2019年第一部分--第二章--2.3-第一课时-等比数列的概念及通项公式精品物理

2.3等比数列把握热点考向应用创新演练第二章数列考点一考点二考点三理解教材新知第一课时等比数列的概念及通项公式知识点一知识点二返回返回返回第一课时等比数列的概念及通项公式返回返回返回分析下面几个数列(1)12，14，18，116，…(2)一种计算机病毒可以查找计算机中的地址簿，通过邮件进行传播．如果把病毒制造者发送病毒称为第一轮，邮件接收者发送病毒称为第二轮，依此类推．假设每一轮每一台计算机都感染20台计算机，那么在不重复的情况下，这种病毒每一轮感染的计算机数构成的数列是1,20,202,203，….返回(3)某人年初投资10000元，如果年收益率是5%，那么按照复利，5年内各年末的本利和依次为10000×1.05,10000×1.052，…，10000×1.055，问题1：上面数列是等差数列吗？提示：不是．问题2：以上数列中后项与前项的比有何特点？提示：每一个数列后项与前项的比都等于同一常数.返回等比数列的定义如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的比等于，那么这个数列就叫做等比数列．这个常数叫做等比数列的公比，公比通常用字母q表示．同一个常数返回返回等比数列{an}的公比为q，由定义知，a2a1＝q，a3a2＝q，a4a3＝q，…anan－1＝q，有n－1个式子．问题1：q能等于0吗？提示：q≠0.返回问题2：这n－1个式子相乘后的结果是什么？能求出an吗？提示：ana1＝qn－1；an＝a1·qn－1.问题3：an的表达式与哪种函数相类似？提示：指数型函数，因为an＝a1q·qn.返回等比数列的通项公式一般地，对于等比数列{an}，有an＝，其中a1为首项，q为公比．a1qn－1返回1．对等比数列的定义的理解(1)“从第2项起”有两层含义，第一层是第一项没有“前一项”，第二层是包含第一项后的所有项．(2)“每一项与前一项的比”意思也有两层，第一层指相邻的两项之间，第二层指后项与前项的比．返回2．等比数列的通项公式(1)已知首项a1和公比q，可以确定一个等比数列．(2)在公式an＝a1qn－1中，有an，a1，q，n四个量，已知其中任意三个量，可以求得第四个量．返回返回返回[例1]设数列{an}满足a1＝1，an＋2an－1＋3＝0(n≥2)．判断数列{an＋1}是否是等比数列？[思路点拨]按照等比数列的定义，只需判断an＋1＋1an＋1是否是常数，注意条件的应用返回[精解详析]由题意知an＋1＋2an＋3＝0(n≥1)成立，∴an＋1＝－2an－3.∴an＋1＋1an＋1＝－2an－3＋1an＋1＝－2(常数)．又a1＋1＝2，∴数列{an＋1}是以2为首项，以－2为公比的等比数列．返回[一点通]判定数列是等比数列常用方法：(1)定义法：an＋1an＝q(常数)或anan－1＝q(常数)(n≥2)⇔{an}为等比数列．(2)通项法：an＝a1·qn－1(其中a1，q为非零常数，n∈N*)⇔{an}为等比数列．说明：做为解答题，一般用定义法证明．返回1．下面所给四个数列，是等比数列的是________．①2,4,8,16,20②2,4,6,8,10③2,4,8,16,32④1，－1,1，－1.解析：①②不是等比数列，③④是等比数列，公比是2和－1.答案：③④返回2．已知数列{an}中，a1＝2,2an－an－1＋1＝0(n≥2)．(1)判断数列{an＋1}是否为等比数列？并说明理由；(2)求an.返回解：(1)∵a1＝1,2an－an－1＋1＝0(n≥2)，∴2an＝an－1－1.∴2(an＋1)＝an－1＋1，即an＋1an－1＋1＝12.∴数列{an＋1}是以3为首项，12为公比的等比数列．(2)由(1)得an＋1＝3·(12)n－1，即an＝3·(12)n－1－1.返回返回[例2]等比数列{an}中，a2＝－13，a6＝－27，求{an}的通项公式．[思路点拨]利用通项公式求出a1，q得{an}的通项公式．返回[精解详析]法一：设等比数列{an}的公比为q，由已知得a1q＝－13a1q5＝－27，解得a1＝－19q＝3或a1＝19q＝－3.∴{an}的通项公式是an＝－19·3n－1或an＝19·(－3)n－1.即an＝－3n－3或an＝(－1)n－1·3n－3.返回法二：∵a6＝a2·q4，∴－27＝－13·q4.