【清华】10-数学模型基础-40620897

环境数据处理与数学模型环境数学模型基础董欣环境系统分析教研所2015年4月27日主要内容0103050204基本概念模型的建立参数率定模型验证灵敏性分析基本概念为什么要使用模型？模拟真实世界简化复杂系统解释机理或关系预测未来检验设想……基本概念数学模型的定义一套公式和算法根据对研究对象所观察到的现象和实践经验，归结成一套反映其数量关系的数学公式和具体算法描述研究对象的规律•某个属性随时间的变化特征•某个属性随空间的变化特征•某个属性与其他属性的定量关系•某个属性与其他研究对象某些属性的定量关系•……基本概念数学模型的定义问题答案解方程经验数学工具基本概念数学模型的功能解释描述研究对象的现实状态预测研究对象的未来状况提供最优决策和控制措施预测研究对象的未来状况基本概念数学模型的功能提供最优决策和控制措施基本概念数学模型的功能基本概念数学模型的特征抽象性在建模过程中，为了用数学符号表达具体事物的特征和数量关系，必然要对研究对象的本质进行高度抽象可以为研究工作提供快捷、经济、灵活的研究手段，创造了广阔的应用空间局限性为了对实际事物进行抽象，需要对研究对象作出一系列简化和假设。这些假设可能会偏离事物原来的特征，或者只能反映事物的部分特征局限性源于抽象性基本概念数学模型的特征数学模型的计算结果与真实世界可能有偏离，产生失真再好的数学模型也不会比实际系统更真实！基本概念数学模型的分类按照空间维数零维、一维、二维、三维按照变量与时间的关系稳态模型、动态模型按照变量之间的关系线性模型、非线性模型按照参数的性质集中式模型、分布式模型按照变量的变化规律确定性模型、随机模型按照模型的结构白箱模型、灰箱模型、黑箱模型按照模型的用途模拟模型、管理模型按照研究方法优化模型系统动力学模型神经网络模型时间序列模型……模型建立建立的基本过程数据收集与处理模型结构确定模型参数估计模型验证模型应用观测数据I观测数据II观测数据组I和观测数据组II应该相互独立模型建立数据收集与处理收集反映研究对象特征的各种数据与研究对象直接相关的数据，如大气环境质量数据、污染源数据与研究对象间接相关的数据，如气象数据、社会经济发展规划数据数据收集的途径：利用现有数据（二手）和现场监测数据（一手）对收集的数据进行整理分析，找出之间的相互关系变量与变量，变量与时间，变量与空间通常需要绘制变量的时间过程线、空间分布图等要保障数据的可靠性模型建立模型结构的确定环境模型大多属于灰箱模型既包含机理，又包含经验首先根据研究对象内各个变量之间的物理、化学或生物过程建立起原则关系，然后很据输入、输出数据确定参数数值确定最小研究单元，分析最小单元特征质量守恒，能量守恒，经济理论，行为假设反应类型，反应级数……模型建立模型结构的确定InflowOutflowReactionSettlingininoutsdcVQcQckVcAcdt模型建立模型结构的确定1:Breakfast;2:Trip;3:WorkorinSchool;4:Lunch;5:Cleaning;6:Services&Shopping;7:Supper;8:Passiveleisureorstudy;9:Washing5~66~77~88~99~1010~1111~1212~1313~1414~1515~1616~1717~1818~1919~2020~2121~2222~2323~241222333333333222700001333333333778890000133333333377890000100044000066709000001333333333078889000100000006670000090223333333332270999012233333333322700000001044055000000900010000400000788890模型建立模型结构的确定01020304050607080904:00-5:005:00-6:006:00-7:007:00-8:008:00-9:009:00-10:0010:00-11:0011:00-12:0012:00-13:0013:00-14:0014:00-15:0015:00-16:0016:00-17:0017:00-18:0018:00-19:0019:00-20:0020:00-21:0021:00-22:0022:00-23:0023:00-24:00weekdayweekendave模型建立模型参数估计一个结构上合理的模型，只有获得合理的参数数值后才可用待定参数的取值要根据实际观测数据确定模型参数估计的方法基于试验或经验的方法基于搜索的方法：网格法、最优化方法……基于贝叶斯理论的方法：RSA方法(RegionalizedSensitivityAnalysis)、GLUE(GeneralizedLikelihoodUncertaintyEstimation)……模型建立模型验证模型确定结构和参数后，能够付诸实际应用，还需要进行模型验证，以确认数学模型的性能稳定性需要采用实际监测的数据进行验证与用于参数估计的数据应该相互独立如果模型计算误差超过了预定的界限，可以通过修正参数或调整模型结构加以改进需重新估计参数和进行模型验证模型建立模型应用预测在给定条件下，预测/模拟研究对象未来的表现/状态调控控制某些变量/参数，使得研究对象达到预期的某种表现/状态一个实际模型的建立，需要在应用中不断矫正和提高利用实际数据来提高模型精度是最好的途径使用模型的过程应该成为完善和改进模型的过程模型建立模型建立举例十二胺是一种萃取剂，在水中的降解过程可以用以下实验数据表达，试建立模型描述这一降解过程。时间（h）013579232731浓度(mg/L)2.302.221.921.601.521.070.730.500.45（1）数据收集与分析•十二胺在水中降解过程的有关数据已经获得，需要做初步分析。