高中物理奥赛 之 物体的平衡

CAI使用说明1、斜体文字——表示有备注供查看2、加下划线的变色文字——表示有超链接3、——表示返回至链接来处4、——表示到上一张幻灯片5、——表示到下一张幻灯片6、——表示到首页中学物理奥赛解题研究第三专题物体的平衡解题知识与方法研究疑难题解答研究例题6例题7例题8一、两种常见的约束三、静摩擦角的应用二、利用对称性确定力的方向四、多摩擦点何处“打滑”的确定1、光滑铰链1-1、概念：使物体上的一点保持不动的一种约束.1-2、分类：为柱铰链和球铰链两种.一、两种常见的约束解题知识与方法研究1图2图3图图1、图2为柱铰链，图3为球铰链.铰链实例：1-3、性质:（1）光滑铰链与物体间的作用力(弹力)通过铰链的中心（“销”心或球心）G物体绕铰链自由转动实例：GF铰链的施力与受力实例：受力施力施力受力受力施力（2）物体可绕柱铰链无摩擦地在二维平面内自由转动,可绕球铰链无摩擦地在三维空间自由转动.2、连杆2-1、概念：一根轻杆，其两端分别用光滑铰链和两物体相连，仅可两端受力.2-2、性质：（1）无论静止还是运动，其两端受力必为一对平衡力，方向沿杆长方向.（2）通过连杆，只能沿杆长方向向其他物体施力.1vv2Gv连杆实例：G连杆施力1vv2v你能不能证明这一性质？连杆受力例1如图所示的水平放置的由五根轻杆和一个拉力器构成的正方形框架.A、B、C、D四处由铰链连接，AC杆和BD杆交汇处不连接.如果调解拉力器，使它产生拉力为T，问：各杆受到的力是拉力还是压力？各力的大小等于多少？ABCD解AB杆：ABTADTAD杆：对铰链A的拉力TAB(=T)必然水平向右.对铰链A的力不能是向上的压力，只能是向下的拉力TAD.AC杆：对铰链A只能是压力TAC，方向沿CA.ACT()ABADT、DCT进而可得到2ACTTTBDT根据对称性可知：BD杆：对铰链B的压力TBD=TAC=T,方向沿DB.DC杆：对铰链D的拉力TDC=TAB=T,方向向右.BC杆：对铰链B的拉力TBC=TAD=T,方向向下.BCT要使AB和AD杆的合力T(AB、AD)与TAC反向且等大，ADABTTT必须ABDCAvDvBv例2四个质量相同的小球A、B、C、D用相同长度的轻质刚性细杆光滑铰接成一个菱形，开始时菱形为正方形，在光滑的水平面上沿着对角线AC方向以速度v作匀速运动.如图所示，在它前方有一与速度方向垂直的粘性固定直壁，C球与其相碰后立即停止运动.试求碰后瞬间A球的速度vA.vABDC解碰后瞬间各球的运动如图.III设碰撞中C球所受的冲量为I，则对整个系统由动量定理得A、B、D球的速度有关系cos45BDAvvv①(cos45cos45)4ABDImvmvmvmv②将①代入②化简得4-2AImvmv③设碰撞时C球受到DC、BC杆的冲量为I′.对C球由动量定理得2cos450IImvmv即2ImvI④xABDCAvDvBvIIIBC杆、DC杆同时对B、D球也有冲量I′.II0cos45cos45Imvmv即2mvI⑤由③、④、⑤式题后思考此结果有点意外，该如何解释?（或D）球，在BC（或DC）方向上由动量定理有对B4-2AImvmv③2ImvI④.Avv便可解出x二、利用力学平衡系统结构的对称性确定力的方向例如图，三根不光滑的质量、形状完全相同的杆对称的架立在水平不光滑地面上.试确定各杆受其他杆的作用力的方向？你认为是哪种情况？为什么？对称：系统的某种属性、状态经某种操作（或变换）后能保持不变，便称系统的这种属性、状态对此操作（或变换）具有对称性（或者说是对称的）.ABCAFBFCF三力斜向上ABCAFBFCF三力斜向下ABC三力水平BFCFAFPPAWP例3图5所示的机构由两长两短的四根轻杆通过光滑铰链连接而成,四根杆的尺寸已在图中标出.