程组(8)零解的稳定性态决定非线性驻定微分方程组(11)的稳定性态。即定理2若特征方程(10)没有零根或零实部特征根(特征值)，则非线性方程组(11)的零解的稳定性态与其线性近似方程(8)零解的稳定性态一致：当特征方程(11)的根均具负实部根(包括负根)时，方程组(8)的零解是渐近稳定的；当特征方程(10)具正实部根(包括正根)时,方程组(11)的零解不稳定。•若特征方程有零根或零实部特征根时方程组(11)属临界情形，其零解的稳定性态不能由其线性近似方程组(8)的零解的稳定性态决定，需考虑高次项的影响。0()lim0xRxx(8)dxAxdtd(),(0)0(11)dxAxRxRt第六章非线性微分方程§6.111霍维茨判别法•n次常系数代数方程的霍维茨行列式定义为其中ai=0(对一切in)。定理3方程(8)的一切根均具负实部充分必要条件为成立不等式•定理的证明见高等代数课本。101100,0nnnnaaaaa1110103211233211325432122000,,,,nnnnnnaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaa12310,0,0,,0,0nnaa第六章非线性微分方程§6.112例1例1考虑一阶非线性微分方程组零解的稳定性。解这里对应的线性近似方程组的特征方程为即•霍维茨行列式为•根据定理3,特征方程的根均具负实部。•由定理2知非线性微分方程组的零解x=y=z=0是渐近稳定的。21111001113245300123411,4,17,335aaa23222d2dddd()dxxxxyzxetyxyxyztzxyzeyzt第六章非线性微分方程§6.113例2例2对三次代数方程其中a0,b0,c0.考虑其根均具负实部时参数c的变化范围.解对应方程,有•由定理3,方程的根均具负实部的充要条件是c1及20,•即32(1)()2(1)0abbacabc01231,1,(1)(()2(1),2(1)aaababbacabcaabc00(3)1,11,1,1aababcabcccab或其中第六章非线性微分方程§6.114V函数方法•考虑n维一阶非线性驻定微分方程组(14)，其中f(x)在某域G:|||x||≤A内有连续的偏导数，从而方程组的在域G内满足初值条件x(t0)=x0的解在原点的某邻域内存在且唯一。•显然，x=0是其特解。•V函数定义假设V(x)为在域||x||≤H内定义的实连续可微函数,V(0)=0函数。如在域内恒有V(x)≥0，则称为常正的；•如在域内当x≠0时有V(x)0，则称为定正的；•如-V是定正(常正)的，则称为定负(常负)的。•当V(x)对所有变元的偏导数存在且连续时，•可将方程组(14)的解代入再对求导得•此导数称为通过方程组(14)的全导数。d(),(0)0,(14)dnxfxfxRt11ddddnniiiiiixVVVVfftxtxx第六章非线性微分方程§6.115V函数例例1函数•常正；•定正；•在域x2+y2上定正，•在全平面变号；•当a0,4ac-b20时定正，当a0,4ac-b20时定负；2(,)()Vxyxy22(,)()Vxyxyy2(,)sin()Vxyxy22(,)Vxyaxbxycy第六章非线性微分方程§6.116李雅普诺夫定理定理4如果对微分方程组（14）存在定正函数V(x)，其通过方程组(14)的全导数为常负函数或恒为零，则方程组（14）的零解是稳定的。•如果存在定正函数V(x)通过方程组(14)的全导数为定负时，则方程组（14）的零解是渐近稳定的。•如果存在函数V(x)和某非负常数，其通过方程组(14)的全导数可表为且当=0时W为定正函数，当≠0时W为常负函数或恒为零，又在x=0的任意小邻域内至少存在某个x使得V(x)0，则方程组（14）的零解是不稳定的。•证明方法见后面几何解释，详细证明略。()dVVWxdtd(),(0)0,(14)dnxfxfxRt第六章非线性微分方程§6.117稳定性几何解释•在由未知函数x组成的n维相空间(x)中，方程组（14）的解在相空间中的轨迹为轨线。V(x)=c当c足够小时在相空间中是围绕原点的n-1维闭曲面。方程组（14）的零解x=0稳定时，其原点附近的由||x0||≤为初值出发的轨线x(t)均停留在某闭曲面V(x)=c内。零解x=0渐近稳定时，轨线将沿闭曲面一层层趋于原点。•平面一阶微分方程组的相空间为平面。相平面上V(x)=c为闭曲线族。轨线的走向如图(6.3)所示。第六章非线性微分方程§6.118例4例4讨论平面一阶微分方程组•零解的稳定性态。解其线性近似方程组x’=-y,y’=x的特征方程λ2+1=0的根为λ=±i，属于临界情形。•如取定正函数•根据定理4有（1）如a0，则dV/dt定负，方程组的零解为渐近稳定；（2）如a0，则dV/dt定正，方程组的零解为不稳定；（3）如a=0，则dV/dt=0，方程组的零解稳定。•注定理4是李雅普诺夫稳定性的基本定理。对含时间t的驻定微分方程及含时间t的函数V(t,x)也有相应的定理，V(t,x)定理条件及函数V(t,x)的有关定义要作一些改变，如V(t,x定正的含义应改为存在定正函数W(x)，使得V(t,x)≥W(x)。221()2Vxy44d()dVaxyt则33dd,ddxyyaxxaytt第六章非线性微分方程§6.119稳定性定理推广•进一步的推广有定理5如果对微分方程组（14）存在定正函数V(x)，其通过方程组(14)的全导数dV(x)/dt为常负，但使dV(x)/dt=0的x的集中除零解x=0外不包含方程(14)的整条正半轨线，则方程组（14）的零解是渐近稳定的。证证明与定理4类似。因对轨线不会有仍可通过反证法证明从几何意义上看，虽dV(x)/dt为常负，但因使dV(x)/dt=0的x的集中除零解x=0外不包含方程(14)的整条正半轨线，故轨线不会永远停留在某一闭曲线V=c上，必逐层趋近原点。d(())0dVxttlim(())0tVxtlim()0txt即d(),(0)0,(14)dnxfxfxRt第六章非线性微分方程§6.120数学摆例3讨论含阻力数学摆的稳定性态解含阻力数学摆的微分方程为•令x=φ,y=dφ/dt二阶方程化为一阶方程组(16)•可取函数为•当|x|/2时V定正。则其全导数为•当无阻力=0时dV/dt=0根据定理4方程组的零解稳定。•当有阻力0时dV/dt