正方形的性质

18.2.3正方形第十八章平行四边形第1课时正方形的性质学习目标1.理解正方形既具有矩形的性质，又具有菱形的性质.2.会应用正方形的性质解决相关证明及计算问题.（重点、难点）导入新课图片引入观察这些图片，你有什么发现？这些四边形有什么共同特征？各边相等，四个角都是直角……讲授新课正方形的性质合作探究矩形正方形〃问题1：矩形怎样变化后就成了正方形呢?问题2：菱形怎样变化后就成了正方形呢?正方形矩形正方形邻边相等发现：一组邻边相等的矩形是正方形菱形一个角是直角正方形∟发现：一个角为直角的菱形是正方形正方形定义：有一组邻边相等并且有一个角是直角的平行四边形叫正方形.探究小结矩形菱形正方形平行四边形正方形是特殊的平行四边形,也是特殊的矩形,也是特殊的菱形.所以矩形、菱形有的性质,正方形都有.归纳平行四边形、矩形、菱形、正方形之间关系ABCD填一填：角：边：对角线：对称性：四个角都是直角.四条边相等.对角线相等且互相垂直平分.aaaa轴对称图形（4条对称轴）.正方形的性质边角对角线对称性图形语言文字语言符号语言ACDBACDBACDB∟∟∟∟O对边平行，四条边都相等四个角都是直角对角线互相垂直平分且相等，每条对角线平分一组对角∵四边形ABCD是正方形∴AB∥CD,AD∥BC,AB=BC=CD=AD∵四边形ABCD是正方形∴∠A=∠B=∠C=∠D=90°∵四边形ABCD是正方形∴AC⊥BD,AC=BD,OA=OC,OB=OD轴对称图形中心对称图形例1求证:正方形的两条对角线把这个正方形分成四个全等的等腰直角三角形.ADCBO已知:如图,四边形ABCD是正方形,对角线AC、BD相交于点O.求证:△ABO、△BCO、△CDO、△DAO是全等的等腰直角三角形.分析:利用正方形的性质,对角线互相垂直平分且相等,每条对角线平分一组对角.平分可以产生线段等量关系,垂直可以产生直角,于是可以得到四个全等的等腰直角三角形.典例精析ADCBO证明:∵四边形ABCD是正方形,∴AC=BD,AC⊥BD,AO=BO=CO=DO.∴△ABO、△BCO、△CDO、△DAO都是等腰直角三角形,并且△ABO≌△BCO≌△CDO≌△DAO如图,在正方形ABCD中,点E在对角线AC上,那么BE与DE相等吗?为什么?解:BE=DE.理由如下：连接BD，∵四边形ABCD是正方形，∴AC垂直平分BD又点E在AC上∴BE=DEABCDE还可以用其他方法说明，试试看.做一做DABCE例2已知：如图，在正方形ABCD中，ΔBEC是等边三角形，求证：∠EAD＝∠EDA＝15°.证明：∵∠EBC=∠ECB=∠CEB=60°∴△ABE，△DCE是等腰三角形，∠ABE=∠DCE=30°∴∠BAE=∠BEA=∠CDE=∠CED=75°∴∠EAD=∠EDA=90°-75°=15°如图,点E是正方形ABCD边BC上延长线上一点，且CE=AC，若AE交CD于点F，求∠E和∠AFC的度数.ABCDEF解：∠E=22.5°，∠AFC=112.5°.做一做例3如图在正方形ABCD中,E为CD上一点，F为BC边延长线上一点,且CE=CF.BE与DF之间有怎样的关系？请说明理由.解：BE=DF,且BE⊥DF.理由如下：（1）∵四边形ABCD是正方形.∴BC=DC,∠BCE=90°.（正方形的四条边都相等,四个角都是直角）∴∠DCF=180°-∠BCE=180°-90°=90°.ABDCFE∴∠BCE=∠DCF.又∵CE=CF.∴△BCE≌△DCF.∴BE=DF.(2)延长BE交DE于点M,∵△BCE≌△DCF,∴∠CBE=∠CDF.∵∠DCF=90°,∴∠CDF+∠F=90°.∴∠CBE+∠F=90°,∴∠BMF=90°.∴BE⊥DF.ABDFECM1．在正方形ABCD中,∠ADB=,∠DAC=,∠BOC=.2.在正方形ABCD中，E是对角线AC上一点，且AE=AB，则∠EBC的度数是.ADBCOADBCOE45°90°22.5°第1题第2题45°当堂练习3.如图，ABCD是一块正方形场地.小华和小芳在AB边上取定了一点E，测量知，EC=30m，EB=10m.这块场地的面积和对角线分别是多少？解：根据勾股定理：BC2=EC2-EB2=302–102=800∴BC=∴这块场地的面积=对角线AC=3010800202(m)22(202)800(cm)22202+20240(m)（）（）DAEBC解：∵△ABE是等边三角形.∴AB=AE=BE,∠ABE=∠BEA=∠EAB=60°.又∵四边形ABCD是正方形.∴AD=BC=AE=BE,∠DAB=∠ABC=90°.∴∠DAE=∠CBE=150°.∴∠AED=∠EDA=∠CEB=∠BCE=15°.∴∠DEC=∠AEB-∠AED-∠CEB=30°.4.如图，已知正方形ABCD,以AB为边向正方形外作等边△ABE,连结DE、CE,求∠DEC的度数.DCBAEGF5.已知：如图所示，在正方形ABCD和正方形AEFG有一具公共顶点A，把正方形AEFG绕A点旋转到如图所示位置，连结DG、BE.试说明：DG＝BE.证明：根据正方形的性质可得AD=AB，AG=EF又由旋转可得∠DAG=∠BAE∴△DAG≌△BAE（SAS)∴DG=BE6.在正方形ABCD中，AC=10，P是AB上任意一点，PE⊥AC于点E，PF⊥BD于点F，求PE+PF的值.ABCDEPFO解：连接PO∵四边形ABCD是正方形，∴AC⊥BD，AO=BO=AC.∵S△APO+S△BPO=S△ABO∴AO·PE+BO·PF=AO·BO∴PE+PF=AO=AC=5.1212121212课堂小结1.四个角都是直角2.四条边都相等3.对角线相等且互相垂直平分正方形的性质性质定义有一组邻相等，并且有一个角是直角的平行四边形叫做正方形