2017年全国二卷理科数学高考真题

2017年普通高等学校招生全国统一考试理科数学本试卷共23题，共150分，共4页。考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。注意事项:1.答题前，考生先将自己的姓名、准考证号码填写清楚，将条形码准确粘贴在条形码区域内。2.选择题必须使用2B铅笔填涂；非选择题必须使用0.5毫米黑色字迹的签字笔书写，字体工整、笔迹清楚。3.请按照题号顺序在答题卡各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试卷上答题无效。4.作图可先使用铅笔画出，确定后必须用黑色字迹的签字笔描黑。5.保持卡面清洁，不要折叠、不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀。一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1．i1i3A．i21B．i21C．i2D．i22．设集合421，，A，042mxxB，若1BA,则BA．31，B.．01，C．31，D．51，3．我国古代数学名著《算法统宗》中有如下问题：“远望巍巍塔七层，红光点点倍加增，共灯三百八十一，请问尖头几盏灯？”意思是：一座7层塔共挂了381盏灯，且相邻两层中的下一层灯数是上一层灯数的2倍，则塔的顶层共有灯A．1盏B．3盏C．5盏D．9盏4．如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗实线画出的是某几何体的三视图，该几何体由一平面将一圆柱截去一部分后所得，则该几何体的体积为A．90B．63C．42D．365．设yx、满足约束条件，，，0303320332yyxyx则yxz2的最小值是A．15B．9C．1D．96．安排3名志愿者完成4项工作，每人至少完成1项，每项工作由1人完成，则不同的安排方式共有A．12种B．18种C．24种D．36种理科数学试题第1页（共4页）7．甲、乙、丙、丁四位同学一起去向老师询问成语竞猜的成绩.老师说：你们四人中有2位优秀，2位良好，我现在给甲看乙、丙的成绩，给乙看丙的成绩，给丁看甲的成绩.看后甲对大家说：我还是不知道我的成绩.根据以上信息，则A．乙可以知道四人的成绩B．丁可以知道四人的成绩C．乙、丁可以知道对方的成绩D．乙、丁可以知道自己的成绩8．执行右面的程序框图，如果输入的1a，则输出的SA．2B．3C．4D．59．若双曲线)00(1:2222babyaxC，的一条渐近线被圆4)2(22yx所截得的弦长为2，则C的离心率为A．2B．3C．2D．33210．已知直三棱柱111CBAABC中，120ABC,2AB,11CCBC,则异面直线1AB与1BC所成角的余弦值为A．23B．515C．510D．3311．若2x是函数12)1()(xeaxxxf的极值点，则)(xf的极小值为A．1B．32eC．35eD．112．已知ABC是边长为2的等边三角形，P为平面ABC内一点，则)(PCPBPA的最小值是A．2B．23C．34D．1二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13．一批产品的二等品率为02.0，从这批产品中每次随机取一件，有放回地抽取100次，X表示抽到二等品件数，则DX.14．函数])20[(43cos3sin)(2，xxxxf的最大值是.15．等差数列na的前n项和为nS，33a，104S，则nkkS11.16．已知F是抛物线xyC8:2的焦点，M是C上一点，FM的延长线交y轴于点N.若M为FN的中点，则FN.理科数学试题第2页（共4页）开始输出S否是K=K+1a=-aS=0，K=1S=S+aKK6输入a开始三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答。第22/23题为选考题，考生根据要求作答。（一）必考题：共60分。17.（12分）ABC的内角CBA，，的对边分别为cba，，，已知2sin8)sin(2BCA.(1)求Bcos；(2)若6ca，ABC的面积为2，求b.18.（12分）海水养殖场进行某水产品的新、旧网箱养殖方法的产量对比，收获时各随机抽取了100个网箱，测量各箱水产品的产量（单位：kg），其频率分布直方图如下：(1)设两种养殖方法的箱产量相互独立，记A表示事件“旧养殖法的箱产量低于50kg，新养殖法的箱产量不低于50kg”，估计A的概率；(2)填写下面列联表，并根据列联表判断是否有99%的把握认为箱产量与养殖方法有关；(3)根据箱产量的频率分布直方图，求新养殖法箱产量的中位数的估计值（精确到0.01）.附：))()()(()(22dbcadcbabcadnK.理科数学试题第3页（共4页）箱产量50kg箱产量≥50kg旧养殖法新养殖法箱产量/kg频率/组距0.0680.0460.0440.0200.01000.0080.0047065605550454035旧养殖法0.0340.0320.0240.0140.0122530箱产量/kg频率/组距0.0400.02007065605550454035新养殖法MEDCBAP19.（12分）如图，四棱锥ABCDP中，侧面PAD为等边三角形且垂直于地面ABCD，ADBCAB21，90ABCBAD,E是PD的中点.(1)证明：直线PABCE平面∥；(2)点M在棱PC上，且直线BM与底面ABCD所成角为45，求二面角DABM的余弦值.20.