§3-条件概率与独立事件

§3条件概率与独立事件三张奖券中只有一张能中奖，现分别由三名同学无放回地抽取一张，奖品是“周杰伦演唱会门票一张”，那么问最后一名同学中奖的概率是否比前两位小？如果已经知道第一名同学没有中奖,那么最后一名同学中奖的概率是多少？相信同学们已经明确问题的答案，其中后一问就牵涉了条件概率的问题，这节课我们将深入研究.1.理解条件概率的概念、公式.（重点）2.理解独立事件的概念、概率公式、性质.(重点）3.熟练掌握独立事件和条件概率公式，并能运用它们解决有关的实际问题．（难点）100件产品中有93件产品的长度合格，90件产品的质量合格，85件产品的长度、质量都合格.令A＝{产品的长度合格}，B＝{产品的质量合格}，A∩B＝{产品的长度、质量都合格}．探究点1条件概率思考1：P(A)、P(B)、P(A∩B)等于多少？提示：P(A)＝93100，P(B)＝90100，P(A∩B)＝85100.思考2：任取一件产品，已知其质量合格(即B发生)，那么它的长度合格的概率是多少？提示：任取一件产品，已知它的质量合格（即B发生），则它的长度合格（即A发生）的概率为BAA∩B8590.思考3：概率与事件A及B发生的概率有什么关系呢?提示：由思考1知P(A),P(B),P(A∩B)的值，因此，在事件B发生的前提下，事件A发生的概率为提示：P(A|B)＝PA∩BPB（P（B）0）.85()908585P(AB)100==.9090P(B)100∩思考4：若用P(A|B)表示在事件B发生的前提下，事件A发生的概率，试探求P(B)、P(A∩B)、P(A|B)间的关系．条件概率(1)概念事件B发生的条件下，A发生的概率，称为_____________的条件概率，记为．(2)公式P(A|B)＝(其中，A∩B也可记成AB,P(B)0)．(3)当P(A)0时，A发生时B发生的条件概率为P(B|A)＝.P(A|B)PA∩BPBPABPAB发生时A发生对条件概率的理解（1）由条件概率的定义知，P(B|A)与P(A|B)是不同的；另外，在事件A发生的前提下，事件B发生的概率为P(B|A)，其值不一定等于P(B)．（2）有界性：01.PBA【即时小练】袋子中有5个球（3个白色、2个黑色），现每次取一个，无放回地取2次，则在第一次取到白球的条件下，第二次又取到白球的概率为（）3313A.B.C.D.54210解析：记第一次取到白球为事件A，第二次取到白球为事件B，则31P(AB)152P(BA).3P(A)25C【提升总结】求条件概率的步骤第一步：用字母表示有关事件；第二步：求P(AB),P(A)；第三步：利用条件概率公式求P(B|A).有这样一项活动：甲箱里装有3个白球，2个黑球.乙箱里装有2个白球，2个黑球.从这两个箱子里分别摸出1个球，记事件A＝{从甲箱里摸出白球}，事件B＝{从乙箱里摸出白球}．思考1：事件A发生会影响事件B发生的概率吗？提示：不影响．探究点2独立事件思考2：P(A)，P(B)，P(AB)等于多少？提示：P(A)＝35，P(B)＝12，P(AB)＝3×25×4＝310.思考3：P(AB)与P(A)，P(B)有什么关系？提示：P(AB)＝P(A)·P(B)＝35×12＝310.思考4：P(B|A)与P(B)相等吗？提示：相等，由P(B|A)＝PABPA＝12，可得P(B|A)＝P(B)．【抽象概括】对两个事件A,B,如果P(A｜B)=P(A),则意味着事件B发生不影响事件A的概率.设P(B)0，根据条件概率的计算公式，我们能得到)()()()(BPABPBAPAP).()()(BPAPABP(1)概念：一般地，对两个事件A，B，如果，则称A，B相互独立．(2)推广：若A与B相互独立，则A与，A与，A与也相互独立．(3)拓展：若A1，A2，…，An相互独立，则有P(A1A2…An)＝．P(AB)＝P(A)P(B)BP(A1)P(A2)…P(An)BB【独立事件】判断下列事件是否是相互独立事件.①在篮球比赛的“罚球两次”中，事件A：第一次罚球，球进了；事件B：第二次罚球，球进了.提示：是相互独立事件.②在三月份的月考较量中，事件A：同学甲获得第一名；事件B：同学乙获得第一名.提示：不是相互独立事件.