∴q4＝81，∴q＝±3，根据an＝a2·qn－2，有an＝－13·3n－2或an＝－13·(－3)n－2，即an＝－3n－3或an＝(－1)n－1·3n－3.返回[一点通](1)a1和q是等比数列的基本量，只要求出a1和q通项公式就可求，求a1和q常采用解方程组法．(2)在等比数列中已知am(m≠1)时，求出公比，利用an＝amqn－m求通项即可，不必再求a1.返回3．(2011·广州一测)各项都为正数的等比数列{an}中，a1＝2，a6＝a1a2a3，则公比q的值为________．解析：由已知得a1q5＝a·q·q2，∴2·q5＝8·q3.∵q0，∴q2＝4.∴q＝2.答案：2返回4．在等比数列{an}中，已知a3＋a6＝36，a4＋a7＝18，an＝12，求n.解：法一：∵a3＋a6＝36，a4＋a7＝18，∴a1q2＋a1q5＝36，①a1q3＋a1q6＝18，②②①得q＝12，∴14a1＋132a1＝36，∴a1＝128，而an＝a1qn－1，∴12＝128×(12)n－1，∴n＝9.返回法二：∵a4＋a7＝a3q＋a6q＝q(a3＋a6)，∴q＝a4＋a7a3＋a6＝1836＝12，而a3＋a6＝a3(1＋q3)，∴a3＝a3＋a61＋q3＝361＋18＝32.∵an＝a3qn－3，∴12＝32(12)n－3，∴n＝9.返回返回[例3]从盛满a(a＞1)升纯酒精的容器里倒了1升然后添满水摇匀，再倒出1升混合溶液后又用水添满摇匀，如此继续下去，问：第n次操作后溶液的浓度是多少？若a＝2时，至少应倒几次后才能使酒精的浓度低于10%?[思路点拨]本题可设第n次操作后的浓度为an，第n＋1次操作后的浓度为an＋1，根据题意可得到an＋1＝an(1－1a)．返回[精解详析]设开始的浓度为1，操作一次后溶液浓度a1＝1－1a，设操作n次后溶液的浓度为an，则操作n＋1次后溶液的浓度为an＋1＝an(1－1a)．从而建立了递推关系．∴{an}是以a1＝1－1a为首项，公比为q＝1－1a的等比数列．返回∴an＝a1qn－1＝(1－1a)n.即第n次操作后酒精的浓度是(1－1a)n.当a＝2时，由an＝(12)n＜110，解得n≥4.故至少应操作4次后才能使酒精浓度小于10%.返回[一点通]数列实际应用题常与现实生活和生产实际中的具体事件相联系，建立数学模型是解决这类问题的核心，常用的方法有：(1)构造等差、等比数列的模型，然后用数列的通项公式或求和公式解；(2)通过归纳得到结论，再用数列知识求解．返回5．某单位某年十二月份的产值是同一年一月份产值的m倍，那么该单位此年的月平均增长率是________．返回解析：由题意知，这一年中的每一个月的产值成等比数列，设一月份的产值为a1，则十二月份产值为a12，设平均增长率为x，则a1(1＋x)11＝a12，∵(1＋x)11＝a12a1＝m.∴x＝11m－1.即此年的月平均增长率为11m－1.答案：11m－1返回6．根据上海市人大十一届三次会议上的市政府工作报告，1999年上海市完成GDP(GDP是国民生产总值)4035亿元，2000年上海市GDP预期增长9%，市委、市政府提出本市常住人口每年的自然增长率将控制在0.08%，若GDP与人口按这样的速度增长，则要使本市年人均GDP达到或超过1999年的2倍，至少需要多少年？(按1999年本市常住人口总数约1300万计算)(lg3＝0.4771，lg2＝0.3010)返回解：上海市每年人口总数组成数列{an}，每年GDP组成数列{bn}，依题意数列{an}、{bn}均为等比数列，年人均GDP组成数列{bnan}，也是等比数列，且{bnan}的首项为b1a1，公比q＝1＋9%1＋0.08%.设n年后市人均GDP达到或超过1999年的2倍．则(b1a1)·(1＋9%1＋0.08%)n≥2·b1a1，得n≥lg2lg1.091.0008，即n≥9，故要使本市年人均GDP达到或超过1999年的2倍至少需要9年．返回1．如何理解等比数列的定义：(1)注意一些关键词：从第2项起、每一项与它的前一项的比、同一个常数．(2)我们要强调一点：“公比q≠0”，等比数列的每一项都不为0，即an≠0，若公比q或数列中的某一项为0，都会使得定义中的后一项与前一项的比值没有意义．返回2．等比数列的通项公式：在通项公式an＝a1qn－1中，有四个量a1、n、q、an，已知其中三个可求另一个，或已知两个量，通过构造方程(组)达到求解的目的，在等比数列中，公式an＝amqn－m也称为通项公式．返回点此进入