（12分）设O为坐标原点，动点M在椭圆12:22yxC上，过M作x轴的垂线，垂足为N，点P满足NMNP2.(1)求点P的轨迹方程；(2)设点Q在直线3x上，且1PQOP.证明：过点P且垂直于OQ的直线l过C的左焦点F.21.（12分）已知函数xxaxaxxfln)(2，且0)(xf.(1)求a；(2)证明：)(xf存在唯一的极大值点0x，且2022)(xfe.（二）选考题：共10分。请考生在第22、23题中任选一题作答。如果多做则按所做的第一题计分。22.[选修44：坐标系与参数方程]（10分）在直角坐标系xOy中，以坐标原点为极点，x正半轴为极轴建立极坐标系，曲线1C的极坐标方程为4cos.(1)M为曲线1C上的动点，点P在线段OM上，且满足16OPOM，求点P的轨迹2C的直角坐标方程；(2)设点A的极坐标为)32(，，点B在曲线2C上，求OAB面积的最大值.23.[选修54：不等式选讲]（10分）已知20033baba，，.证明：(1)4))((55baba；(2)2ba.理科数学试题第4页（共4页）参考答案一、选择题1.D2.C3.B4.B5.A6.D7.D8.B9.A10.C11.A12.B二、填空题13.1.9614.115.12nn16.6三、解答题17.（1）由BCA得2sin8sin2BB，即2sin42cosBB，412tanB，得158tanB，则有1715cosB.（2）由（1）可知178sinB，则2sin21BacSABC，得217ac，又417302)(cos22222acaccaBaccab，则2b.18.（1）旧养殖法箱产量低于50kg的频率为62.05)040.0034.0024.0014.0012.0(，新养殖法箱产量不低于50kg的频率为66.05)008.0010.0046.0068.0(，而两种箱产量相互独立，则4092.066.062.0)(AP.（2）由频率分布直方图可得列联表箱产量50kg箱产量≥50kg旧养殖法6238新养殖法3466则635.6705.1510496100100)38346662(20022K，所以有99%的把握认为箱产量与养殖方法有关.（3）新养殖法箱产量低于50kg的面积为5.034.05)044.0020.0004.0(，产量低于55kg的面积为5.068.05)068.0044.0020.0004.0(，所以新养殖法箱产量的中位数估计值为35.5250534.034.05.0（kg）.19.（1）取PA中点F，连结BFEF、.因为E为PD中点，则ADEF21∥.而由题可知ADBC21∥，则BCEF∥，即四边形BCEF为平行四边形，所以FBEC∥.又PABFBPABEC面，面，故PABCE面∥.（2）因为ADAB，则以A为坐标原点，ADAB、所在直线分别为yx、轴建立空间直角坐标系xyzA，如图所示.取1AB，设)10(CPCM则得)011()001()000(，，，，，，，，CBA，)310(，，P，则)301(，，CP，)30(，，CM，可得点)311(，，M，所以)31(，，BM.取底面ABCD的法向量为)100(，，n，则45sin313cos22nBM，，解得22,则)26122(，，BM.因为)001(，，AB,设面MAB的法向量为)(zyxm，，，由00BMmABm得026220zyxx，取2z得)260(，，m，则510cosnmnmnm，.故二面角DABM的余弦值为510.20.（1）设)(yxP，，则)22(yxM，，将点M代入C中得12222yx，所以点P的轨迹方程为222yx.（2）由题可知)01(，F，设)()3(nmPtQ，，，，则)1()3(nmPFtOQ，，，，zyxFMEDCBAP)3()(ntmPQnmOP，，，.由1OQOP得1322ntnmm，由（1）有222nm，则有033tnm，所以033tnmPFOQ，即过点P且垂直于OQ的直线l过C的左焦点F.21.（1）)(xf的定义域为)0(，，则0)(xf等价于0lnxaax.设xaaxxgln)(，则xaxg1)(.由题可知0a，则由0)(xg解得ax1，所以)(xg为)1(，a上的增函数，为)10(a，上的减函数.则有)1()(minagxg0ln1aa，解得1a.（2）由（1）可知xxxxxfln)(2，则xxxfln22)(.设xxxhln22)(，则xxh12)(.由0)(xh解得21x，所以)(xh为)21(，上的增函数，为)210(，上的减函数.又因为0)1(012ln)21(hh，，则)(xh在)210(，上存在唯一零点0x使得0ln2200xx，即00ln22xx,且)(xf为)0(0x，，)1(，上的增函数，为)1(0，x上的减函数，则)(xf极大值为41)1()(000xxxf.而101)10(exe，，，所以210)()(eefxf.综上，2022)(xfe.22.（1）设P极坐标为)0)((，，M极坐标为)0)((11，.则OP，cos41OM.由16OPOM得2C的极坐标方程为)0(cos4.所以2C的直角坐标方程为)0(4)2(22xyx.（2）设B极标为)0)((22，，由题可知cos422，OA，则有3223)32sin(2)3sin(212OASOAB.即当12时，OAB面积的最大值为32.23.（1）655655))((bbaabababa)(2)(4433233baabbaba222)(4baab4（2）因为3223333)(babbaaba)(32baab)(4)(322baba4)(323b