【即时小练】③袋中有三个红球，两个白球，采取不放回地取球，事件A：第一次从中任取一个球是白球；事件B：第二次从中任取一个球是白球.提示：不是相互独立事件.④甲坛子里有3个红球，2个黄球，乙坛子里也有3个红球，2个黄球，从这两个坛子里分别摸出1个球，事件A：从甲坛子里摸出1个球，得到黄球；事件B：从乙坛子里摸出1个球，得到黄球.提示：是相互独立事件.思考：如何判断两个事件是否相互独立？提示：（1）由相互独立的实质来判断，判断一个事件的发生与否是否会影响到另一个事件的发生.（2）由公式判断：判断是否满足P(AB)=P(A)P(B).互斥事件、对立事件、相互独立事件的区别与联系【总结提升】通过调查发现，某班学生患近视的概率为0.4.现随机抽取该班的2名同学进行体检，求他们都近视的概率.解：如果用Ai(i=1,2)表示抽取到第i名学生患近视，则P(A1)=P(A2)=0.4.可以认为2名同学是否近视是相互独立的，因此，P(两名同学都近视)=P(A1A2)=P(A1)P(A2)=0.4×0.4=0.16.解：因为4个射手射击是否中靶是相互独立的，因此(1)P(4个人都中靶)=0.9×0.9×0.9×0.9=0.6561；(2)P(4个人都没中靶)=0.1×0.1×0.1×0.1=0.0001.已知四个射手独立地进行射击，设每个人中靶的概率都是0.9.试求下列各事件的概率：(1)4个人都中靶；(2)4个人都没中靶.【变式练习】1.从1，2，3，4，5中任取2个不同的数，事件A=“取到的2个数之和为偶数”，事件B=“取到的2个数均为偶数”，则P(B|A)=()Ａ.Ｂ.Ｃ.Ｄ.18142512Ｂ【解题关键】确定概率类型2．(2014·淄博模拟)某学校一年级共有学生100名，其中男生60人，女生40人．来自北京的有20人，其中男生12人，若任选一人是女生，则该女生来自北京的概率是________．15AB任选一人是女生，任选一分析：人来自北京408PA,PAB,1001008PAB1100PBA40PA51003．已知P(A|B)＝12，P(B)＝13，则P(AB)＝________.解析：因为P(A|B)＝PABPB，所以P(AB)＝P(A|B)P(B)＝12×13＝16.614.甲、乙两颗卫星同时监测台风，在同一时刻，甲、乙两颗卫星准确预报台风的概率分别为0.8和0.75，则在同一时刻至少有一颗卫星预报准确的概率为_______.解：由已知得1-(1-0.8)(1-0.75)=1-0.05=0.95.0.955.甲、乙两个篮球运动员互不影响地在同一位置投球，命中率分别为和p，且乙投球2次均未命中的概率为.求：(1)乙投球的命中率p；(2)甲投球两次，至少命中一次的概率．21161解：设“甲投球一次命中”为事件A，“乙投球一次命中”为事件B，则A，B相互独立．(1)方法一：由题意，得(1－P(B))2＝(1－p)2＝116.解得p＝34或p＝54(舍去)．所以乙投球的命中率为34.方法二：由题意，得P(B)·P(B)＝116.所以P(B)＝14或P(B)＝－14(舍去)，所以P(B)＝1－P(B)＝1－14＝34.即乙投球的命中率为34.(2)由题意知，P(A)＝12，P(A)＝12.方法一：甲投球两次，至少命中一次的概率为1－P(AA)＝1－P(A)P(A)＝1－12×12＝34.方法二：甲投球两次，至少命中一次的概率为P(AA＋AA＋AA)＝P(AA)＋P(AA)＋P(AA)＝12×12＋12×12＋12×12＝34.【解题关键】事件A,B相互独立6.ABCDDABCDCABCDBABCDAP31.04.05.05.06.06.05.05.06.04.0)5.01(5.06.04.05.0)5.01(6.04.05.05.04.0P解：用A表示使用甲设备，用B表示使用乙设备，用C表示使用丙设备，用D表示使用丁设备。则至少3人使用设备的概率P为回顾本节课你有什么收获？P(AB)P(AB)P(AB)P(B)P(B)条件概率的公式独立事件的定义对于两个事件A,B，如果P(AB)=P(A)P(B)，则称A，B相互独立.成功并不能用一个人达到什么地位来衡量，而是依据他在迈向成功的过程中，到底克服了多少困难和障碍。