机构竖放在光滑水平面上.W和P、P′为所加的外力,求：（1）平衡时与的关系;（2）铰链O对所连接的两杆的作用力..PPBCONNBF2sinAWF如图，AB杆为二力轻杆，其A端受力FA、沿A→B方向，B端受力FB沿B→A方向.2sinBAWFF于是有解（1）分解W得BE杆的B端受力与为作用与反作用力，BFBF0OM由得sin2BFasin2cossin2sinWaNaPa即①aaaaaaFBAFWDE2sinBBWFF故BE杆是不是二力连杆？cosNasinPa研究AB杆：研究BE杆：能否判断铰链O对连接的两杆的作用力的方向？对整个机构，0yF由得2WN②由①②解得2tan3WP（2）据对称性可知铰链O对BE杆的作用力沿水平方向.0xF由知cosBEBFPF方向向右.铰链O对CD杆的作用力大小为cot.2CDBEWFFP方向水平向左.题后总结与思考综合利用了对称性分析和连杆的性质假定FBE倾斜，进行计算，看看结果？PPABCONNFBEBFaaaaaaFBAFWDEcsc.22WWPPsim三、静摩擦角的应用1、静摩擦角的概念1-1、定义：0000tan()2mfN满足的角称为静摩擦角＜1-2、几何意义：0最大静摩擦力fm和正压力N的合力与接触面法向夹角.Nf（即全反力R与接触面法向的最大夹角)全反力RfN2、用静摩擦角解题有时较简便fmR1-3、重要性质静摩擦角的大小取决于两接触面的性质！0tan()tan()mffNN，物体静平衡时0物体滑动时0tan()tan()mffNN0例4如图所示，有一长为l，重为W0的匀质杆AB，A端顶在竖直的粗糙墙壁上，杆端与墙壁的静摩擦系数为μ0,B端用一强度足够而不可伸长的轻绳悬挂，绳的另一端固定在墙壁的C点.杆呈水平状态，绳与杆的夹角为θ.（1）求杆能保持平衡时μ0与θ应满足的条件;（2）杆保持平衡时，杆上有一点P存在：若在P点与A点之间的任一点悬挂一重物，则当重物的总量W足够大时总可以使平衡被破坏;而在P点与B点之间的任一点悬挂任意重量的重物，都不能使平衡破坏.求出这一点P与A点的距离.解一（摩擦角方法）（1）TθABCW0.RT；由力的平衡条件及对称关系知φRNf既然杆能保持平衡，所以应有0tantan.即0tan.杆未挂重物时受力如图你能否准确确定R的方向？θABCTW0（2）杆挂上重物W时研究重物挂在何处能使1、R和N的夹角φ≤φ02、R和N的夹角φ＞φ0P作出墙壁和杆间的静摩擦角φ0=∠BAD.又作DP⊥AB，所得交点P即为所求.若重物W挂在P、B之间：WW0DD2W2W1D1RR无论W多大，均有φ≤φ0.若重物W挂在P、A之间：当W足够大时，就能使φ＞φ0.由几何关系得0tan()tanAPlAP由此解得01tancotlAP01cotlW解二（分析法）θABCW0挂上重物W（W可以为零）后，杆受力如图0F由：0sinfTWWcosNT①②0BM由：0()2lflWWld③由于杆未滑动，故0fN④由①、②消去T得：0tanfNWW⑤TfWNPd由③、⑤消去f得：0cotcot2WWdNl⑥将③、⑥代入④得：000(cotcot)22按W、W0整理后得：000(1cot)(1cot)12WdWl⑦000(1cot)(1cot)12WdWl⑦通过讨论W和d对此式的影响来回答问题：（1）若不挂重物（W=0）：则有00(1cot)02W所以0tan⑧（2）在⑧成立时挂重物（W＞0)：此时⑦式左端00(1cot)02WⅠ、此时只要⑦式右端的0(1cot)10,dl则无论W多大，⑦式均成立.