1.2.1二次函数图像与性质

义务教育教科书（湘教）九年级数学下册第一章二次函数1、二次函数的一般形式是怎样的？y=ax²+bx+c(a,b,c是常数,a≠0)2.下列函数中,哪些是二次函数？①2xy42312xxy⑤12xxy④2xxy③xxy12②xyO正比例函数，反比例函数，一次函数的图象是怎么样的？二次函数的图象是什么形状呢？通常怎样画一个函数的图象？x…0123…y画函数y=x2的图像解:(1)列表…0149…(2)描点(3)连线12345x12345678910yo-1-2-3-4-5y=x2A′AB′B我们可以用一条光滑曲线把原点和y轴右边各点顺次连接起来；然后利用对称性，画出图象在y轴左边的部分（把y轴左边的对应点和原点用一条光滑曲线顺次连接起来），这样就得到了的图象．如右图y=x2我猜测y=x2的图象关于y轴对称．从图（1）看出，点A和点A′，点B和点B′，……，它们有什么关系？点A和点A′关于y轴对称，点B和点B′也是……由此你能作出什么猜测？从图还可看出，y轴右边描出的各点，当横坐标增大时，纵坐标怎样变化？纵坐标随着增大的图象在y轴右边的所有点都具有这样的性质吗？我猜想都有这一性质．可以证明上述两个猜测都是正确的，即y=x2的图象关于y轴对称；图象在y轴右边的部分，函数值随自变量取值的增大而增大，简称为“右升”．y=x2我们已经正确画出了y=x2的图象，因此，现在可以从图象（见图）看出y=x2的其他一些性质（除了上面已经知道的关于y轴对称和“右升”外）：图象在对称轴左边的部分，函数值随自变量取值的增大而_________，简称为“左降”；对称轴与图象的交点是____________；图象的开口向_____________；O(0,0)上减小当x=______时，函数值最_______．0小类似地，当a0时，y=ax2的图象也具有上述性质，于是我们在画y=ax2(a＞0)的图象时，可以先画出图象在y轴右边的部分，然后利用对称性，画出图象在y轴左边的部分，在画右边部分时，只要“列表、描点、连线”三个步骤就可以了（因为我们知道了图象的性质）．画二次函数的图象．212yx解：因为二次函数的图像关于y轴对称，因此列表时，自变量x应该从原点的横坐标0开始取值。212yxx0123...00.524.5...例1：1234－1－2－3－412345描点：在平面直角坐标系内，以x取的值为横坐标，相应的函数值为纵坐标，描出相应的点，如右图连线：A′AB′B根据上述分析，我们可以用一条光滑曲线把原点和y轴右边各点顺次连接起来；然后利用对称性，画出图象在y轴左边的部分（把y轴左边的对应点和原点用一条光滑曲线顺次连接起来），这样就得到了的图象．如图212yx212yx（1）抛物线y=6x2的顶点坐标是,对称轴是,在侧,y随着x的增大而增大；在侧,y随着x的增大而减小,当x=时,函数y的值最小,最小值是,抛物线y=6x2在x轴的方(除顶点外).（2）在同一坐标系中画出二次函数及的图象．并比较它们的共同点和不同点。22yx214yxx00.51200.52822yx描点连线列表x01234014214yx1494描点连线列表我们已经画出了的图象，能不能从它得出二次函数的图象呢？212yx212yx212yx212yx24－2－424－2－4PQ1.在的图象上任取一点P（），它关于x轴的对称点Q的坐标是（）21,2aa212yx21,2aa2.点Q的坐标是否在的图象上？212yx3.由此可知，的图象与的图象关于对称212yx212yx212yx212yx24－2－424－2－4PQx轴4.你怎样得到的图象？212yx因此只要把的图象沿着x轴翻折将图象“复制”出来，就得到的图象，212yx212yx1.对称轴是__________，对称轴与图象的交点是____________;图象的开口向___________；2.图象在对称轴右边的部分，函数值随自变量取值的增大而____________，简称为右______________;3.图象在对称轴左边的部分，函数值随自变量取值的增大而____________，简称为左______________;4.当x=__________时，函数值最_____________.我们已经正确地画出了的图象，因此现在可以从图象看出的性质：212yx212yxy轴下O（0，0）减小降增大升0大当a0时，的图象也具有上述性质，于是今后在画的图象时，可以直接先画出图象在y轴右边的部分，然后利用对称性，画出图象在y轴左边的部分，在画右边部分时，只要“列表、描点、连线”三个步骤就可以了.2yax2yax(a0)【总结】例2.画二次函数的图象.214yxx012340－1－4214yx1494描点和连线：画出图象在y轴右边的部分.利用对称性画出y轴左边的部分.这样我们得到了的图象，如图214yx【解析】列表－2－424－2－4讲例:观察图的图象跟实际生活中的什么相像？214yx的图象很像掷铅球时，铅球在空中经过的路线214yx－2－424－2－4一般地，二次函数的图象叫做抛物线以铅球在空中经过的路线的最高点为原点建立直角坐标系，x轴的正向水平向右，y轴的正向竖直向上，则可以求出铅球在空中经过的路线是形式为的图象的一段，由此受到启发，我们引进下述概念：二次函数的图象关于y轴对称，抛物线与它的对称轴的交点叫做抛物线的顶点.抛物线的顶点是原点.2yax2yax20yaxa2yax－2－424－2－41、画出二次函数的图象.2yxx11.52－142yx121494－2－424－2－4描点、连线画图象左半部分.将右半部分翻折得到左半部分.2yx2、二次函数的性质有：210yx（3）抛物线在对称轴右边的部分，函数值随自变量取值的增大而；在对称轴左边的部分，函数值随自变量取值的增大而；yO(0,0)下减小增大（1）对称轴是轴，顶点是；（2）开口向，x......0-2-1.5-1-0.511.50.52列表描点连线y=x2......00.2512.2540.2512.254描点法用光滑曲线连结时要自左向右顺次连结y=-x2......0-0.25-1-2.25-4-0.25-1-2.25-4注意：列表时自变量取值要均匀和对称。2xy2xy抛物线y=ax2(a0)y=-ax2(a0)顶点坐标对称轴位置开口方向极值（0，0）（0，0）y轴y轴在x轴的上方（除顶点外）在x轴的下方（除顶点外）向上向下当x=0时，y最小值为0。当x=0时，y最大值为0。y=ax2与y=-ax2关于x轴对称类比2xy2xy二次函数y=±ax2的图像和性质2.顶点坐标与对称轴3.位置与开口方向4.增减性与最值1.二次函数y=ax2的图象是什么？