•将十二胺浓度随时间的变化关系作成曲线，寻找变量与时间的关系。•由图可知，十二胺的降解过程基本符合负指数规律。0102030tC210模型建立模型建立举例（2）模型结构选择•负指数规律可以用以下形式表达：•表达式中，C表示十二胺在不同时间的浓度，C0表示十二胺的初始浓度，t表示时间，k是反映十二胺降解速度的模型参数（3）参数估值•在环境条件相对稳定时，k可以被认为是常数•利用已知的实验数据，通过线性回归可以求得参数：k=0.0519(h-1)，相关系数r=0.99，模型确定为：（4）模型检验与修正•重新收集一组十二胺在水中降解过程的实验数据。利用新的数据对模型进行检验•如果通过了检验，模型就可以正式使用了（5）模型应用与信息反馈•在实际应用中继续改进模型kteCC00.05190tCCe模型建立模型建立的难点Relationshipbetweenmodelsandmodelingobjectives(System)Questionsofscale(ordetails)inspatial,temporalandecologicaldimensions(Uncertainty)Balanceinmodeldevelopmentbetweentheuseofapriortheoryandobservations(Structure)参数估计参数估计的目的寻求一组参数，使模型的输出与实际观测数据之间按给定目标函数的度量方式达到最佳拟合minf(ys,yobv,θ)=f(ys,yobv,θ*)θ∈S式中f(y,θ)为目标函数；ys表示模型输出变量，yobv为系统观测值；θ*表示参数可行域S上的最优参数向量TimeOutputresponse(y)Observations120参数估计试验/经验法试验法物理意义明确的参数，可以对参数进行试验测量污染物的降解系数：烧杯试验对于环境数学模型，很多参数的意义并不完全等同于概化过程中参数的意义，而是各种过程的集成反映，很难通过试验法来测定经验法在环境数学模型中，对于使用频率高的参数，人们对这些参数的取值提出了很多经验公式，可以用来估算模型参数河流的大气复氧速率常数：xaukh参数估计网格法步骤预先估计参数取值范围（参数空间）将各个参数的取值区间等分在所有顶点处计算目标函数值（可采用最小二乘法中的目标函数表达形式）比较各目标值的大小,目标值选优，确定对应的最优参数值属于枚举法，计算量很大，通常在计算机上完成参数估计网格法步骤预先估计参数取值范围（参数空间）将各个参数的取值区间等分在所有顶点处计算目标函数值（可采用最小二乘法中的目标函数表达形式）比较各目标值的大小,目标值选优，确定对应的最优参数值•先粗后细•网格内随机抽样确定一点，不局限于网格顶点（分层随机蒙特卡洛模拟）参数估计最优化方法原理假设存在一组参数，使得模型的计算值与观测值之差的平方和最小，这组参数被称为最优化参数最小二乘法给定模型：求最优参数的目标函数：一组输入变量一组参数实测值模型计算值难点：优化问题的维度，优化目标函数的形式参数估计最优化方法迭代求解最优参数的步骤①设定参数初始值θ0和允许的迭代误差ε②计算目标函数的初始值③计算目标函数对参数的梯度④计算参数的修正步长⑤计算参数的修正值⑥计算新的目标函数值⑦比较新旧目标函数值，如果误差小于允许的迭代误差，则最优参数为初始参数；否则从第3步重复，直至误差小于允许的迭代误差参数估计最优化方法间接算法梯度法以及各种以梯度法为基础改进的算法目标函数在相关域上必须是可微的直接算法仅涉及目标函数值计算，不受连续可微限制现代优化算法：控制随机搜索算法、退火算法、遗传算法、蚁群优化算法、神经网络……最优化方法的关键效率与准确性之间的平衡初始参数点的设定，新参数点的生成终止的条件参数估计区域灵敏性分析方法区域灵敏性分析(RSA)的思路克服和解决传统的参数最优识别思想中参数不可识别问题，基于贝叶斯理论的不确定性参数识别思路放弃传统的参数最优识别思想，不再强求一组单一的最优参数，而是获取参数的后验分布参数先验分布、样本信息和后验分布的关系：(|)()(|)()pyppypy参数的先验分布反映在样本条件下参数的似然度信息样本信息参数的后验分布参数估计区域灵敏性分析方法RSA的步骤①确定参数的取值范围和先验分布②在参数空间随机产生符合先验分布的样本点③将参数代入模型，获取模型模拟值④根据行为准则决定参数的取舍⑤重复②~④，直到获取足够多的可接受参数样本点•RSA将参数划分为接受和不接受两类，如果一组参数，模拟出来的结果满足事先设定的条件，这组参数可接受，反之，不可接受•事先设定的条件：模拟误差20%......•当参数可接受，似然度为1，反之为0TimeOutputresponse(y)Violationofconstraint避免由于“最优”参数失真而带来的决策风险参数估计区域灵敏性分析方法污染事故案例某企业因爆炸事故，短时间内从A排放口向河流排放大量硝基苯污染物，当前已有B，C断面的监测数据，需要对沿河取水口进行水质预警，确定污染程度及停止取水的时间当前数据：•河流平均流速（1.41km/h）•A,B,C距离泄露点距离（0,583,1023km）•B,C断面的相关监测数据（B-D段无支流汇入）取水口参数估计区域灵敏性分析方法模型方程22xCCCuEKCtxx硝基苯浓度河流流速河流弥散系数生化降解系数设定硝基苯扩散系数E的取值范围设定为0-3km2/h,降解系数K的取值范围设定0-0.003h-1，初始分布服从均匀分布。设定C断面硝基苯浓度实测值的上下20%和0.05mg/L中的较大值为判定是否接受参数的准则。参数估计区域灵敏性分析方法参数估计结果被接受的参数6143组被拒绝的参