θABCTW0fWNPd于是得01cotldⅡ、此时如果⑦式右端的0(1cot)10,dl＜则当W足够大时，可使⑦不成立.于是得01cotld＜综上可知：01cotlAP题后总结本题用“摩擦角法”较简单；但当多点摩擦时一般更适合“分析法”.ABC1122何处打滑？何处打滑？1、实例F何处打滑？判断何接触处的静摩擦力先达到最大：2、处理的方法四、多摩擦点何处“打滑”的判断12F假定一处静摩擦力达到最大根据平衡条件计算他处的摩擦力与他处的最大静摩擦力比较大小例5有一木板可绕其下端的水平轴转动，转轴位于一竖直墙上，如图所示.开始时木板与墙面的夹角为15°，在夹角中放一正圆柱形木棍，截面半径为r，在木板外侧加一力F使其保持平衡，在木棍端面上画一竖直向上的箭头.已知木棍与墙面之间和木棍与木板之间的静摩擦系数分别为μ1=1.00,μ2=若板缓缓地减小所加的力F，使夹角慢慢张开，木棍下落.问当夹角张到60°时，木棍端面上的箭头指向什么方向？10.577.3F解当F逐渐减小时，板、墙给棍的摩擦方向如何，大小如何变化？判断2N1N2f1f当压力减小到一定程度，棍受力如图.o00xyFF由，得00M由得122+sincosfNfmg，①122+sincos.NfN②12.frfr③要使棍与墙接触点先滑，则此时有11max11ffN④而222fN⑤将④⑤代入③得mgF2N1N2f1fo1122NN⑥由②③④得112(1sin)cosNN⑦由⑥⑦两式得1211cossin为何值时此时成立？此式成立则左边先滑.设θ取临界角θ0时有003cos=1sin将μ1、μ2值代入，有3cos1sin⑧解出0=3090，().不合题意，舍去当15°θ30°时⑧不成立:当30°θ60°时⑧成立:棍右接触点打滑棍左接触点打滑棍顺时针转动.棍反时针转动.下面研究最后棍上的箭头转向了何方？mg122+sincos.NfN②12.frfr③11max11ffN④oooABCABC1h2h3hDrrr右图为棍转动的几何关系.153060由此得到115cot7.57.2hrr230cot3.73.2hrr360cot1.73.2hrr当棍沿墙由A滚动至B时，顺时针转动121=hhr当棍沿板由B′滚动至C′时，反时针转动2=rDBDC当棍在板上滚动时板顺时针转过φ3=30°.综上可知棍截面上的指针的转过的角度为123=135.F7.573.733.733.84rad=220.3.731.731.732.0rad=115.23hhr另解（摩擦角法）Fomg棍与墙之间的静摩擦角为101=arctan45,棍与木板之间的静摩擦角为202=arctan30.1R10D由几何关系有22+=90222R2220==30.即则=30.若此时棍右侧也达到最大静摩擦，（1）（2）当θ30°时，22030=.（）此时棍两侧均达到最大静摩擦.由上式展开讨论：即左侧达最大静摩擦时而右侧未达到（如图1）.此时棍右滚左滑.（3）当θ30°时，22030=.（）即实际上左侧尚未达到最大静摩擦时而右侧早已达到（如图2）.此时棍左滚右滑.1图Fomg2R1R1D202图进一步可求得棍截面上的箭头转动的角度.三非平行力R1、R2、当棍左侧达到最大静摩擦时，mg共点于D.如图1.考虑全反力（代替压力和摩擦力）.题后总结与思考两接触点交替打滑是本题的特点和难点；本题用“摩擦角法”不及“分析法”清晰；ⅰ、在原题条件下，若F逐渐增大，会发生什么现象；ⅱ、在什么条件下棍会“自锁”？Fo例6如图所示，平而薄的匀质圆板放在水平桌面上，圆板绕着过中心O的竖直轴旋转，O相对桌面做水平运动.如果圆板与桌面的摩擦系数处处相同，试证明圆